Теоретическая механика (стр. 14 )

Следовательно,

угол

§ 17. Ускорение точки

Как уже указывалось, при неравномерном движении скорость точки непрерывно изменяется с течением времени. При различных видах движения это изменение происходит по-разному. Направ­ление вектора скорости при этом может оставаться постоянным или изменяться.

Векторную величину, характеризующую быстроту изменения модуля и направления скорости, называют ускорением точки.

1. Рассмотрим сначала, как определяется ускорение точки, совершающей прямолинейное движение.

Пусть в данный момент времени t1 точка имеет скорость V1, а через D t с, т. е. в момент t2 = t1 + D t, скорость ее будет V2. Изменение модуля скорости за данный промежуток времени со­ставит D V = V2 - V1. Отношение изменения модуля скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло, назы­вают средним ускорением точки:

При неограниченном уменьшении промежутка времени (D t ® 0) среднее ускорение будет приближаться к пределу, который представляет собой истинное (мгновенное) ускорение точки. Истинное ускорение

но т. е.

(26)

Таким образом, модуль ускоре­ния точки в прямолинейном дви­жении равен первой производной от скорости по времени.

Направление вектора ускоре­ния а совпадает с направлением вектора изменения скорости DV, т. е. при ускоренном движении совпадает с направлением движения, а при замедленном – про­тивоположно ему.

2. Рассмотрим теперь движение точки по криволинейной тра­ектории. Пусть за время D t точка переместится из положения М1 (рис. 67) в положение М2 и скорость ее при этом изменится от V1 до V2. Из рис. 67 видно, что скорость ее при этом изменяется как по величине, так и по направлению. Геометрическую разность скоростей найдем, построив векторы V1 и V2 из одной точки М1 и параллелограмма М2КСЕ. Очевидно, что вектор M1E = DV есть геометрическая разность скоростей V2 и V1, т. е. D V = V2 – V1.

Рис. 67

Поделив вектор изменения скорости D V на промежуток времени D t, получим вектор среднего ускорения Если предположить, что промежуток времени D t безгранично мал, то можно считать, что вектор аср совпадет с вектором мгновенного ускорения а. Важно отметить, что в данном случае направление ускорения не совпадает с направлением вектора скорости точки, как в случае прямолинейного движения, а совпадает с направле­нием вектора изменения скорости DV.

Разложим вектор DV на две составляющие, одну из которых DVt направим по скорости Vl, т. е. по касательной к траектории в точке M1, а другую DVN перпендикулярно к скорости V1, т. е. по нормали к траектории в данной точке.

Очевидно, что

Поделив каждый член последнего уравнения на промежуток времени D t, получим выражение

которое согласно определению среднего ускорения можно запи­сать так:

Отсюда следует, что вектор среднего ускорения также можно представить в виде двух составляющих: – аср и aсрN. При неограниченном уменьшении промежутка времени D t в пределе, при D t ® 0, эти составляющие среднего ускорения стремятся к соот­ветствующим составляющим мгновенного ускорения:

(27)

Составляющая а направлена по касательной к траектории в данный момент времени и ее называют касательным ускорением.

Касательное ускорение характеризует изменение только модуля скорости и равно первой производной от скорости по времени. Составляющая aN направлена по нормали к траектории в данный момент времени и её называют нормальным ускорением. Оно всегда направлено внутрь вогнутости к траектории к центру кривизны, поэтому его иногда называют центростреми­тельным ускорением.

Нормальное ускорение характеризует изменение направления, скорости точки. Модуль вектора нормального ускорения равен отношению квадрата скорости к радиусу кривизны траектории:

(28)

Полное ускорение точки в каждый момент времени является геометрической суммой касательного и нормального ускорений.

На рис. 68 показаны направления полного, нормального и касательного ускорения в случаях ускоренного (рис. 68, а) и замедленного (рис. 68, б) движения. Нетрудно установить соотношения между величинами ускорений:

(29)

Рис. 68

Криволинейное неравномерное движение точки, при котором полное ускорение представляет собой геометрическую сумму касательного и нормального ускорений, является общим случаем движения. Рассмотрим некоторые частные случаи.

Прямолинейное неравномерное движе­ние. Радиус кривизны прямой r = ¥, значит, Полное ускорение точки

Криволинейное равномерное движение. В этом случае модуль скорости V = const, значит, at = dV/dt = 0. Полное ускорение точки При рав­номерном движении по кривой точка всегда обладает лишь нор­мальным ускорением.

Прямолинейное равномерное движе­ние. В этом случае r = ¥, V = const, значит,

и

и полное ускорение a = 0.

Задача 39. Точка движется равномерно замедленно по дуге окружности радиусом 80 м в течение 20 с. Определить полное ускорение точки в начале и конце движения, если начальная скорость V0 = 15 м/с, а конечная скорость V = 10 м/с.

Решение

1. Определим постоянное касательное ускорение точки

м/с2,

где знак «минус» указывает, что направление ускорения противоположно направ­лению скорости, т. е. движение является замедленным.

2. Определим нормальное ускорение точки в начальный момент времени:

м/с2.

3. Определим нормальное ускорение в конце движения:

м/с2.

4. Определим полное ускорение точки в начале и конце движения:

м/с2;

м/с2.

Задача 40. Тело свободно падает на Землю без начальной скорости с высоты Н = 100 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить модуль скорости тела в момент падения на Землю.

Решение.

Так как движение тела прямолинейное и равномерно ускорен­ное, то a = at = g = 9,81 м/с2. Учитывая, что V0 = 0 и s = H, найдем

и ,

откуда

.

Подставив значения g и H, имеем = 44,3 м/с.

§ 18. Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси

Движение тела, при котором не менее двух каких-либо его точек остаются неподвижными, называется вращательным. Пря­мая, проходящая через две неподвижные точки, называется осью вращения. Каждая точка тела, не лежащая на оси вращения, опи­сывает окружность, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения, а центр лежит на этой оси.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20