Следовательно, Н0 отклоняется в пользу гипотезы //,.
Рассчитаем значение параметра Р согласно формуле (4.8):
1 74 F = -—=1,11539.
1,56
По таблице квантилей распределения Фишера находим
Поскольку 1,115 < 1,53, то нет оснований для отклонения нулевой гипотезы. иона принимается.
Задача 4.41.
Доходности активов имеют нормальное распределение. На основе доходности актива X за 41 день и актива У за 61 день были рассчитаны исправленные стандартные отклонения доходностей:
Sx = 1,8%, Sy = 1,5% . Проверить гипотезу о равенстве дисперсий активов при уровне значимости 0,1.
Решение.
Основная и альтернативная гипотезы имеют вид:
//„: <т;. = ст; ? Я,: (Т\. ><т;. Рассчитаем значение параметра F согласно формуле (4.8):
/^ = 1,2. 1,5
По таблице квантилей распределения Фишера находим / в,,, ., , = ?„ят« = ',47 - Поскольку 1.2 < 1,47. то нет оснований для отклонения нулевой гипотезы, и она принимается.
Задача 4.42.
Доходность имеет нормальное распределение. Доходность двух актинов в расчете на месяц за 8 месяцев представлена в таблице:
Периоды
Доходность актива X 2 1,,7 -2,8 3 4
Доходность актива У 1,3 1,8 1,5 3 -2,5 -4.1 3
Проверить гипотезу о том, что дисперсия актива X больше дисперсии актива У при уровне значимости 0,1.
Решение.
Основная и альтернативная гипотезы имеют вид: Я0; <j\=<r',, //,: ffЈ ><*£.
Рассчитаем исправленные дисперсии активов. Y и У: $д - =8,77, sr --7,39. Рассчитаем значение параметра г согласно формуле (4.8):
По таблице квантилей распределения Фишера находим / „:,, *, - Лв -;
Поскольку U9<Z7S, то нез оснований для отклонения нулевой гипотезы, и она принимаемся.
4.3. Риск портфеля ценных бумаг
Задача 4.43.
Доходность двух активов за 8 периодов представлена в таблице:
Периоды
Доходность актива X3 3 7
Доходность актина У-7 -2 10
Определить коэффициент выборочной ковариации доходностей активов.
Решение.
Коэффициент выборочной ковариаиии определяется по формуле:
ik,-b)k-t)
GOV» = 1=1 и (4.9)
где гщ, гп доходности активов Ли У в / - м периоде:
ft — средняя доходность актива Л;
К - средняя доходность актива ¥:
п число периодов наблюдения. Определяем среднюю доходность активов;
10+ I4 + I0 + S—J>—3+3+7
гу = = 6.75.1 S
Ковариапия доходностей равна:
(H)-5.5}(l4-6,75)-^(I4-5,5)(18-6,75) + (lU-5,5)(13-6r75)-b(S-5.5|(l0-6,75)+ /
cm /R — 50.
(-5-5.5)(-2-6,75) + (-3-5,5)(-7-6.75)^(3-5,5)(-2-6Л5) + (7-5.5)(Ю-6,75)/
Задача 4.44.
На основе данных задачи 4.43 определить коэффициент корреляции доходностей активов X и У. Решение.
Коэффициент корреляции определяется по формуле:
C0V..v
GOrr = —, (4.10)
где согг коэффициент корреляции переменных Л и У:
аЛ - стандартное отклонение переменой Л;
<т — стандартное отклонение переменой У. Определяем дисперсии доходностей активов согласно формуле (4.1):
, (10 -5,5); .(14-5,5)4(10-5,5)4(8-5,5)4 /
• ( 5 5,5)2+Н-5,5)2+(3-5,5)Ч(7-5,5)2 /
^ =(14-6.75)4(18-6,73)4Г 1-(10 6.isf + = ^ ^+(-7-6,75)1+(-2-6,75)2+(Ш-6,75)2
Стандартные отклонения доходностей равны:
<тх -7^8,75-6,225, ау = 772.69^8.526. Коэффициент корреляции составляет:
соггп = = 0,942.
п 6,225-8,526.
Задача 4.45.
Стандартное отклонение доходности первого актива равно 32%, второго 41%, ковариация доходностей активов 435. Определить коэффициент корреляции доходностей активов.
Решение.
Согласно формуле (4.10) коэффициент корреляции равен:
435 П111con:, = = 0,332.
u 32-41
Задача 4.46.
Стандартное отклонение доходности первого актива равно 25%, второго 34%, коэффициент корреляции между доходностями активов 0,65. Определить ковариацию доходностей активов.
Решение.
Из формулы (4.10) ковариаиия равна: eovX2 = Соп\г2а1а2 ■ (4.11)
Согласно (4.11) ковариаиия доходностей активов составляет: cov, 2=0,65-25.34 = 552,5.
