• ПО
Доходность портфеля в расчете на год составляет:
гр = *](\ +0,05){1 +d,!579)(l -0,И54)(1+0,09= 0,0408 или 4,08% годовых.
Задача 7.2.
Менеджер управлял портфелем в течение четырех лет. В начале первого года в портфель инвестировали 100 млн. руб. В конце года его стоимость выросла до 110 млн. руб. В начале второго года из портфеля изъяли 20 млн. руб. В конце года его стоимость составила 100 млн. руб. В начале третьего года из портфеля изъяли 10 млн. руб. В конце года его стоимость составила 95 млн. руб. В начале четвертого года из портфеля изъяли 3 млн. руб. В конце года его стоимость составила 93 млн. руб. Определить доходность управления портфелем в расчете на год.
Решение.
Доходность портфеля в расчете на год равна:
!^ 93 (— _ —— -1 = 0,06864 или 6,864°/,, годовых.
У
Задача 7.3.
Менеджер управлял портфелем в течение трех лет. В начале первого года в портфель инвестировали 50 млн. руб. В конце года его стоимость выросла до 60 млн. руб. В начале второго года из портфеля изъяли 10 млн. руб. В конце года его стоимость составила 55 млн. руб. В начале третьего года из портфеля изъяли 5 млн. руб. В конце года его стоимость составила 57 млн. руб. Определить доходность управления портфелем в расчете на год.
Решение.
?/- 1 = 0,1459 или 14.59% годовых.
\'50 50 50
Задача 7.4.
Менеджер управлял портфелем в течение трех месяцев. В начале периода в портфель инвестировали 50 млн. руб. Черет три месяца его стоимость выросла до 60 млн. руб. Определить доходность управления портфелем в расчете на год на основе простого процента.
Решение.
Доходность управления портфелем за квартал составила:
г =— 1 = 0.2 или 20%. '' 50
Доходность в расчете на год равна: ггш = 20-4 = 80% годовых.
Задача 7.5.
Определить доходность управления портфелем из задачи 7.4 в расчете на год на основе эффективного процента.
Решение.
Ггод = 1,2*-1 = 1.0736 или 107.36% годовых.
Задача 7.6.
Менеджер управлял портфелем в течение четырех месяцев. В начале периода в портфель инвестировали 40 млн. руб. Через четыре месяца его стоимость выросла до 45 млн. руб. Определить доходность управления портфелем в расчете на год на основе:
а) простого процента: б) эффективного процента.
Решение.
Доходность управлсшш портфелем за четыре месяца составила:
г= — -1 = 0,125 или 12,5%. 40
а) r^, =12,5-3 37,5% годовых.
б) rw = 1.125'-1 = 0,4238 или 42,38% годовых.
Задача 7.7.
Менеджер управлял портфелем в течение 100 дней. В начале периода в портфель инвестировали 20 млн. руб. Через 100 дней его стоимость выросла до 23 млн. руб. Определить доходность управления портфелем в расчете на год на основе: а) простого процента; б) эффективного процента. Финансовый год равен 365 дням.
Решение.
Доходность управления портфелем за 100 дней составила:
23 /- = — -1=0,15 или 15%.
а) г. м = 15 —- = 54,75% годовых.
ш
б) rw = l,,6655 или 66.55% головых.
Задача 7.7.
Менеджер управлял портфелем в течение трех месяцев. В начале первого месяца в портфель инвестировали 10 млн. руб. В конце месяца его стоимость выросла до 11 млн. руб. В начале второго месяца из портфеля изъяли 2 млн. руб. В конце второго месяца его стоимость составила 9 млн. руб. В начале третьего месяца в портфель внесли 2 млн. руб. В конце третьего месяца его стоимость составила 11,6 млн. руб. Определить доходность управления портфелем в расчете на год на основе: а) простого процента; б) эффективного процента.
Решение.
Доходность управления портфелем ta ipn месяца составила:
гi=lL.^.li^_l = 0.16 или 30%. • 10 9 И
а) г,,, = 16-4-64% годовых.
б) гчя1 *1,164-1 =0,8106 или81,06%годовых.
Задача 7.8.
Менеджер управлял портфелем в течение пяти месяцев. В начале первого месяца в портфель инвестировали 10 млн. руб. В конце третьего месяца его стоимость выросла до 11 млн. руб. В начале четвертого месяца из портфеля изъяли 2 млн. руб. В конце четвертого месяца его стоимость составила 9 млн. руб. В начале пятого месяца в портфель внесли 2 млн. руб. В коонце пятого месяца его стоимость составила 11,6 млн. руб. Определить доходность управления портфелем в расчете на год на основе: а) простого процента; б) эффективного процента.
Решение.
