J + r[T ftasa)
пли
X
+ S.
—: AT— \ + *- (11.17)
I + г(Т. хш:ш)
Выражение (11.17) говорит о том. что продажа второго портфеля означает заимствование денег и покупку акиии. 13 целом в рамках данной стратегии арбитражер занимает средства и покупает акцию и опцион пут.
Арби гражер занимает 99 руб. и покупает опцион и акцию. Через 30 дней он
должен вернуть по кредиту:
99[| + 0,1(30/365)] = 99,81/чй.
Если к окончанию контракта цена спот акции ниже цены исполнения, он исполнит опцион и поставит бумагу по 100 руб. Его прибыль равна:
100-99,81 =0J 9руб.
Если курс акции превысит цену исполнения, он продаст ее на енотовом рынке по более высокой иене и получит еше большую прибыль.
Задача 11.47.
Цена спот акции 83 руб.. ставка без риска 3% годовых. Европейский опцион пут на акцию с иеной исполнения 100 руб. истекает через 15 дней. Определить нижнюю границу премии опциона. Ьаза 365 дней.
Решение.
Согласно формуле (11.14) нижняя граница премии опциона равна:
-83-16,88/w.
1+0,03(15/365)
Задача 11.48.
Для условий задачи 11.47 определите величину арбшражнон прибыли и перечислите действия арбитражера, если опцион пут стоит 16 руб.
Решение.
Арбитражер занимает 99 руб. и покупает опцион и акцию. Через 15 дней он должен вернуть по кредиту:
99[1+0,03(15/365)1 = 99,12#у£
Если к окончанию контракта цена спот акции ниже цепы исполнения, он исполнит опцион и поставит бумагу по 100 руб. Его прибыль равна:
100-99,12 = 0,88 руб.
Если курс акции превысит цену исполнения, он пролает ее ии спотопом рынке по более высокой цене и получит еше большую прибыль.
337
Опционы
Задача 11.49.
Цена исполнения американского опциона пут на акцию 100 руб.. премия опциона 4 руб.. цена спот акпии 95 руб. Определить арбитражную прибыль и перечислить действия арбитражера.
Решение.
Американский опцион пут можно исполнить досрочно. Держатель опциона получит сумму равную Л — S. Поэтому американский опцион пут в любой момент времени действия контракта должен стоить не меньше чем X-S. Если данное условие нарушено, то последует арбитраж. Арбитражср купит опцион, поскольку он стоит дешевле, чем должен стоить, купит акцию и исполнит опцион. Прибыль по операции составит:
X-S-pe. (11.18)
Арбитражер занимает 99 руб., покупает опилок и акцию и сразу исполняет опцион, т. е. продает акцию по 100 руб., возвращает сумму кредита. Согласно (11.18) арбитражная прибыль равна:
100= \руб. минус процент но кредиту.
Задача 11.50.
Цена исполнения американского опциона пут на акцию 120 руб., премия опциона 25 руб., пена енот акпии 94 руб. Определить арбитражную прибыть и перечислить действия арбитражера.
Решение.
Арбитражер занимает 119 руб., покупает опцион и акцию и срачу исполняет опцион, т. е. продаст акшно по 120 руб.. возвращает сумму кредита. Согласно {11.18) арбитражная прибыль равна:
= 1руб. минус процент по кредиту.
Задача 11.51.
Цена спот акции 100 руб.. ставка без риска 10% годовых. По акции через три месяца выплачивается дивиденд в размере 8 руб. Определить верхнюю границу премии трехмесячною европейского опциона колл на эту акцию с ценой исполнения 5С руб.. если дивиденд на акцию выплачивается перед моментом истечения опциона.
Решение.
Для европейского опциона колл верхняя граница премии равна:
ct=S-D,
где D - приведенная стоимость дивиденда к моменту заключения кон факта: дивиденд дисконтируется под ставку без риска г.
338
Г. шва П. Опционы
с =100 % г = 92.20 руб.
I i 0,' Ю
Задача 11.52.
Для условий задачи 11.51 определите арбитражную прибыль и перечислите действия арбитражера, если премия опшюна равна 93 руб.
Решение.
Арбитражер продает опцион ча 93 руб.. занимаег 7 руб. и покупаем акцию. По кредиту мереч! ри месяца он должен вернуть сумму:
-7 AS руб.