Задача 4.47.
Стандартное отклонение доходности первого актива равно 30%, второго 35%. Может ли ковариация доходностей быть равной 1102,5.
Решение.
Согласно (4.10) коэффициент корреляции доходностей активов должен быть равен:
1102.5 ,__
соп\ 9 = = 1,05.
1,2 30-35
Однако коэффициент корреляции не может быть больше единицы. Поэтому ковариаиия доходностей активов не может составлять величину 1102,5.
Задача 4.48.
Стандартное отклонение доходности первого актива равно 8%, второго - 24%. Может ли ковариация доходностей быть равной минус 211,2.
Решение.
Согласно (4.10) коэффициент корреляции доходностей активов должен быть равен:
СОГГу "1Л.-211,28-24
Однако коэффициент корреляции не может быть по абсолютному значению больше единицы. Поэтому ковариаиия доходностей активов не может составлять величину -211,2.
Задача 4.49.
Стандартное отклонение доходности первого актива равно 28%, второго 32%. Какое максимальное положительное значение может принять ковариация доходностей данных активов.
Решение.
Ковариация принимает максимальное положительное значение при корреляции доходностей актинон плюс один. Поэтому, согласно (4.11) ее максимальное положительное значение может составить: cov,2= 1-28-32=896.
Задача 4.50.
Стандартное отклонение доходности первого актива равно 28%, второго 32%. Какое максимальное отрицательное значение может принять ковариация доходностей данных активов.
Решение.
Ковариация принимает максимальное отрицательное значение при корреляции доходносгей активов минус единица. Поэтому се максимальное отрицательное значение может составить:
covl2 = - Ь28-32 = -89б.
Задача 4.51.
Стандартное отклонение доходности первого актива равно 10%, второго - 17%. В каком диапазоне может располагаться значение ковариации доходностей данных активов.
Решение.
Коэффициент корреляции активов может изменяться от +1 до -1. Соответственно максимальное положительное значение ковариации может составить;
COv]2 =1.10-17 = 170,
а максимальное отрицательное значение:
апу:=-Ы0-17 = -170.
Значение ковариашш доходиостсй активов может располагаться в диапазоне от -170 до+170.
Задача 4.52.
Доходности акций А и В могут принимать только два значения, как показано в таблице:
Доходность А Доходность В
1-й сценарий 5% 10%
2-й сценарий 8% 12%
Определить коэффициент корреляции доходностеи акций.
Решение.
Строгий ответ о величине коэффициент корреляции акций можно найти по формуле (4.10). рассчитав предварительно ковариашпо и стандартные отклонения доходностеи. Однако, ответ можно дать и без расчетов. В задаче возможно только два сценария развития событий. Из таблицы следует, что доходности двух акций или обе расiуi (переход от первого сценария ко второму) или обе падают (переход от второю сценария к первому). Поэюму коэффициент корреляции равен * 1.
Задача 4.53.
Доходности акций А и В могут принимать только два значения, как показано в таблице:
Доходность А Доходность В
1 - и сценарий 5% 10%
2-й сценарий 8% 4%
Определить коэффициент корреляции доходностей акций.
Решение.
Сгрогий ответ о величине коэффициента корреляции акций можно найти но формуле (4.10). Однако, ответ можно дать и без расчетов. В задаче возможно только два сценария развития событий. Из таблицы следует, что ДОХОДНОСТИ двух акций изменяются в противоположных направлениях. Поэтому коэффициент корреляции равен -1.
Задача 4.54.
Доходности акций А и В могут принимать только два значения, как показано в таблице:
Доходность А Доходность В
1-й сценарий 5% 10%
2-й сценарий 8% 10%
Определить коэффициент корреляции доходностей акций.
Решение.
Из таблицы следует, что доходность акции В не изменяется при изменении доходности акции.4. Поэтому коэффициент корреляции равен нулю.
Задача 4.55.
Доходность активов имеет нормальное распределение. Доходности активов X и У за 8 периодов представлены в таблице:
Периоды
Доходность актива X 8 8
Доходность актина Y-4 -3 5
Определить коэффициент выборочной корреляции доходности активов. Проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции при уровне значимости 0.1.
Решение.
Средние значения доходностеи активов равны:
ъ1-1Ггв= >, ,у =К '8
Коэффициент выборочной ковариашш равен:
= :>,>. covn 8 = 32.875.
Выборочные стандартные отклонения активов составляют:
<?х = — = 5,568 , ay = \M=i 8
Коэффициент корреляции равен:
32,875со)тху --= 0.833.5,568-7,089
При проверке значимости коэффициента корреляции рассматривают две гипотезы: llt и Нх. //„ это основная (нулевая) гипотеза, Ht альтернативная (конкурирующая) гипотеза. Основная и альтернативная гипотезы имеют вид:
//„ : £вгг„ - 0, Я, : аят„ * 0.
