Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 5 )

Формула Пуассона широко используется в теории массового обслуживания.

Простейший поток событий

Определение. Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени (в предельном случае, если события следуют через определенные интервалы).

Вероятность появления событий простейшего потока за время длительностью определяется формулой Пуассона:

, где

– интенсивность простейшего потока, или среднее число событий, появляющихся в единицу времени.

Примеры решения задач:

Задача 1. Из ящика, где было 4 лопнувших и 12 целых пробирок, вынуто наугад 3 пробирки. Какова вероятность того, что две из них целые?

Решение: Число способов, которыми можно извлечь пробирки из их общего числа , равно – числу сочетаний из элементов по и равно числу всех возможных элементарных исходов испытания.

Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: среди пробирок ровно целые. целые пробирки можно взять из целых различными способами; при этом пробирок должны быть лопнувшими, взять же лопнувших пробирок из имеющихся можно различными способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов :

Вычисления:

Ответ: вероятность того, что из 3 наудачу взятых пробирок 2 целые равна .

Задача 2. Центральная городская аптека закреплена за тремя больницами. Вероятность того, что в течение рабочего дня придется отпустить медикаменты первой больнице, равна 0,6, второй больнице – 0,2, третьей – 0,4. Какова вероятность того, что в течение рабочего дня придется отпустить медикаменты: 1) одной больнице? 2) по крайней мере, двум больницам?

Решение: Пусть событие состоит в том, что аптеке придется отпустить медикаменты первой больнице; вероятность этого события по условию равна

вероятность противоположного события – медикаменты отпускаться не будут – будет равна

;

событие состоит в том, что аптеке придется отпустить медикаменты второй больнице; вероятность этого события по условию равна

вероятность противоположного события – медикаменты отпускаться не будут – будет равна

;

событие состоит в том, что аптеке придется отпустить медикаменты третьей больнице; вероятность этого события по условию равна

вероятность противоположного события – медикаменты отпускаться не будут – будет равна

1) Событие – аптеке придется отпустить медикаменты одной аптеке – реализуется следующим образом:

Для нахождения вероятности этого события используем теоремы умножения и сложения вероятностей событий:

2) Событие – аптеке придется отпустить лекарство, по крайней мере, двум (т. е. двум или трем) больницам – включает в себя следующие события:

Для нахождения вероятности этого события используем теоремы умножения и сложения вероятностей событий:

, или

Ответ: 1) вероятность того, что центральной городской аптеке в течение рабочего дня придется отпустить медикаменты одной больнице, равна ; 2) вероятность того, что центральной городской аптеке в течение рабочего дня придется отпустить медикаменты, по крайней мере, двум больницам, равна .

Задача 3. В цехе установлено 5 датчиков предельно допустимой концентрации пыли в воздухе, каждый из которых может включать систему сигнализации. Вероятность срабатывания первого датчика равна 0,8, второго – 0,9, третьего – 0,85, четвертого – 0,7, пятого – 0,75. 1) Найти вероятность того, что по достижении предельно допустимой концентрации пыли сигнализация сработает? 2) Сигнализация сработала. Какова вероятность того, что сигнализацию включил третий датчик?

Решение: Пусть событие состоит в том, что сигнализация сработала. Это событие может произойти только в случае появления одного из несовместных событий – включение датчиком сигнализации. Вероятности событий по условию одинаковы и равны . События образуют полную группу, т. к..