Ъ\ 1 + 0,1 —
12,
,
Череч три месяца он получает дивиденд в рачмерс 8 руб.
Если на момент истечения контракта контрагент исполняет опцион, арбитражер поставляет ему акцию, возвращает кредит. Арбитражная прибыль равна:
50-8 -7,18 = 50.82ду6\
Бели на момент истечения кон-факта опцион не исполняется, прибыль арбитражера равна:
8 7,18+5, ,
где ST - цена слот акции па момент истечения опциона.
Задача 11.53.
Цена еноч акции 100 руб., етвка без риска 10% юдовых. По акции через два месяца выплачивается дивиденд в размере 8 руб. Определить верхнюю |ранииу премии трехмесячного европейского опшюна колл на эту акцию с ценой исполнения 50 руб.
Решение.
се = 100 —, ^ = 92,12рхС>.
1+0,1 [2/12
Задача 11.54.
Для условий задачи 11.53 определите арбитражную прибыль и перечислите действия арбитражера. если премия опциона равна 93 рус.
Решение.
Арбитражер продаст опцион за 93 руб.. занимаег на два месяца 7 руб. и покупает акцию. Через два месяца он получаст дивиденд в размере 8 руб. и из них отдает по кредиту:
1 + 0,1— \ = 7Л2руб.
339
Опционы
Рели на момент истечения контракта кошрагент исполняет опцион, арбитражер поставляет ему акцию. Арбитражная прибыль равна:
50+8-7,12 = 50,88ду&
Пели на момент истечения контракта опцион не исполняется, прибыль арбнтражера равна:
8 7Л2 + 5Г. Кроме того, сумму разности между дивидендом и задолженностью по кредиту можно разместить на месячном депозите до момента истечения контракта и получить дополнительную прибыль.
Задача 11.55.
Цена спот акции 105 руб., иена исполнения 100 руб.. ставка без риска для 65 дней 8°-'н годовых. В последний день действия контракта на акцию выплачивается дивиденд в размере 2 руб. Определить нижнюю Гранину премии европейского опциона колл, который заключается на 65 дней. Финансовый год равен 365 дням.
Решение.
Нижняя ipamiua премии европейского опциона колл на акции, по которым в последний день действия кон-факта выплачиваются дивиденды, определяется по формуле:
X+div
с - =s"t VFTZ г (11.19)
\ + г{1 оаза}
где <",. премия европейского опциона колл;
Т - период действия контракта;
г - ставка без риска;
div дивиденд, выплачиваемый в последний день действия опциона.
Согласно (11.19) нижняя граница премии опциона равна:
,05 ]^1_
1 + 0,08(65 •365)
Задача 11.56.
Для условии задачи II.55 определите величину арбитражной прибыли и перечислите действия арбитражера, если опцион колл стоит 4,3 руб.
Решение.
Чтобы определить действия арб и тражера. представим ал гори i м рассуждений в обшей форме. Па рынке должно выдерживаться условие:
X + div
. (т, V (11.20)
с >5-
Согласно результату, полученному в задаче 11.55. условие (11.20) нарушено, поэтому можно совершить арбитражпу-ю операцию. Таким образом. арбитраж возможен, если сложилась ситуация:
340
\+г{Т;баш)
или
s е> х+л, (1121)
е \ + г{Т/база)
Примем в неравенстве (11.21) левую часть за первый портфель, правую - за второй. Поскольку первый портфель стоит дороже второго, его следует продать, второй - купить. Чтобы определить действия арбичражера но продаже первого портфеля умножим левую часть неравенства (11.21) на минус единицу и раскроем скобки:
-(Я-0=-5+с,.
Следовательно, арбитражер осуществляет короткую продажу акции и покупает опцион колл. Полученные по операции средства (5-cJ он размещав! на депозите до момента окончания контракта. Б этом состоит суть операции по покупке второго пор|феля.
Арбитражер занимает акцию, продает ее за 105 руб. и покупает опцион за 4,3 руб. Б результате данной операции получает 100.7 руб. и размещает их на 65 дней под 8% годовых. В конце периода он получает но счету сумму:
100,7(1 +0.08(65/365)]= I02J3jp&
Бели по истечении срока действия контракта ST > X. арбитражер
исполняет опцион, т. е. покупает акцию по контракту, возвращает ее кредитору и выплачивает ему дивиденд. Прибыль равна:
102.13-10дуб.