Основная гипотеза говорит о том, что коэффициент корреляции равен нулю. Альтернативная гипотеза юворит о том, что коэффициент корреляции не равен нулю. Если в результате проверки гипотеза Ип отклоняется в пользу
гипотезы И. ч то это означает, что коэффициент корреляции статистически значим, т. е. он существенно отличается от нуля, переменные Л и У коррелированны, и между ними существует линейная связь. Если гипотеза Hv не отклоняется, то нет оснований отрицать, что переменные, (имеющие нормальное распределение), независимы.
Для проверки гипотезы Н0 на основе выборки строится статистика:
»тa/rr„. Vп - 2^Т =еогг„ (4Л2)
где п - объем выборки;
corrxt - коэффициент выборочной корреляции.
Величина Г имеет распределение Стьюдеята с в-2 степенями свободы. Если рассчитанное иа основе (4.12) значение критерия Т принадлежит критической области20, го нулевую гипотезу отклоняют. Если значение критерия 7" попадает в область принятия гипотезы, то нулевую гипотезу не отклоняют.
согг </.
При условии
«V^2conЛ;Г - l-U.'J. EI-i параметр /' попадает в область
принятия гипотезы. Следовательно, нулевая гипотеза принимается при уровне значимости а,
При условии сип
V - V^2согг: >Л 2л-: параметр Т попадает в критическую
область. Следовательно, Н0 отклоняется в пользу гипотезы Иу. Рассчитаем значение параметра тсогласно формуле (4.12):
Г = 0ДО^2.21
VI -0.83.V По таблице квантилей распределения Слыодснта"' или с помощью профаммы
F. XCel" иаХОДИМ A-0,l'2;S-2 = 'о.95.6 = MW3.
Поскольку 3,688 > 1.943. то значение критерия попадает в критическую область. Поэтому не принимаем нулевую гипотезу, т. е. коэффициент корреляции статистически значим.
Задача 4.56.
Доходность активов имеет нормальное распределение. Доходности активов Х и Y за 8 периодов представлены в таблице:
Периоды
Доходность актива X 10
Доходность актива У-7 -5 -4
Определить коэффициент выборочной корреляции доходностей активов. Проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции при уровне значимости 0,1.
Решение.
Коэффициент корреляции равен: согг^ = -0,3074.
Рассчитаем значение параметра Т согласно формуле (4.12):
т -0,307478^2^^ Jl-(-0,3074)"
По таблице квантилей распределения Стьюдента или с помошыо программы Excel-4 находим *i_<i.|.v&_; ='0,95,6 = 1*943,
Поскольку |—0.791| < 1,943, то принимаем нулевую гипотезу, т. е. коэффициент корреляции статистически не значим.
Задача 4.57.
Сохраняются условия задачи 4.55. Найти доверительный интервал для коэффициента корреляции с коэффициентом доверия γ = 0,9.
Решение.
При малых объемах выборки верхнюю и нижнюю границы доверительного интервата для коэффициента корреляции можно определить по следующим формулам:
con - rhz,:; соп\ - lhz„, (4.13)
где corrn - нижняя граница доверительного интервала;
corrt верхняя граница доверительного интервала;
е' - с '
th - гиперболический тангенс, он равен lltx = — -
экспонента, бесконечная непериодическая дробь, первые цифры которой равны 2,71828:
COrrxi ~ точенная оценка коэффициента корреляции на основе осуществленной выборки:
п - объем выборки;
"'.-,,: - квантильуровня 1 - ail стандартного нормального распределения:
а уровень значимости, соответствующим выбранной доверительной верояпюсти у.
Из соотношения у = \-а находим значение а, соответствующее
коэффициенту доверия 0,9%:
« = 1-0,9 = 0,1.
По таблице квантилей нормального распределения или с помощью программы Excel находим значение квантили ";., - u09S -1.65 ,
Рассчитаем значения £н и zt:
л_. 1 + 0,833 0,833 1,65 ..„..-
е~ +е
Таким образом, довершедьпый интервал дня коэффициента корреляции с уровнем доверия 0,9 равен: 0,38; 0.95. т. е. данный инчервал с вероятностью 90% накрывает истинное значение коэффициента корреляции.
Задача 4.58.
Выборочный коэффициент корреляции равен 0,833. Он был определен на основе 600 наблюдений. Найти доверительный интервал для коэффициента корреляции с коэффициентом доверия у = 0.9 .
Решение.
При объемах выборки не менее 500 верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала для коэффициента корреляции можно определить по следующим формулам:
соп\7 (1 - согг' ) 1 - СОГГ*
eorr, = свггм + —^- = н,.я. —-j=—щ (4Л4)
eorr„ (1 - corrly) i _ corr I
Г\У ^Т - - + l'la:2 ~1=^~- <4Л$)
; -+u. .—=л
Иэ соотношения у = I ■ ct находим значение a, соответствующее
коэффициенту доверия 0.9%:
а = \ -0,9 = 0»].
