Решение.

1. Рассматривая доску как рычаг, видим, что на нее действуют три нагрузки: вес левого груза G1 = mlg, вес правого груза G2 = m2g и собственный вес доски Gд = mдg (рис. 34, б).

2. Для равновесия доски необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов этих сил относительно опоры В равнялась нулю. Следо­вательно,

Рис. 34

3. Подставив вместо весов их выражения через массы и разде­лив обе части равенства на постоянную величину g (ускорение сво­бодного падения 9,81 м/сек2), получим

4. Отсюда находим массу доски:

§ 9. Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил

Произвольная плоская система сил будет в равновесии, если главный вектор и главный момент системы будут равны нулю, т. е. R = 0 и М = 0. Эти условия являются необходимыми и достаточными. Действительно, равенство R = 0 означает, что геометрическая сумма сил системы, перенесенных в произвольно выбранный центр приведения, равна нулю, т. е. эти силы уравно­вешены. Из равенства М = 0 следует, что сумма моментов при­соединенных пар равна нулю, а это есть необходимое и достаточное условие равновесия системы пар.

Выше было показано, что модуль главного вектора системы можно определить по его проекциям на оси координат:

а модуль главного момента системы:

Поэтому выражение условия равновесия системы можно за­писать в следующей форме:

Откуда следует, что для равновесия плоской системы произ­вольно расположенных сил необходимы и достаточны три условия:

(11)

Сокращенная запись условий:

(12)

т. е. алгебраическая сумма проекций всех сил системы на ось х равна нулю; алгебраическая сумма проекций всех сил системы на ось у равна нулю; алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно любой точки равна нулю.

Первые два уравнения равновесия называют урав­нениями проекций, третье – уравнением мо­ментов.

Наряду с этой основной формой уравнений плоской системы сил можно доказать справедливость еще двух форм.

Первая форма уравнений:

(13)

т. е. для равновесия произвольной плоской системы необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю алгебраические суммы момен­тов всех сил относительно двух точек плоскости и алгебраическая сумма проекций всех сил на одну ось, но не перпендикулярную к прямой, соединяющей центры моментов А и В.

Вторая форма уравнений:

(14)

т. е. для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы моментов относи­тельно трех точек плоскости, но не лежащих на одной прямой, равнялись нулю.

Нетрудно убедиться, что плоская система сходящихся сил и плоская система пар являются частными случаями произвольной плоской системы сил. Действительно, если за центр приведения выбрать точку пересечения линий действия всех сил, главный момент системы относительно этой точки равен нулю и система сводится к одному главному вектору. Для равновесия необходимо удовлетворение только двух условий: Плоская система пар, как известно, сводится только к результирующей паре, а главного вектора не существует. Следовательно, для равновесия системы пар необходимо и достаточно только одно условие:

Существует еще третий частный случай – это система парал­лельных сил.

Рис. 35

Пусть к телу будет приложена система сил F1, F2, F3, …, Fn, линии действия которых параллельны друг другу (рис. 35). Так как ось х перпендикулярна всем силам, то условие будет всегда выполняться, даже если система не уравновешена. Следовательно, условия равновесия плоской системы параллель­ных сил выражаются уравнениями

или

где А и В – произвольно выбранные точки на плоскости.

Задачи на равновесие произвольной плоской системы сил должны содержать не более трех неизвестных, а на равновесие плоской системы параллельных сил – не более двух неизвестных. Если неизвестных больше, чем уравнений статики, то задача ста­новится статически неопределимой, для ее решения потребуются дополнительные уравнения, которые будут рассмотрены в раз­деле 2.

Для решения задачи составляют уравнения равновесия одним из трех указанных способов. Для проверки правильности решения задачи можно составить четвертое уравнение равновесия из числа неиспользованных в ходе решения задачи.

Задача 19. Однородный брус АВ (рис. 36) весом G = 250 Н прикреплен к стене при помощи шарнира А и в точке D опирается на гладкий цилиндр. В точке Е к брусу подвешен груз Р = 800 Н. Определить реакцию цилиндра и шарнира, если АЕ = 1,2 м; АС = ВС = 1,5 м; AD = 1,7 м и Ð ВАх = a = 40°.

Рис. 36

Решение.

1. Рассмотрим равновесие бруса АВ.

2. Приложим к брусу активные силы: собственный вес G в центре тяжести С (для однородного бруса центр тяжести расположен посередине) вертикально вниз и силу F – от веса груза.

3. Связями для бруса являются цилиндр и шарнир. Мысленно освобождаемся от связей и заменяем их реакциями. Реакция гладкого цилиндра RD направлена по нормали к поверхности цилиндра в точке касания D. Реакция шарнира RA приложена в центре шарнира А. Так как направление реакции неизвестно, заменим ее двумя составляющими Rx и Ry, направив их по осям Ох и Оу. Направ­ление осей показано на рис. 36. Центр моментов выбираем в точке А.

4. Составим три уравнения равновесия, так как активные силы и реакции связей составляют произвольную плоскую систему сил:

Из третьего уравнения находим RD:

Из первого уравнения

Из второго уравнения

Для проверки правильности решения составим уравнение моментов относи­тельно точки С:

где

Подставим в уравнение найденные значения сил Rx, Ry и RD:

Уравнение превратилось в тождество, следовательно, задача решена верно.

Задача 20. На горизонтальную балку АВ, левый конец кото­рой имеет шарнирно-неподвижную опору, а правый – шарнирно-подвижную, в точках С и D поставлены два груза: P1=10 кН и P2 = 20 кH (рис. 37, а). Определить реакции опор балки.

Рис. 37

Решение.

1. Рассмотрим равновесие балки AB, на которую в точках С и D действуют две вертикальные нагрузки и (рис. 37, б).

2. Освободив правый конец балки от связи и заменив ее дейст­вие реакцией , направленной перпендикулярно к опорной поверх­ности, увидим, что на балку действует система параллельных сил. Поэтому, если освободить и левый конец балки от шарнирно-неподвижной опоры, то ее реакция будет также направлена вертикально (рис. 37, б).

3. Составим систему уравнений равновесия, приняв для одного уравнения за центр моментов точку А, а для другого – точку В:

(1)

(2)

4. Решая уравнения, из (1) находим

из (2)

5. Проверим правильность решения, составив уравнение проек­ций сил на вертикальную ось у:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20