Доходность управления портфелем за пять месяцев составила:
11 9 11,6
г —
-1=0,16 или 30%.
э
а) гм> = 16— - 38,4% годовых.
б) гм> - U65 -1 = 0,4279 или 42,79% годовых.
Задача 7.9.
В начале года стоимость портфеля равна 1000000 руб. Через три месяца она выросла до 1100000 руб., и из портфеля изъяли 220000 руб. Еше через четыре месяца стоимость портфеля выросла до 896000 руб.. и в нет добавили 168000 руб. В конце года стоимость портфеля составила 1068750 руб. Определить доходность портфеля за год методом опенки стоимости единицы капитала.
Решение.
Пусть количество единиц капитала, входящих в портфель, равно 1000. Тогда стоимость одной единицы капитала в начале года составляет:
1,*
1000
Через три месяца стоимость портфеля выросла до 1,1 млн. руб. Поэтому стоимость единицы капитала в этот момент равна:
1100000 руб. 11ЛЛ.
—— = 1100 да*.
1000 И
Из портфеля изымают 220 тыс. руб. Но текущей стоимости единицы капитала данная сумма эквивалентна:
220000дуб. ЛЛЛ.
= 200 еОиттаи капитала.
1100 руб.
Поскольку из портфеля изымают 220 тыс. руб.. го в портфеле остается:
= 800 единиц капитала
В конце второго периода стоимость портфеля составила 896 тыс. руб. Стоимость единицы капитала выросла до:
896000^.
800
В портфель добавили 168 тыс. руб. Эта сумма но текущей стоимости единицы капитала эквивалентна:
16Шйруб. ,.п.
—— = 1MJ единицам капитала.
пгоруб.
Поскольку в портфель добавляют 168 тыс. руб., то портфель теперь состоит из:
800+150 = 950 единиц капитала.
Стоимость единицы капитала в конце года составила:
1068750^6. .___ _
—— = 1 \25pva.
950 iJ
За год стоимость единицы капитала выросла с 1000 руб. до 1125 руб. Следовательно, темп прироста стоимости единицы капитала составил:
5й^- 1=0,125 „ли 12,5%
МЮОруб.
Таким образом, доходность портфеля равна 12,5% годовым.
Задача 7.10.
В начале года стоимость портфеля равна 4000000 руб. Через месяц она упала до 3800000 руб.. и в портфель добавили 190000 руб. Ешс через два месяца стоимость портфеля выросла до 4042500 руб., и в него добавили 154000 руб. Вше через четыре месяца стоимость портфеля составила 4185600 руб. и в портфель добавили 115200 руб. В конце года стоимость портфеля составила 4425000 руб. Определить доходность портфели за год методом оценки стоимости единицы капитала.
Решение.
Пусть количество единил капитала, входящих в портфель, равно 1000. Тогда стоимость одной единицы капитала в начале года составляет:
4000000pvc5. 4ЛЛА -
-— = 4000 pv6.
1000
Через месяц стоимость портфеля упала до 3,8 млн. руб. Поэтому стоимость единицы капитала в дют момент равна:
3800000 руб.
=зторуб.
1000
В портфель добавили 190 тыс. руб. По гскушей стоимости единицы капитала данная сумма эквивалентна:
190000pv6. „Л,
——единицам канатам.
ЗШруб.
Поскольку в портфель добавляют 190 тыс. руб., то портфель насчитывает
теперь:
1000 + 50 ^ 1050 единиц кат/тала
В коиие второго периода стоимость норлфеля составила 4042.5 гыс, руб. Стоимость единицы капитала выросла до:
тгжруб.
1050 lJ
В портфель добавили 154 тыс. руб. Эта сумма по текущей стоимости едишщы капитала эквивалентна:
154000руб. _А 4
i = 40 единицам напитаю.
Ш50руб,
Поскольку в портфель добавляют 154 тыс. руб., то портфель теперь состоит из:
1050+40 = 1090 единиц капитала
В конис третьего периода стоимость портфеля составила 4185600 руб. Стоимость единицы капитала упала до:
*—— = 3840pv6.
1090
В портфель добавили 115200 руб. Эта сумма по текущей стоимости единицы капитала эквивалентна:
115200руб. ЛЛ ч
-30 единицам капитала.
ЪШруб.
Поскольку в портфель добавляют 115200 руб.. то портфель теперь состоит из:
1090 + 30 = 1120 единиц капитала. Стоимость едишщы капитала в конце года составила:
4425000^ 1120
За год сюимость единицы капитала снизилась с 4000 руб. до 3950,893 руб. Следовательно, темп прироста стоимости единицы капитала составил:
3950,893pvrl_1= 2g и;ш К228%
4000руб.