По габлитде квантилей нормального распределения" или е помощью прО]раммы Excel"4 находим значение квантили и,,, а - иои = 1,65 .
Согласно форхгулам (4.14) и (4.15):
0.833(1-0.833") 1-0,833: л
согг. =0.833 + 2 £-1,65—р=—= 0,812593.
2-600 7б00
0,833(1-0,83л
con - =0.833 + * -+1,65—j=—= 0,853832.
2-600 V600
Таким образом, доверительный интервал для коэффициента корреляции с уровнем доверия 0.9 равен: 0.813: 0,854, т. е. данный интервал с вероятностью 90% накрывает истинное значение коэффициента корреляции.
Вопрос 4.59.
В чем недостатки показателя ковариации для получения наглядной оценки тесноты связи между переменными?
Ответ.
1) Ковариация имеет размерность равную произведению размерности двух случайных величин. Поэтому значение ковариации зависит от единиц их измерения.
2) Ковариация характеризует не только степень зависимости двух переменных, но и их рассеяние вокруг средних значений (см. формулу (4.9)). В результате, если одна и* неременных мало отклоняется от своего среднего значения, то величина ковариашш будет небольшой, какой бы тесной не была зависимость переменных.
Задача 4.60.
Докажите, что дисперсия доходности портфеля состоящего из двух активов, равна <т' = &?&, *&'ст: \ 20,0. cov,,, где 0,, 0г, ег, а. соответственно уд. веса и стандартные отклонения первого и второго активов, r1, r2 - их доходности.
Решение.
Обозначим математические ожидания доходностей активов как г, г,, ковариацию доходностей - cov,., для записи дисперсии и математическою
ожидания воспользуемся символами var(-) и - £{■). Дисперсия доходности портфеля представляет собой дисперсию суммы двух зависимых случайных величин - доходности первого и второго активов с учетом их уд. весов в портфеле, поэтому:
а; = var(<?,r, + 02r2) = E[(0lrl ^O2r2)-(0i7l+0J1j]1 = Е[(в^-в^)^(02г2 -02T2)J = Е{0^ - OfJ - Е{в2г2 -0,72f +2£(ф; -01Ц){07г7~02г2) =
Величины E{r.-r\)\ E\r:-r:). E{r\ - г^к - F:) представляют собой
соответственно дисперсии доходностей активов и ковариацию их доходностей. С учетом сказанного последняя строка в выражении (4.16) принимает вид:
а; = О;а; + 0:а; + 20,0, cov,,. (4.17)
Задача 4.61.
Уд. вес актива X в портфеле 20%. актива Y 80%, стандартное отклонение доходности актива X 16%, актива Y 22%, ковариация доходностей активов 299,2. Определить риск портфеля, измеренный стандартным отклонением.
Решение.
Согласно (4.17) дисперсия доходности портфеля равна:
^=0,2:162+0,82-222 +2-0.2-0,8-299,2 = 415,744.
Стандартное отклонение доходности портфеля составляет:
<т = л/415,744 =20,39%.
Задача 4.62.
Уд. вес актива X в портфеле 20%, актива Y 80%, стандартное отклонение доходности актива X 16%, актива Y 22%, коэффициент корреляции доходности активов 0,85. Определить риск портфеля, измеренный стандартным отклонением.
Решение.
Риск портфеля из двух активов на основе корреляции их лоходностей определяется по формуле:
сг; =02z<4 +0}<72r +2#xeT<Tx<TtcorrXY. (4.18)
Дисперсия доходности портфеля раина:
гт2 =0,22-162+0,82-222+2-0,2-0,.85 = 415,744.
Стандартное отклонение доходности портфеля составляет: а = д/415,744 = 20,39%.
Задача 4.63.
Портфель состоит из активов X и Y. Уд. вес актива X в портфеле 30%. Стандартное отклонение доходности актива X 18%. актива Y 28%. коэффициент корреляции доходностей активов 0,7. Определить риск портфеля, измеренный стандартным oтклонением.
Решение.
Сумма уд. весов активов в портфеле равна единице. Поэтому уд. вес актива Уъ портфеле равен:
9, * 1-0,3 = 0,7. Дисперсия доходности портфеля согласно (4.18) составляет:
ст2=0,32-182+0,72-282 +2-0,3-0,7 ,7 = 561.496. Стандартное отклонение доходности портфеля равно:
<т = ,/561,496 = 23,7%.
Задача 4.64.
Портфель состоит из активов X и Y. Инвестор купил актив X на 300 тыс. руб., актив Y на 900 тыс. руб. Стандартное отклонение доходности актива X в расчете на год 20%, актива Y 30%. коэффициент корреляции доходностей активов 0,6. Определить риск портфеля, измеренный стандартным отклонением.