Если на момент окончания контракта ST < А, арбитражер опцион не исполняет, а покупает акцию на епотовом рынке и получает еще большую прибыль.
Задача 11.57.
Цена спот акшш 105 руб.. иена исполнения 100 руб.. станка бет риска равна 10% годовых. Через 60 дней на акцию выплачивается дивиденд в размере 3 руб. Определить нижнюю границу премии опциона колл, который заключается на 90 дней. Финансовый год равен 365 дням.
Решение.
Нижняя граница премии европейского опциона колл па акции, по которым выплачиваются дивиденды, определяется по формуле:
-S - - г-/), (П.22)
1 + пТ/база)
где С< премия европейского опциона колл;
7 период действия контракта: г ставка без риска:
341
Глава / f. Опционы
D приведенная стоимость дивиденда на момент заключения контракта. Приведенная стоимость дивиденда равна:
D = г г = 2,95/>ш.
I т 0,1(60; 365)
Согласно формуле (11.22) нижняя граница премии опциона равна:
105 ^ г - 2.95 = ААвруб.
1+0,1(90/365)
Задача 11.58.
Для условий задачи II.57 определите величину арбитражной прибыли и перечислите действия арбитражера. если опцион ко. зл стоит 4.4 руб.
Решение.
Чтобы определить действия арбитражера, представим алгоритм рассуждений в обшей форме. На рынке должно выдерживаться условие:
(11.23)
Согласно результату, полученному в «алаче 11.57, условие (11.23) нарушено, поэтому можно совершись арбитражную операцию. Таким образом, арбитраж возможен, если сложилась ситуация:
с <S т^ т-D
i+r(T/6ma)
или
5"С'>1и(Гйш),й' <1U4>
Примем в неравенстве (11.24) левую часть за первый портфель, правую — за второй. Поскольку первый портфель стоит дороже второго, ею следует продать, второй - купить. Чтобы определить действия арбитражера по продаже первого портфеля умножим левую часть неравенства (11.24) на минус единицу и раскроем скобки:
-(S-e)= S + c_.
Следовательно, арбитражер осуществляет короткую продажу акции и покупает опцион колл. Полученные по операции средства (S—cf) он делит на две части: 1) сумму равную приведенной стоимости дивиденда и 2) сумму \S—cr)—D, Первую сумму размешает на депозите до момента выплаты дивиденда и отдает за счет нес дивиденд но акции кредитору. Вторую сумму размешает на депозите до момента окончания контракта. В этом состоит суть операции по покупке второго портфеля.
Арбифажер занимает акцию, продаст ее за 105 руб. и покупает опцион за 4.4 руб. В результате данной операции получает 100,6 руб. Из них 2,95 руб.
342
Глава 11 Опционы
рмшептп ня депочите ня 60 пней и в коние этого периода выплачивает кредитору 3 руб. Сумму:
100,6 -2,руб.
разметает на депозите на 90 дней. В конце периода получает по счету-' сумму:
97,65 [l + 0.1(90/365)] = 100,06 дш.
Если по истечении срока действия контракта 5, > X, арбитражер исполняет опцион, т. е. покупает акцию по контракту, возвращает ее кредитору. Прибыль равна:
100,06 -100 = 0,06руб.
Если на момент окончания контракта &т < X. арбитражер опцион не исполняет, а покупает акцию на спотовом рынке и Получает еще большую прибыль.
Задача 11.59.
Европейский опцион пут на акцию с ценой исполнения 100 руб. истекает через 90 дней. Цена спот акции 100 руб., на акцию в последний лень действия контракта выплачивается дивиденд в размере 3 руб.. ставка без риска 10% содовых. Определить нижнюю границу премии опциона. База 365 дней.
Решение.
Нижняя (раница премии европейского опциона пут на акцию, по которой дивиденд выплачивается в последний день действия контракта, равна:
X + div,.
л = 1+/Сг/ввиГ (И-25)
Согласно (11.25) премия опциона составляет:
100-1__Ш0 = 0,52^.
1 + 3.1(90/365
Задача 11.60.
Для условий задачи 11.59 определить арбитражную прибыль и перечислить действия арбитражера. если опцион пут стою 0.4Х руб.