Таким обрачом, портфель принес убыток в размере 1.228% годовых.
214
7.2. Определение фактического риска портфеля. Коэффициенты Шарпа и Трейнора
Задача 7.11.
Менеджер управлял портфелем в течение четырех лет. В начале первою года н портфель инвестировали 20 млн. руб. В конце года его стоимость выросла до 21 млн. руб. В начале второго года в портфель внесли дополнительно 2 млн. руб. В конце года его стоимость составила 26 млн. руб. В начале третьего года из портфеля изъяли 3 млн. руб. В конце года его о стоимость составила 25 млн. руб. В начале четвертого года в портфель добавили 2 млн. руб. В конце года его стоимость составила 30 млн. руб. Определить риск портфеля, измеренный выборочным стандартным отклонением.
Решение.
Доходности портфеля за каждый год равны:
к =— I =0,05 или 5%; г, = — I =0.1304 или 13,04%; г, =-£-1 = 0,087
1 20 "
или 8,7%; >;=-—-1 = 0,1111 или 11,11 %.
Определяем выборочное стандартное отклонение за год на основе полученных доходносгей:1 а - 3%.
Задача 7.12.
Менеджер управлял портфелем в течение четырех лет. В начале первого года в портфель инвестировали 10 млн. руб. В конце года его стоимость выросла до 11 млн. руб. В начале второго года в портфель внесли дополнительно 2 млн. руб. В конце года его стоимость составила 16 млн. руб. В начале третьего года из портфеля изъяли 3 млн. руб. В конце гола его стоимость составила 15 млн. руб. В начале четвертого года в портфель добавили 2 млн. руб. В конце года его стоимость составила 16 млн. руб. Определить риск портфеля, измеренный выборочным стандартным отклонением.
Решение.
Доходности мор|фсля за каждый год равны:
г, =—1 = 0,1 или 10%: г2 = — -1 = 0,2308 или 23.08%; г>=^ 1=0,1538
или 15,38%; г, = —или -5.88%.
' 17
Определяем выборочное стандартное отклонение за год на основе получен-ных доходпостей: ст = 10,61%.
' Пример определения выборочного стандартного отклонения си. в задаче 4.17.
Задача 7.13.
В начале года в портфель инвестировали 20 млн. руб. Через три месяца его стоимость выросла до 21 млн. руб., и на следующий день в портфель внесли дополнительно 2 млн. руб. Еще через три месяца стоимость портфеля составила 22 млн. руб.. и из него изъяли 3 млн. руб. Еще через три месяца стоимость портфеля составила 19 млн. руб., и в него добавили 2 млн. руб. В конце года стоимость портфеля составила 23 млн. руб. Определить риск портфеля, представленный выборочным стандартным отклонением.
Решение.
Доходности ча каждый квартал равны:
21 22 19
к= 1 = 0,05 или 5%; г,= 1--0.0435 или 4.35%; г, = ——1 = 0 или
1'19
0%;к =— -1 = 0,0952 или9,52%. 21
Определяем выборочное стандартное отклонение за квартал на основе полученных доходностей: а = 5.21%. Стандартное отклонение за гол равно:
5,2 W?= 10,42%.
Задача 7.14.
В начале года в портфель инвестировали 80 млн. руб. Через три месяца его стоимость выросла до 82 млн. руб., и на следующий день в портфель внесли дополнительно 4 млн. руб. Еще через три месяца стоимость портфеля составила 90 млн. руб., и в нею внесли 3 млн. руб. Еще через три месяца стоимость портфеля составила 96 млн. руб., и из него изъяли 2 млн. руб. В конце года стоимость портфеля составила 102 млн. руб. Определить риск портфеля, измеренный выборочным стандартным отклонением.
Решение.
Доходности за каждый квартал равны:
Ю 90 9CS 10°
— -1=0,025- —-1=0,0465- —-1 = 0.0323- —^ - I =0.0851
80 '86 '93 ' 94
Определяем выборочное стандартное отклонение за кварта! на основе полученных доходностей: (Т - 0,0232 или 2.32%.
Стандартное отклонение за год равно: 2.32>/4^4,64.
Задача 7.15.
Фактическая доходность портфеля равна 20%, стандартное отклонение 15%, ставка без риска 10% годовых. Определить коэффициент Шарпа портфеля.
Решение.
Коэффициент Шарпа определяется но формуле:
у у
Коэф. Шарпа = ——£■, (7.1)
°? где т - фактическая доходность портфеля; г, ставка без риска;
а - фактическое стандартное отклонение портфеля. Согласно (7.1) коэффициент Шарпа равен:
Ко~>ф. Шарпа — — ^0,67.
Задача 7.16.