Решение.
Уд. вес актива А" в портфеле равен:
ЗООжыс. = 025
МОтыс. + 900шыс.
Уд. вес актива Ун портфеле равен:
0Г =1-0,25 = 0.75.
Дисперсия доходности портфеля согласно (4.18) составляет;
агр = 0.252-202 + 0,752-302 + 2-0,25 -0.= 666,25.
Стандартное отклонение доходности портфеля равно: <Т = ^/666, 25 =25.81%.
Задача 4.65.
Стандартное отклонение доходности акции А 30%, акции В 20%, ковариация доходностей 0,5. Определить ожидаемый риск портфеля, измеренный стандартным отклонением, если инвестор купил акции А на 5 тыс. руб., акции В на 20 тыс. руб.
Решение.
Стоимость портфеля равна:
5 + 20 = 25тыс. руб.
Удельные веса бумаг равны:
^=^• = 0,2,^ = 1-0,2 = 0,8. Риск портфеля составляет:
сг^=(0,22-302 + 0,82-202+2*0,20,80,5)^ = 17,09%.
Задача 4.66.
Портфель состоит из двух активов. Стандартное отклонение доходности первого актива равно 20%, второго 30%, корреляция доходностей составляет минус единица. Определить доходность безрискового портфеля из данных активов, если ожидаемая доходность первого актива 30%, второго 50%.
Решение.
Если коэффициент корреляции равен минус единица, то формула (4.18) превращается в квадрат разности:
Стандартное отклонение доходности портфеля равно:
<Т =\0-(Т] — 0,<т,|.
Чтобы определить уд. веса активов в безрисковом портфеле, приравняем стандартное отклонение портфеля к нулю:
в^-0,0, =0. Учитывая, что ft ==1 — 0t, получим:
4—S - 4--S-,
Доходность безрискового портфеля составляет:
0,6 -30+0,4- 50=38%.
Задача 4.67.
Инвестор формирует из двух активов портфель на сумму 100 тыс. руб. Риск бумаги X равен 20%. Y — 35%. Корреляция доходносгей бумаг -1. Определить, сколько средств необходимо инвестировать в каждую из бумаг, чтобы портфель оказался безрисковым.
Решение.
Найдем уд. веса для каждой из бумаг в портфеле:
35
сг 0,636 ,
20 35
<т. I 0.Бумагу X инвестор должен купить на сумму:
100/иыс - 0,636 = ЬЪХ>тыс. руб.,
а бумагу У иа сумму:
\00mhic - 0,364 = 3694тыс. руб.
Задача 4.68.
Инвестор приобретает рискованный актив А на 800 тыс. руб. за счет собственных средств, занимает 200 тыс. руб. под 12% годовых и также инвестирует их в актив А. Ожидаемая доходность актива А равна 30% годовых, стандартное отклонение доходности 20%. Какую доходность инвестор может получить через год с вероятностью 68,3%? Доходность актива распределена нормально.
Решение.
Уд вес в актива А в портфеле равен:
800 + 200 _{Удельный вес занятых средств в портфеле составляет:
200тЫС 800отыс. Ожидаемая доходность портфеля равна:
г. =1,25-30+ (-0,25)-12 = 34,5%.
На основе (4.17), учитывая, что дисперсия 'заемных средств равна нулю и ковариация актива А с заемными средствами равна нулю, дисперсия доходности портфеля составляет:
а2=в:а]=\,252-202 ^625.
р А А
Стандартное отклонение равно: ир = V625 = 25.
С вероятностью 68,3% можно ожидать, что доходность портфеля через год будет располагаться в интервале одного стандартного отклонения от ожидаемой доходности, т. е. 34,5 = 25 или:
от 34,5-25 = 9,5% до 34,5 i 25 = 59,5%.
Задача 4.69.
Инвестор приобретает рискованный актив А на 500 тыс. руб. за счет собственных средств, занимает 200 тыс. руб. под 12% годовых и также инвестирует их в актив А. Ожидаемая доходность актива А равна 25% годовых, стандартное отклонение доходности 15%. Какую доходность инвестор может получить через год с вероятностью 95,4%?
Решение.
Уд все в актива А в портфеле равен:
500 +
= 1,4-
500
Удельный вес занятых средств в портфеле составляет:
2О0тыс. Л.
= 0.4.
ЗООтыс.
Ожидаемая доходность портфеля равна:
гр= 1,4 -25 + (-0,4)12 = 30,2%.
Стандартное отклонение доходности портфеля равно: <гр = 1,4-15=21.
С вероятностью 95.4% можно ожидать, что доходность портфеля через год будет располагаться в интервале двух С1апдартиых отклонений от ожидаемой доходности, т. е. 30,2 + 21 или:
от 30,2-21 = 9,2% до 30,2 + 21 = 51,2%.
