Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 14 )

Коэффициент парной корреляции измеряет степень и определяет направление только прямолинейных связей. Коэффициент парной корреляции rxy есть безразмерная величина, значения которой принадлежат отрезку: .

При отрицательной корреляционной связи увеличение одной из переменных ведет к уменьшению другой. Соответствие между значениями rxy и характером связи может быть представлено следующей таблицей (шкала Чеддока):

Значение коэффициента парной корреляции,	Связь
1	Функциональная
>0,9	Очень сильная
0,7 – 0,9	Сильная (тесная)
0,5 – 0,7	Значительная (заметная)
0,3 – 0,5	Умеренная
<0,3	Слабая
0	Отсутствует

Выборочный коэффициент парной корреляции rxy вычисляется по формуле: ,

здесь - выборочная средняя признака ;

- выборочная средняя признака ;

- среднее значение произведений и ;

- среднеквадратическое отклонение признака ;

- среднее значение квадрата признака ;

- квадрат среднего значения признака ;

- квадрат среднего значения признака .

Достоверность значения выборочного коэффициента парной корреляции rxy проверяется следующим образом:

- вычисляют наблюдаемое значение критерия достоверности tнабл. по формуле: , здесь – объём выборки;

- находят стандартное значение критерия достоверности по таблицам значений коэффициентов Стьюдента (Приложение 4).;

- сравнивают tнабл. с tст .

Если tнабл. > tсm, то при уровне значимости делают вывод о достоверности найденного значения rxy. В этом случае с (доверительной) вероятностью (или р) можно считать, что между коррелирующими признаками имеется связь и в генеральной совокупности такая же по характеру, какая получилась в выборке.

Если tнабл. tcm, то выборочный коэффициент корреляции недостоверен при уровне значимости , а, значит, у нас нет возможности сделать какое-либо заключение о связи признаков в генеральной совокупности. Для выяснения этого вопроса требуется провести повторные испытания на более многочисленном материале, т. е. увеличить объем выборки.

Помимо наличия связи, статистика позволяет найти уравнения, описывающие зависимость между признаками. Такая зависимость называется функцией регрессии или регрессией. При линейных связях функция регрессии имеет вид: Параметры уравнения определяются методом наименьших квадратов.

Уравнение регрессии:

на :

Уравнение регрессии позволяет прогнозировать возможные значения зависимых переменных, иначе, позволяет предсказывать поведение одного из параметров при целенаправленном изменении другого.

Пример решения задач:

Пример. В книге "Основы химии" Д. И. Менделеева приводятся данные о растворимости азотнокислого натрия в зависимости от температуры воды. В 100 частях воды растворяется следующее число условных частей () при соответствующих температурах () раствора:

	0	4	10	15	21	29	36	51	68
	66,7	71,0	76,3	80,6	85,7	92,9	99,4	113,6	125,1

Требуется:

1) построить корреляционное поле;

2) предполагая, что данная зависимость между и близка к линейной, найти выборочный коэффициент корреляции ;

3) проверить достоверность найденного значения выборочного коэффициента корреляции при уровне значимости ;

4) найти уравнение регрессии на и построить линию регрессии на фоне корреляционного поля;

5) используя уравнение регрессии, найти, при какой температуре раствориться 100 условных частей и сколько условных частей растворится при .

Решение:

1) Построим корреляционное поле. Для этого на координатную плоскость нанесем точки

2)Для вычисления выборочного коэффициента парной корреляции используем формулу: .

Промежуточные вычисления выполним в таблице:

№
1	0	66,7	0	0	4448,89
2	4	71,0	284	16	5041
3	10	76,3	763	100	5821,69
4	15	80,6	1209	225	6496,36
5	21	85,7	1799,7	441	7344,49
6	29	92,9	2694,1	841	8630,41
7	36	99,4	3578,4	1296	9880,36
8	51	113,6	5793,6	2601	12904,96
9	68	125,1	8506,8	4624	15650,01
	234	811,3	24628,6	10144	76218,17