Фактическая доходность портфеля А равна 21%, стандартное отклонение доходности 14%, доходность и стандартное отклонение портфеля В соответственно равны 25% и 18%, ставка без риска 8% годовых. Определить с помощью коэффициента Шарпа, какой портфель управлялся эффективнее.
Решение.
Согласно (7.1) коэффициенты Шарпа портфелей равны:
Коэф. ШарпаЛ = =^~- = 0,93.
Коэф. Шарпав = ^^ = 0,94. Портфель В управлялся эффективнее.
Задача 7.17.
Фактическая доходность портфеля А равна 15%, стандартное отклонение доходности 12%, доходность и стандартное отклонение портфеля В соответственно равны 24% и 18%. ставка без риска 7% годовых. Определить с помощью коэффициента Шарпа, какой портфель управлялся эффективнее.
Решение.
Коэф. Шарпа, = = 0,67,
Кооф. Шарпав = —— = 0,94. Портфель В управлялся эффективнее.
Задача 7.18.
Фактическая доходность портфеля равна 20%, бета портфеля относительно рыночного портфеля составляет i.5, ставка oei риска 10% юдовых. Определить Коэффициент Трейнора портфеля.
Решение.
Коэффициент ТреЙнора определяется пс формуле:
Каэф, Трейнора - '- , (7.2)
где гр фактическая доходность портфеля; Гг - с савка без риска; /?, -фактическая бета портфеля.
Согласно (7.2) коэффициентТрсйиораравен:
V 4 Т * 20"10 £1
Кооф. /реипора=г = 6,о7.
Задача 7.19.
Фактическая доходность портфеля А равна 15%, бета портфеля относительно рыночного портфеля составляет 0.9, доходность и бета портфеля В соответственно равны 25% и 2. ставка без риска 6% годовых. Определить с помощью коэффициента Трейнора, какой портфель управлялся эффективнее.
Решение.
Согласно (7.2) коэффициенты Трейнора портфелей равны:
Кооф, Трешюра, = -10 .
' У А 0,9
Кооф. Трейнора„ = = 9,5,
Портфель Л управлялся эффективнее.
Задача 7.20.
В начале года в портфель инвестировали 30 млн. руб. Через три месяца его стоимость выросла до 32 млн. руб.. и на следующий лень и портфель внесли доподничелыю 4 млн. руб. Еще через три месяца стоимость портфеля составила 35 млн. руб., и в него внесли 2 млн. руб. Нше через три месяца стоимость портфеля составила 37 млн. руб., и из него изъяли 2 млн. руб. В конце года стоимость портфеля составила 38 млн. руб. Ставка без риска равна 8% годовых. Определить коэффициент Шарма портфели (Указание: в задаче использовав выборочное стандартное отклонение).
Решение.
1) Доходность портфеля равна:
35 3_ 1= 25g ^ |259% годовых.
Доходности за каждый квартал равны:
— -1 = 0,0667- — -1 = -0,0278- —-1=0- —-1-0.0857.
30 " 36 * 37 ' 35
Определяем выборочное стандартное отклонение па квартал на основе полученных доходпостей:
а - 0.0466 или4.66%.
Стандартное отклонение за год равно:
4,66^4 =9,32.
Коэффициент Шарпа равен;
12.59-8
= 0,49.
9.32
Задача 7.21.
Менеджер управлял портфелем в течение четырех лет. В начале первого года в портфель инвестировали 10 млн. руб. В конце года его стоимость выросла до 12 млн. руб. В начале ыорого года в портфель внесли дополнительно 2 млн. руб. В конце года его стоимость составила 16 млн. руб. В начале третьего года из портфеля изъяли 3 млн. руб. В конце года его стоимость составила 15 млн. руб. В начале четвертого года в портфель добавили 2 млн. руб. В конце года его стоимость составила 19 млн. руб. Ставка без риска в течение всего периода была равна 8% годовых.
Доходное! ь рыночного портфеля за четыре года составила:
1 год 2 год Згод 4 год
13% 11% 7% 10%
Определить: I) коэффициенты Шарпа и Трейнора портфеля; 2) не рыночный риск портфеля, измеренный стандартным отклонением. (Указание: в задаче использовать выборочное стандартное отклонение). Решение.
1) Доходность портфеля равна:
if 1 = 0.3299 или 32,99% годовых.
V
Доходности за каждый год равны:
— -1 = 0.2- — 1=0.1429- —-1-0.1538—-1=0.1176.
10 '14 " 13 47
Определяем выборочное стандартное отклонение за год на основе полученных доходностей:
<т = 0,0298 или 2.98%.
219
Коэффициент Шарпа равен:
= 8.4.