Задача 4.70.
Инвестор приобретает рискованный актив А на 300 тыс. руб. и актив В на 200 тыс. руб. за счет собственных средств. Занимает 200 тыс. руб. под 12% годовых и покупает на 150 тыс. актив А и на 50 тыс. актив В. Ожидаемая доходность актива А равна 20%. актива В 15% годовых, стандартное отклонение актива А в расчете на год составляет 14%, актива В - 10%, коэффициент ковариации доходностей активов равен 0,7. Определить, какую доходность инвестор может получить через год с вероятностью 95,4%.
Решение.
Уд. вес в актива Л в портфеле равен:
300тыс. + 150/мыс.
= 0,9.
300/яые.+200я1ыс. Уд. вес в актива В в портфеле равен:
200тыс. + 50тыс.
Ш)ты(\-200тыс. Удельный вес занятых средств в портфеле составляет:
200отыс. _ 500тыс.~ Ожидаемая доходность портфеля равна:
гр= 0,9-20 + 0,5 -15+ (-0.4)-12 = 20,7%.
Стандартное отклонение доходности пор|фсля составляет:
ар =(0,92 142 +0.52 - I02 f2-0,9'0,5-O,7r =13.58.
С вероятностью 95,4% можно ожидать, что доходность портфеля через гол будет располагаться в интервале двух стандартных отклонений от ожидаемой доходности, т.е. 20,7±13,58 или:
от 20,7 - 2 • 13,58 = -6,46% до 20,7 + 2-13,86%.
Задача 4.71.
На примере портфеля из двух активов докажите, что при корреляции +1 риск портфеля, измеренный стандартным отклонением доходности, является средневзвешенным риском входящих в него активов.
Решение.
Дисперсия доходности портфеля из двух активов определяется по формуле:
(Тр = 6\а\ +&у<Ту +20i0lcrv<Jtcort\,. Рели корреляция равна+1, она принимает вид:
°-;=0X+<?rV= ' ЩАаяог (4.19)
Формула (4.19) есть формула квадрата суммы, поэтому:
ег2 = 0\<7\ +0уС' +20x0yCTy<jyCori\y =(®Х0Х + &гауУ-или
C7,.=0.YfT. v+'9;'T!-
Задача 4.72.
Портфель состоит из двух активов X и Y. Определить уд. веса активов для портфеля с минимальной дисперсией.
Решение.
Дисперсия доходности портфеля определяется по формуле:
а1 = ^х°х + &Yar + 20хОу(ТуО'уСОП'у
Выразим уд. вес актива А' мере:* уд. вес актива Y:
В, I ^ (4.21)
Подставим значение 0Г из (4.21) в (4.20):
°i = О - &т? ах + йу°\ + 2(1 ~ &т ) вг<?х<?у«->ггху ■ Продифференцируем полученное выражение по 0, :
—- = -2(\-ву)а~х+2ву(Ту 2вуа х(7уСОггХу t-2(l $Y )fjxGyCorrXY, а О,.
Раскроем скобки и приравняем производную к нулю, чтобы найти минимум функции:
-2(7^. +*****@***+2ffrOy —20y(7x<7yC<>rrvl +2еТх<тгсогг„ —20гстхсГуСО1тХу =0. Отсюда:
Gx-<Jx<JyCOVrsy
и> 2 ' й ' (4.22)
<JX I <Jy 2<ТхСГуСОП\т
Выражение (4.22) представляет собой минимум функции, поскольку вторая производная о-" по fy является величиной положительной. Уд. вес актива X из (4.21) равен:
(7, <т 2(7,ст, еоггп
Задача 4.73.
Портфель состоит из активов X и Y. Стандартное отклонение доходности актива X 23%, актива Y 28%, коэффициент корреляции доходностей активов 0,6. Определить уд. веса активов в портфеле с минимальным риском.
Решение.
Согласно формуле (4.23) уд. вес актива Xравен:
Ох = 3 .-» - - -' =0,736.
28: - 23-28-0.6 23J+-G
О, =1-0,736 = 0.264.
Задача 4.74.
Портфель состоит из двух активов X и У. Доказать, что при нулевой корреляции доходностей активов уд. веса бумаг X и Y в портфеле с минимальной дисперсией равны в = —-— и $х =——-—-.
Решение.
При нулевой корреляции дисперсия доходности портфеля определяется по формуле:
/> ^ п1 1
О; = 6хО; + в:<7*у, (4.24)
Выразим ул. вес актива А' через уд. вес актива У:
в(=\-0,. (4.25)
Подставим значение #, из (4.25) в (4.24):
Продифференцируем полученное выражение по Qi :
" ^_
do*
= -2 1-#к7:+2#ст.
Раскроем скобки и приравняем производную к нулю, чтобы найти минимум функции:
-lal +2вуо', +2в^ =0.
