Требуется при данных совокупных издержках определить такое количество факторов производства, которые максимизируют объем продукции z.
Математическая модель этой задачи имеет вид: определить такие переменные x1 и x2, удовлетворяющие условиям
,
x
, x
, (3)
при которых функция
(4)
достигает максимума.
Как правило, функция (4) может иметь произвольный нелинейный вид.
Используя классические методы оптимизации, следует четко представлять различия между локальным экстремумом функции, глобальным экстремумом и условным экстремумом. При этом полезно повторить определение локального и глобального экстремумов для функций одной переменной. Понятие условного экстремума вводится для случая, когда число переменных n не меньше двух (
).
Будем предполагать, что функция 
дважды дифференцируема в точке
, (
) и в некоторой ее окрестности. Если для всех точек этой окрестности 
или 
, то говорят, что функция 
имеет экстремум в 
(соответственно максимум или минимум).
Точка , в которой все частные производные функции 
равны 0, называется стационарной точкой.
Необходимое условие экстремума. Если в точке функция имеет экстремум, то частные производные функции в этой точке равны нулю:
.
Следовательно, точки экстремума функции 
удовлетворяют системе уравнений:
(5)
Как и в случае одной переменной, необходимое условие не является достаточным для того, чтобы стационарная точка была точкой экстремума. Для получения достаточных условий следует определить в стационарной точке знак дифференциала второго порядка. Дифференциал второго порядка обозначается 
и равен сумме произведений частных производных второго порядка на соответствующие приращения аргументов. Если от частной производной 
найти частную производную по переменной xj, то получим частную производную второго порядка по переменным x
и x
, которая обозначается 
.
В этом случае 
.
Достаточные условия экстремума.
а) в стационарной точке 
функция имеет максимум, если 
, и минимум, если
при любых Dxi и Dxj, не обращающихся в нуль одновременно;
б) если 
может принимать в зависимости от Dxi и Dxj, и положительные, и отрицательные значения, то в точке 
экстремума нет;
в) если может обращаться в нуль не только при нулевых приращениях Dxi и Dxj , то вопрос об экстремуме остается открытым.
Для функции двух переменных достаточные условия еще не очень сложны. Существует четыре частные производные второго порядка:
, 
,
.
Из них две смешанные: , , если непрерывны, то равны.
Найдем значения частных производных второго порядка в стационарной точке 
:
; 
;
; 
.
(можно убедиться, что 
). Обозначим через D определитель, составленный из 
для 
Тогда достаточные условия экстремума функции двух переменных имеют вид:
а) если 
и 
(
), то в точке функция имеет максимум; если и 
(
), то в точке минимум;
б) если 
, то экстремума нет;
в) если 
, то вопрос об экстремуме остается открытым.
Схема определения экстремума функции n переменных совпадает с правилами определения локального экстремума функции одной переменной.
Задача 1. Исследовать на экстремум функцию 
.
Решение. Находим частные производные:
. (6)
Приравниваем частные производные к нулю:
(7)
Решаем систему (7). Вычитая из 1-го уравнение 2-ое, получим 4x
-4x
=0, поэтому x=x и из 1-го уравнения получаем x-x=0, откуда: x=0 или x=
1.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 |
Основные порталы (построено редакторами)