32,99-8 2,98
Определяем выборочную дисперсию рыночного портфеля:
<т;,=4.69. Определяем ковариаиию доходности портфеля с рыночным портфелем:
cov = 3.19. Определяем бегу портфеля:
р «: 4.69
КоэффициентТрейиора равен:
^-^ = 36,75. 0,68
2) Не рыночным риск портфеля равен:
(2,9S2-0,682-4,69)5 =2,59%.
7.3. Коэффициент информированности
Задача 7.22.
В начале года менеджеру было предложено определить на основе своих ожиданий ранги доходности акций семи компаний (они обозначены начальными буквами алфавита) для следующего года. Самой доходной акции присваивается первый ранг и так далее в порядке убывания ожидаемой доходности до седьмого ранга. Результат представлен в таблице:
Компания Л £ В г Д Е Ж
Прогнозируемый ранг I i 6 7
По итогам года фактические доходности акций составили:
Компания Л Б В Г д L Ж
Доходность (%)1 5
Определить коэффициент информированности менеджера.
Решение.
Коэффициент информированности определяется на основе уравнения
рефсесии:
фактический
-а
(7.3)
прог/ t озируе. мы и
+ £ .
ранг i ранг
где 1е - коэффициент информированности;
а - ордината точки, в которой график уравнения (7.3) пересекает ось ординат
£ ошибка.
На основе прогнозируемого и фактических рангов коэффициент информированности определяется как коэффициент регрессии но формуле:
(7.4)
где с^ - стандартное отклонение фактических рангов;
tr. m - стандартное отклонение прогнозируемых рангов;
согг^ф - коэффициен! корреляции между фактическими и прогнозируемыми рангами.
Поскольку "выборка" но прогнозируемым и фактическим рангам является одинаковой, т. е. от 1 до п (где и - число бумаг, предложенных менеджеру для оценки), то величина <г# равна величине av. Поэтому, согласно формуле (7.4) значение коэффициента информированности определяется только коэффициентом ранговой корреляции между фактическими и прогнозируемыми рангами, т. е.:
'.=«"»». (7-5)
Для определения коэффициента информированности расположим акции компаний по рангам согласно их фактическим доходностям:
Компания
Фактический ранг
Н г д1 Е6
Ж
Определяем стандартные отклонения <r, v, и сг^ по формуле:
°V=*T*,=
= 2
где р - значение \-горанга;
7I'-Т-4-
Ковариаиия фактическою и прогнозируемою рангов составляет:
2Jpm "КАР^-РФ)
|дс рт - /-е значение прогнозируемого ранга;
р..... - ;-е значение фактического ранга. Коэффициент информированности равен:
***w 2'2
Задача 7.23.2
В начале года менеджеру было предложено определить на основе своих ожидании ранги доходности акций десяти компаний (обозначены начальными буквами алфавита) для следующего гола. Самой доходной акции присваивается первый ранг и так далее в порядке убывания ожидаемой доходности до десятого ранга. Результат представлен в таблице:
Компания А Б В Г д t Ж 3 И К
Прогнозируемый ранг 9 10
Но итогам года фактические доходности акций составили:
Компания А Б В г д Е Ж 3 И А*
Доходность1
1
Определить коэффициент информированности менеджера.
Решение.
Расположим акции компаний по рангам согласно их фактическим доходностям:
Компания А Б R Г Д Б Ж 3 И К
Фактический раит 5 4 ! 2
1
Согласно (7.5) коэффициент информированности равен 0,345,
г Задача Межвузовской олимпиады по рынку ценных бумаг и производных финансовых инструментов. Олимпиада прошла а мТИМО(У) МИД РФ на кафедре Фондового рынка 18.05.06. Организаторы Олимпиады: кафедра Фондового рынка МГИМО. Фондовая биржа РТС и Научно-техническое общество им. акад. . Информационную поддержку Олимпиады осуществлял журнал Валютный спекулянт.
Задача 7.24.
В начале года двум менеджерам предложено определить на основе их ожиданий ранги доходное! и акций десяти компаний для следующего года. Самой доходной акции присваивается первый ранг и так далее в порядке убывания ожидаемой доходности до десятою ранга. Результаты представлены для первого менеджера в табл. I. второю - в габ. и не 2.
Таблица I
Компания А Б в г я Е Ж 3 И А'
Прогнозируемый
ранг • ь
Таблица 2
Компания В Б Д А Е Ж
6 И
1 К 3 /'
Прогнозируемый
ранг 1 ;
X 9 10
По иго! ам года фактические доходное! и акций составили;
Компания А Б В Г Л Е Ж 3 И А'
Доходность^ %)16 7 - I 5 10
Определить коэффициенты информированности менеджеров. Решение.
