3. Составим два уравнения моментов относительно точек В и А:

; (1)

(2)

4. Из уравнения (1)

кН.

Отрицательное значение реакции RA означает, что она направ­лена вниз, а не вверх, как показано на рис. 45, б, потому что момент силы Р относительно опоры В больше, чем момент равно­мерно распределенной нагрузки.

Из уравнения (2) находим RB:

кН.

Таким образом, реакция шарнира А равна RA = 0,75 кH и направлена вертикально вниз; реакция шарнира В составляет Rв = 14,25 кH и направлена вертикально вверх.

5. Для проверки решения можно использовать уравнение проек­ций на вертикальную ось.

Глава 3. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ

§ 11. Пространственная система
сходящихся сил

Плоская система сил, которую мы рассматривали до сих пор, является частным случаем общей пространственной системы сил. На практике в большинстве случаев встречаются пространствен­ные системы сил, которые можно разложить на несколько плоских систем. Но бывают случаи, когда этого сделать нельзя, и тогда нужно рассматривать пространственную систему. Простейшей пространственной системой является система, состоящая из трех сил, приложенных в одной точке.

Рис. 46

Пусть дана система из трех сил: F1, F2, F3, приложенная в точке О (рис. 46). Чтобы найти равнодействующую системы, построим пространственный силовой многоугольник OMNK. Замыкающая стороны этого многоугольника ОK по модулю и направлению равна равнодействующей данной системы:

Если достроить многоугольник до параллелепипеда, как ука­зано на рис. 43, то увидим, что равнодействующая R является его диагональю, а силы F1, F2 и F3 – его сторонами.

Следовательно, равнодействующая трех сил, приложенных в одной точке и не лежащих в одной плоскости, по модулю и направлению равна диагонали паралле­лепипеда, построенного на данных силах.

Если равнодействующая си­стема сходящихся сил равна нулю R = 0, то силы находятся в рав­новесии и силовой многоугольник замкнут.

Пусть сила R есть равно­действующая пространственного пучка сил F1, F2, F3, …,Fn. Раз­ложим силу R согласно правилу параллелепипеда на три составля­ющие: Rx, Ry, и Rz, направленные по трем взаимно перпендикуляр­ным осям (рис. 47). Рассматривая силу R как равнодействующую трех составляющих: Rx, Ry и Rz, отметим, что она представ­ляет собой диагональ прямоугольного параллелепипеда и ее модуль:

, (15)

где Rx, Ry, и Rz — проекции вектора R на координатные оси.

Рис. 47

Направление равнодействующей определяется косинусами уг­лов между силой R и осями координат:

(16)

Согласно теореме о проекции равнодействующей на ось имеем

Если система сходящихся сил находится в равновесии, то

значит,

(17)

Уравнения (17) выражают условия равновесия пространствен­ной системы сходящихся сил; из них следует, что пространствен­ная система сходящихся сил находится в равновесии, если алгебра­ические суммы проекций составляющих сил на три взаимно пер­пендикулярные оси равны нулю.

Задача 26. Найти усилия в стержне АВ (рис. 48) и цепях АС и AD, поддер­живающих груз G = 10 кН, если a = 60°, b = 30°, g = 45°. ACED – прямо­угольник, лежащий в горизонтальной плоскости. Крепление в точке В шар­нирное.

Рис. 48

Решение.

Освободившись от связей и заменив их реакциями, имеем в точке А систему сходящихся сил (N1, N2, N3 и G). Выбрав направление коорди­натных осей, составляем уравнения равновесия:

Решая уравнения, получим:

где знак «минус» указывает на то, что стержень АВ сжат, а не растянут, как мы вначале предположили:

Задача 27. Переносный кран, поднимающий груз массой m = 2000 кг, устроен так, как указано на рис. 45, a; AB = AD = AE = 2 м; угол DAE = 120°, плоскость ABC, в которой расположена стрела АС крана, делит двугранный угол DAE пополам. Определить силу, сжимающую вертикальную стойку АВ, и силы, растягивающие тросы BD и BF; весом частей крана пренебречь.

Рис. 49

Решение.

1. В задаче рассматривается равновесие системы тел – стрелы и стойки, связанных струной ВС. Прежде чем приступить к опре­делению усилий в стойке и тросах, необходимо найти натяжение струны ВС.

2. В точке С на кран действует вес груза, масса которого m, следовательно,

G = mg = 2000 × 9,81 = 19600 H = 19,6 кH.

Разложим вес на две составляющие, действующие вдоль струны ВС и стрелы АС, воспользовавшись правилом треуголь­ника (рис. 49, б). Для этого из произвольной точки K построим вектор а затем из его начала и конца проведем линии, парал­лельные ВС и АС. В получившемся силовом треугольнике KLM (КL || ВС и LM || CA) сторона KL изображает силу растягиваю­щую струну ВС, а сторона LM – силу сжимающую стрелу АС.

Из построения следует, что , поэтому Отсюда .

Неизвестную по условию задачи длину струны ВС легко найти, рассмотрев прямоугольный треугольник BCF (см. рис. 49, а):

.

Таким образом, кН.

3. Перенесем силу вдоль линии ее действия из точки С в точку В и рассмотрим равновесие узла В, на который, кроме нагрузки РС = 45,3 кН, действуют реакции трех связей: – реак­ция стойки, и – реакции тросов BD и BE. В соответствии с общим правилом считаем, что все связи растянуты (рис. 49, в).

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20