Отсюда:
#,= ?" ,• (4.26)
Выражение (4.26) представляет собой минимум функции, поскольку вторая производная <т~р по # является величиной положительной. Уд. вес актива X из (4.25) равен:
вх =— Г-
<тг. + СУ:
Задача 4.75.
Дисперсия доходности портфеля (сигма p в квадрате) из n активов определяется по
формулеI! Ч
/I./-I
гле $i» &i - ул. веса / - го и / го акт ивов в портфеле;
cov - ковариаиия лохолностей /'-го и у-го активов.
Раскрыть данную формулу для портфеля из трех активов.
Решение.
В формуле (4.27) стоит знак двойной суммы. Ои раскрывается следующим образом. Вначале принимают /~1, a j пробегает значении oi 1 до 3. Далее
задают значение / = 2, j вновь пробегает значения от 1 ло 3. Затем задают
значение 1 = 3, j пробегает значения от 1 до 3.
з з а2 ^^
> > Ofii COVi/ = &\Q\ COV|j + 6,#j COV, 2+#,#з СОУ, д+
i-l j 1 в2вх COV 2j + M^ GOv2,2 + O^Oy COV2.3 + 0-fi\ GOV3j + #з#2 COV3 2 + #$#3 cov J,3
В полученной формуле cov/J-=o-/' и cov^-cov^,. с учетом данных фактов получаем:
crl=Y^O,0,со\1. =0?а;+-&;а; - &;<т~ + 20:0:covi: +20,0, cov, + 20:01сох1 _х
Задача 4.76.
Уд. вес актива X в портфеле 20%, актива Y 30%, актива Z 50%, стандартное отклонение доходности актива X составляет 36%, актива Y - 22%, актива Z -15%, ковариация доходностей активов X и Y равна 396, X и Y – 324, Y и Z — 264. Определить риск портфеля, измеренный стандартным отклонением.
Решение.
Couiaciio (4.27) дисперсия доходности портфеля равна:
<т\ = 0,22-362+0,32 -22: +0: +2-0,2-0,3-396 + +2-0,2-0.5-324 + 2-0.3-0,5-2,17. Стандартное отклонение доходности портфеля составляет;
<T-V343-I7TT18-52%-
Задача 4.77.
Уд. вес актива X в портфеле 10%, актива Y 40%, актива Z 50%, стандартное отклонение доходности актива X составляет 40%, актива Y 32%, актива Z -18%, ковариация доходностей активов X и Y равна 512, X и Z 504, Y и Z 489,6. Определить риск портфеля, измеренный дисперсией. Решение записать в матричном виде.
Решение.
Риск портфеля, измеренный дисперсией, в магричпом виде записывается как:
tf\ Q'QB, (4.28)
где 0 матрица столбец уд. весов активов в портфеле:
&' - транспонированная матрица столбец уд. весов активов в портфеле: Q - ковариационная матрица доходное! ей бумаг. Согласно формуле (4.28) риск портфеля равен:
crj=(0,l 0.4 0,5)
40: N ( 0.1
512 32" 489.6 0,4
? l0.5
- 548.04.
Задача 4.78.
Уд. вес активаХв портфеле 10%. актива F40%, активаZ50%. ciaiuapTiioe отклонение доходности актива - V составляет 40%. актива У - 32%. акт ива Z 18%, коэффициент корреляции активов X и У ранен 0.4. X и Z - 0.7, У и Z 0,85. Определить риск портфеля, измеренный дисперсией. Решение записать в матричном виде.
Решение.
Риск портфеля, измеренный дисперсией, в матричном виде записывается как:
где 0 — мачрица столбец уд. весов активов в портфеле:
® транспонированная матрица столбец уд. весов активов в портфеле:
Р - корреляционная мачрица размера их и;
X - мафица стандартных отклонений размера йхд;
/7 количество активов в портфеле.
-(0,1
<40 0 <Л О. тЛ Г40 0 оЛ (о. Л
0,8,4
^о 0 »> чУ,0 D и; <^5;
Задача 4.79.
В портфель входит 100 акчивов в равных уд. весах. Стандартные отклонения доходности активов одинаковые и составляют 20%, ковариаиии доходностей активов равны нулю. Определить риск портфеля, измеренный стандартным отклонением.
Решение.
Дисперсия портфеля из активов с корреляцией равной нулю рассчитывается по формуле:
При одинаковом уд. весе активов она принимает вид:
161
Г.-iaisa 4. Доходность и риск портфеля ценных бумаг
< /лт или -, (7
Отсюда стандартное отклонение доходности портфеля равно:
а (4.29)
Согласно (4.29) стандартное отклонение доходности портфеля из 100 активов
составляет:
20 =2%.
Задача 4.80.