Расположим акции компании по рангам согласно их фактическим доходностям относительно прогнозов первою менеджера:
Компания А Б В Г Д Е Ж 3 И
1 _ 4 Г
А'
Фактический,
О
ранг 1
3 1
i
Согласно (7.5) коэффициент информированности первого менеджера равен 0.685.
Расположим акции компаний по рангам согласно их фактическим доходностям относительно прогнозов второго менеджера;
Компания В Б Д А Е Ж И К 3 г
Фактический. ранг 3 5
6 1 { \
Согласно (7.5) коэффициент информированности второго менеджера равен 0,491.
Первый менеджер обладает лучшими способностями прогнозирования будущей доходности акций.
ГЛАВА 8. VaR
8.1. Параметрический VaR
Вопрос 8.1.
Дайте определение показателю VaR.
Ответ.
VaR — это показатель риска, который творит о том. какую максимальную сумму денег может потерять портфель инвестора ы течение определенного периода времени с заданной доверительной вероятностью.
Вопрос 8.2.
Стоимость иор|феля инвестора составляв! 10 млн. руб.. VaR для одного дня равен 100 тыс. руо. с доверительной вероятностью 90%. Как можно интерпре-тировать данную информацию?
Ответ.
а) Вероятность того, что в течение следующих 24 часов потери в стон мое i и портфеля составят меньше 100 тыс. руб. равна 90%.
б) Вероятность того, что в течение следующих 24 часов потери в стоимости портфеля превысят 100 тыс. руб. равна 10%.
в) Инвестор вправе ожидать, что в среднем его потери в течение 90 дней из каждых 100 дней не превысят 100 тыс. руб.. или что они окажутся больше 100 тыс. руб. в течение 10 дней из каждых 100 дней.
Вопрос 8.3.
Стоимость портфеля инвестора составляет 5 млн. руб.. VaR. тля одною дня с доверительной вероятностью 95% равен 60 тыс. руб. В течение какого количества дней и-з каждых 100 дней инвестор вправе ожидать, что его потери не превысят 60 тыс. руб.
Ответ.
В течение 95 дней и* каждых 100 дней.
Вопрос 8.4.
Стоимость портфеля инвестора составляет I млн. руб.. VaR для одного дня с доверительной верой пюстыо 95% равен 20 тыс. руб. В течение какого количества дней и* каждых 100 дней инвестор вправе ожидать, что его потери составят больше 20 тыс. руб.
Ответ.
В течение 5 дней из каждых 100 дней.
Вопрос 8.5.
Стоимость портфеля инвестора составляет 20 млн. руб.. VaR дня десяти
дней равен 5 млн. руб. с доверительной вероятностью 99%. Какова вероятность
(ш'ш8. VaR
того, что потери инвестора в течение следующих десяти дней превысят 5 млн. руб.?
Ответ.
Вероятость понести потери больше 5 млн. руб. равна 1%.
Вопрос 8.6.
Говорит ли выбор инвестором того или иного уровня доверительной вероятности о его отношении к риску?
Ответ.
Пет. не говорит, так как VaR - это только определенная точка в распределении ожидаемых результатов доходности лортфеля.
Вопрос 8.7.
В чем отличие показателей абсолютного и относительного №R?
Ответ.
Абсолютный VaR можно определить как максимальную сумму денег, которую может потерять портфель инвестора в течение определенною периода времени с заданной доверительной вероятностью. Относительный VcR отличается от абсолютного тем, что он рассчитывается относительно ожидаемой доходности портфеля. Ею значение учитывает, что инвестор с заданной вероятностью не только может потерять сумму равную абсолютному VoR, но и не получить сумму равную средней ожидаемой доходности пертфеля за рассматриваемый период. Если ожидаемая доходность портфеля равна пулю, то значения абсолютного и относительного VaR совпадают.
Задача 8.8.
Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 90% для пертфеля стоимостью 10 млн. руб., в который входят акции только одной компании. Стандартное отклонение доходности акции в расчете на день равно 1.5%.
Решение.
VaR портфеля для заданного уровня доверительной вероятности определя-ется по следующей формуле:
VARp Ppapzn, (8.1)
где VaRp - VaR портфеля:
Р - стоимость портфеля;
а - стандартное отклонение доходности портфеля, соошетствуюшее
времени, для которою рассчитываеюя VaR'.
га количество стандартных отклонений, соответствующих уровню
доверительной вероятности.
Доверительной вероятности в 90% соответствует 1,28 стандартных отклонений. Согласно формуле (8.1) VaR портфеля равен:
VARr = 10.uw. -0.015-1,28 = 192тыс. руб.
Задача 8.9.
Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 10 млн. руб., в который входят акции толт. ко одной компании. Стандартное отклонение доходности акции в расчете на день равно 1.5%.
Решение.
Доверительной вероятности в 95% соответствует 1,65 стандартных отклонений. Согласно формуле (8.1) VaR портфеля равен:
VARp = 10.шн.-0,015-1,65^ 2А1£тыс. руд.
Задача 8.10.
Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 99% для портфеля стоимостью 10 млн. руб., в который входят акции только одной компании. Стандартное отклонение доходности акции в расчете на день равно 1,5%.
Решение.
Доверительной вероятности в 99% соответствует 2,33 стандартных
отклонения. Согласно формуле (К. 1) VaR портфеля равен:
VARp = Юлп//.-0,015-2,33 = 249,5тыс. руб.
Задача 8.11.
Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 10 млн. руб., в который входят акции только одной компании. Стандартное отклонение доходности акции в расчете на год равно 25%. В году 252 тортовых дня.
Решение.
Стандартное отклонение доходности акции для одного дня, учитывая, что в году 252 торговых дня равно:
<т = 25: л/252 =1,575.
Доверительной вероятности в 95% соответствует 1,65 стандартных отклонений. Согласно формуле (8.1) VaR портфеля ранеп:
VARP = I Омт. ■ 0.01575 • 1,65 = 259X7 5тыс. руб.
Задача 8.12.
Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 10 млн. руб.. в который входят акции двух компаний. Уд. вес первой акции в стоимости портфеля составляет 60%, второй - 40%. Стандартное отклонение доходности первой акции в расчете на один день равно 1,58%, второй - 1.9%, коэффициент корреляции доходностей акций равен 0,8.
Решение.
Определяем стандартное отклонение доходности портфеля:
стр =(0,6: -1,58: +0,421,92 + 2-0,6-0,4-!,58-1,9-0,8)~ =1.62%.
Доверительной вероятности в 95% соответетвуе1 1,65 стандартных отклонений. По формуле (8.1) определяем VaR портфеля:
VaRp = I Одеж. • 0,0162 • 1,65 = 267 Зпшс. руб.
Задача 8.13.
Портфель инвестора состоит из акций компании А и В. Коэффициент корреляциями между доходностями акций компании равен 0,4. Однодневный VaR с доверительной всрояшос! ыо 95% по акциям компании Л равен 20 тыс. руб.. по акциям компании В 30 !ыс. руб. Определить VaR портфеля из данных бумаг.
Решение.
Если известны значения VaR по отдельным активам, входящим в портфель. то VaR портфеля из двух бумаг определяется по формуле:
VaRv = y[(VaR, f + (VaR2 f + 2VaRx • VaR, - corrl2 , (8.2)
где VaR. — значение VaR по первой бумаге в портфеле; VaR. - значение VaR по второй бумаге в портфеле; еогт1Л - коэффициент корреляции между доходностями бумаг. Согласно формуле (8.2) VaR портфеля равен:
(200002 + 30000: +■0,4^ =42190.05 руб.
Задача 8.14.
Портфель инвестора состоит из акций компаний А и В. Коэффициент корреляциями между доходностями акций компаний равен i I. Однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% по акциям компании А равен 20 тыс. руб., по акциям компании В 30 тыс. руб. Определить VaR портфеля из данных бумаг.
Решение.
Если коэффициент корреляции между доходностями активов равен единице, то формула (8.2) принимает вид:
VaRp = ^(1ЩY + (VaR, f + 2VaRx • VaR, = ^(VaR + VaR2f
или
VaRp = VaR, + VaR, (8.3)
Согласно (8.3) VaR портфеля равен:
20000 + 30руб.
Задача 8.15.
Портфель иннесюра состоит из акций компаний Л и В. Коэффициент корреляциями между доходностями акций компаний равен +0,75. Однодневный VaR с доверительной верой шостью 95% но акциям компании Л равен 40 тыс. руб., по акциям компании В - 60 тыс. руб. Определить диверсифицированный и не ливерсифицироваииый VaR портфеля из данных бумаг.
Решение.
Диверсифицированный VaR определяется по формуле (8.2). Он ранен:
(40000" -600002 +00-0,75)^ = 93808,32рув,
Не диверсифицированный VaR определяется по формуле (8.3). Он равен:
40000 + 60000 =-100000/туб.
Задача 8.16.
Портфель инвестора состоит и* акций компаний Л и В. Коэффициент корреляциями между доходностями акций компаний равен -0.6. Однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% по акциям компании А равен 50 тыс. руб., по акциям компании В - 70 гыс. руб. Определить диверсифицированный VaR портфеля и:1 данных бумаг. Решение представить в матричном виде.
Решение.