Российский инвестор купил акции компании А на 100 тыс. долл. Стандартное отклонение доходности акции в расчете на день составляет 1,4%. Курс доллара 1долл.-29 руб., стандартное отклонение валютного курса в расчете на день 0,32%, коэффициент корреляции между курсом доллара и доходностью акции компании А равен 0,2. Определить стандартное отклонение доходности портфеля в расчете на день.
Решение.
Риск инвестора обусловлен двумя факторами: возможным падением котировок акций компании А и падением курса доллара. Поэтому оба фактора должны учитываться при расчете риска портфеля.
Дисперсия доходности портфеля с учетом валютного риска равна:2'1
сг2р = 1,42 + <U22 +2-1.4-0.32-0,2 = 2,24
Стандартное отклонение доходности составляет:
<Т = ^2.2416 = 1,497%.
Задача 4.81.
Представить расчет дисперсии доходности портфеля для условий задачи 4.80 в матричном виде.
-J В предыдущих примерах при расчете стандартного отклонения портфеля дисперсия каждого актива умножалась на квадрат его уд. веса в портфеле, Мы поступали таким образом потому, что дисперсия каждого фактора риска учитывалась в риске портфеля не полностью, а частично, в соответствии с его уд. весом В данном примере в дисперсии портфеля два фактора риска - валютный риск и риск курсовой стоимости - учитываются полностью. Поэтому они входят в формулу расчета стандартного отклонения с уд. весами равными единице, т. е. в этом случае риск портфеля представляет собой дисперсию суммы двух случайных переменных - доходности акции и динамики валютного курса.
162
Г. шна 4. Доходность и риск портфеля пенных бумаг
Решение.
В матричной записи выражение (4.30) принимает пил:
1 ' / J I 0.2Y 1.4
а: =(1.4 0,32
\0,2 1 Jv0.32
-2,2416.
Задача 4.82.
ДЛЯ условий задачи 4.80 определить стандартное отклонение доходности портфеля, если инвестор осуществил короткую продажу акции компании А. Решение.
Дисперсия доходности портфеля равна:
а; = L4" +0,,32-0.2 = 1,8832. Стандартное отклонение доходности составляет:
a = Jl,8832 = 1,372%.
Задача 4.83.
Российский инвестор купил акции компании Л на 600 тыс. долл., компании В на 400 тыс. долл. Стандартное отклонение доходности акции компании А в расчете на день составляет 1,4%, компании В 1.55%. Курс доллара 1долл.=28 руб., стандартное отклонение валютного курса в расчете на один день 0,43%. коэффициент ковариации между курсом доллара и доходностью акции компании А равен 0,0903. доходностью компании В - 0.05332. Ковариация доходностей акции компании А и компании В равна 1,736. Определить стандартное отклонение доходности портфеля в расчете на день. Дисперсию
портфеля определить по формуле а; = /~"/"^Д cov,-
Решение.
Риск инвестора обусловлен тремя факторами: возможным падением котировок акций компаний А и В и падением курса доллара. Поэтому данные факторы должны учитываться при расчете риска портфеля.
Уд. вес компании А в портфеле равен: вЛ = = 0,6, компании В:
Ъин
400^
1.W.7V/.
Дисперсия доходности портфеля равна:
а; =0.43" + 0,6: -1.4' -0.4" - I.55? +2-0.6-0,0903+ 2-0,4-0,05332 +
+2-0,60,4-1,736 = 2,259. Стандартное отклонение доходности портфеля составляет:
<г. =,/2.259 = 1,503%.
Задача 4.84.
Для условий задачи 4.83 определять стандартное отклонение доходности портфеля, если инвестор купил акции компании А и осуществил короткую продажу акций компании В.
Решение.
Дисперсия доходности портфеля равна:
а^=0,43Ч0.62-1.4:+0.4:1.55: . 2-0.б-0,09ОЗ-2-О,4-О, О5332-2-О,6-О,4-1.736 = 0.507. Стандартное отклонение доходности портфеля составляет:
ор - Д 5073 = 0,712%.
Задача 4.85.
Для условий задачи 4.83 определить стандартное отклонение доходности портфеля, если инвестор осуществил короткую продажу акций компаний А и В. Решение. Дисперсия доходности портфеля равна:
(rj=0,433 *0.б2-1,4; +0.4- •l.55;-2-0.6-0..4-0.05332+2-0,6-0,4-i,736-1,957. Стандартное отклонение доходности портфеля составляет:
ар =^1,957=1,399%.
Задача 4.86.
Курс доллара составляет 1 долл.=28 руб.. курс евро - 1евро =35 руб. Российский банк купил па спотовом рынке 600 тыс. долл. и осуществил короткую продажу 400 тыс, евро. Стандартное отклонение курса доллара к рублю в расчете на один день составляет 0.38%, евро к рублю - 0,52%. коэффициент корреляции между курсами долл/руб. и евро/руб. равен 0.82. Определить однодневное стандартное отклонение доходности портфеля.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