VaR портфеля в матричном виде рассчитывается по формуле:
где V - матрица-столбец значении VaR по каждой бумаге;
V — транспонированная матрица-столбец значений VaR го каждой бумаге. т. е. матрица-строка:
р - корреляционная матрица размерности дхл (я - число активов в
портфеле).
Coi ласио (8.4) VaR портфеля равен:
I 0.6^ VaR. =
'0.6 1rSti)
= 107,7тыс. руб.
Задача 8.17.
Портфель инвестора состоит из акций компаний Л и В. Коэффициент корреляциями между доходностями акций компаний равен +0,4. Однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% по акциям компании Л равен 200 тыс. руб., по акциям компании В 125 тыс. руб. Определить диверсифицированный VaR портфеля из данных бума!. Решение представить в матричном виде.
Решение.
Согласно формуле (8.4) VaR портфеля равен: VaRp = = 'ПЬтыс. руо.
Задача 8.18.
Портфель инвестора состоит из акций компаний А, В и С. Коэффициент корреляциями между доходиостями акций компаний А и В равен -0.4, А и С 0,5, В и С 0,8. Однодневный VaR с доверительной вероятностью 95% по акциям компании А равен 100 тыс. руб. акциям компании В - НО тыс. руб., акциям компании С IS5 1ыс. руб. Определить диверсифицированный VaR портфеля изданных бумаг. Решение представить в матричном виде.
Решение.
Согласно (8.4) VaR портфеля равен:
VaR= (
] 0,4,0,5 0.4 0,5^1 0,8 0,'
= 367.38/Hwr./7j't5.
Задача 8.19.
Российский инвестор купил акцги компании А на 400 тыс. долл. Стандартное отклонение доходности акции в расчете на день составляет 1.26%. Курс доллара 1долл.=29 руб., стандартное отклонение валютного курса в расчете на один день 0.35%. коэффициент корреляции между курсом доллара и доходностью акции компании А равен 0.25. Определить VaR портфеля инвестора в рублях с доверительной вероятностью 95%.
Решение.
Риск инвестора обусловлен двумя факторами: возможным падением котировок акций компании А и падением курса доллара. Поэтому оба фактора риска должны учитываться при расчете VaR портфеля.
Рублевый эквивалент стоимости акций составляет:
МЮтттсдолл.' 29руб. = 1 \,Ь.\ин. руб. Дисперсия доходности портфеля с учетом валютного риска равна:
а; = 1?26? +0,35* +2-1,26-0,35-0,25 -1.9306. Стандартное отклонение доходности состааляет:
а = ,/[.9306 = 1,38946%.
Однодневный VaR портфеля равен:
I! А»лн.-0,,65 - 2б5.94/»ыс./п-б.
Задача 8.20.
Для условий - задачи 8.19 рассчитать VaR по акции и по валютной позиции. На основе полученных значений определить VaR портфеля.
Решение.
Рублевый эквивалент стоимости акций составляет:
АООтыс. до. п.' 29 руб. = 1 Ьбмлн. руб.
VaR по акции равен:
VaRa = 1\&мяи. руб,- 0,0126 -1,65 = 24\Л64тыс. ру6.
VaR по валютной позиции равен:
VaR, - I \.вм:ш. руб.-0,0= 66,99тыс. ру6
VaR портфеля составляет:
i / 1 0.25Y24U64'
VaR = (241.164 66,991
' f \0Л5 1 Д 66.99 у
= 265$4тыс. руб.
Задача 8.21.
Российский инвестор купил акции компании А на 200 тыс. долл. Стандартное отклонение доходности акции н расчете на день составляет 1,26%. Курс доллара 1долл.=29 руб., стандартное отклонение валютного курса в расчете на один день 0,35%. коэффициент ковариации между курсом доллара и доходностью акции компании А равен 0.11025. Определить VaR портфеля инвестора в рублях с доверительной вероятностью 95%. Дисперсию портфеля представить в матричном виде.
Решение.
Риск инвестора обусловлен двумя факторами: возможным падением котировок акций компании А и падением курса доллара.
Рублевый эквивалент стоимости акций составляет:
ЮОтыс. дип.-29 руб. = 5&шн, руб.
В матричном виде дисперсия портфеля запишется как:
5-О ч
1,26' 0,11025
,0,11025 0,35:
Стандартное отклонение доходности составляет:
<т„ = Д9306 = 1.38946%.
Однодневный VaR портфеля равен:
598ло//.0Д,65 = 132,97 тыс. руб.
Задача 8.22.
Для условий задачи 8.21 коэффициент корреляции между курсом доллара и доходностью акнии компании равен 0.25. Определить VaR портфеля предварительно рассчитав VaR по акции и валютной позиции.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