Решение.
Чтобы определить действия арбитражера, представим алгоритм рассуждений в обшей форме. На рынке должно выдерживаться условие:
Р. * , .„ г-S - (П.26)
\ + r\T:oasa) v
Согласно результату, полученному в задаче П.59. условие (II.26) нарушено, поэтому можно совершить арбитражную операцию. Таким обратом, арбшраж возможен, если сложилась ситуация:
I + г(Т;бспа)
343
I wea П. Опционы
или
X + div,,, ,_.
P.+S<- TZT, г - (П.27)
I + /•(/ ;оаза)
Представим неравенство (11.27) как неравенство, состоящее из двух портфелей. Левая часть это первый портфель, правая — второй. Первый портфель сюит дешевле второго, поэтому первый портфель покупаем, второй продаем. Покупка первого портфеля означает покупку опциона и акции. Для этого занимаем средства иа период Т под ставку г в размере (р, + S). В этом
состоит суть продажи второго портфеля. В момент Т иа акцию выплачивается дивиденд.
Арбитражер занимает 100.48 руб. н покупает опшюп и окшио. Через 90 дней он должен отдать по кредиту:
90 ^
100,48
1 + 0Л-
365
= 102,96дИ>.
Если по истечении контракта, Sl<Xl арбитражер получаст иа акцию
дивиденд, исполняет опцион, т. е. продает акцию по цене исполнения. возврашает кредит. Прибыль равна:
100 + ,96 = 0,04руб.
Если на момент* истечения опциона S - >.V. арбитражер не исполняет контракт, а продает акцию по енотовой сделке и получает еше большую прибыль.
Задача 11.61.
Цена енот акции 95 руб., на акцию через 60 дней выплачивается дивиденд в размере 3 руб., ставка без риска 10% годовых. Европейский опцион пут иа акцию с пеной исполнения 100 руб. истекает через 90 дней. Определить нижнюю границу премии опциона. Ьаза 365 дней.
Решение.
Нижняя граница премии европейскою опциона пут на акции, но которым в течение действия контракта выплачиваются дивиденды, определяется по формуле:
где D - дисконтированная стоимость дивиденда к моменту заключения контракта;
Дисконтированная стоимость дивиденда равна:
D = j? г - 2,95/ло.
! +0,1(60/385)
Согласно (11.28) нижняя граница премии опциона равна:
100
1 + 0.H90365
+ 2,95-95 = 5,54^.
Задача 11.62.
европейский опииои пут на акцию с иеной исполнения 100 руб. истекает через 90 дней. Цена слот акции 100 руб., на акцию через 60 дней выплачивается дивиденд в размере 5 руб.. ставка без риска 10% годовых. Опцион стоит 2,4 руб. Определить, возможен ли арбшраж. Ьсли арбитраж возможен, то определить прибыль и действия арбитражера. База 365 дней.
Решение.
Дисконтированная сшимоегь дивиденда составляет:
D = г ч = ^92 руб.
1+0,1(60/365)
Согласно (11.28) нижняя граница премии опциона равна:
4,92-100 = 2,51руб.
1 + 0,1(90/365
Арби (раж возможен, гак как опцион дешевле уровня нижней ipaiimibi цены премии.
Чтобы определить действия арбитражера, представим алгоритм рассуж-дений в общей форме. Па рынке должно выдерживаться условие:
р > r^ r + D-S.
} + r(T/6asa)
Таким образом, арбитраж возможен, если сложилась ситуация:
в < r r+D-.9
* 1 + г\Т/база)
или
P. + S<- * +D. (п. 29)
1 + г(Т; оаза)
Представим неравенство (11.29) как неравенство, состоящее из двух портфелей. Левая часть это первый портфель, правая - второй. Первый портфель стоит дешевле второго, поэтому первый портфель покупаем, второй продаем. Покупка первого пор|фсдя означает покупку опциона и акции. Для этого занимаем средства и покупаем опцион и акцию. Поскольку на акцию будет выплачен дивиденд, то сумма равная дисконтированной стоимости дивиденда занимается на период до ею выплаты. Оставшаяся сумма занимается до момента истечения опциона.
Арбитражср занимает 102.4 руб. и покупает опцион и акцию. Из данной суммы он занимает 4,92 руб. на 60 дней. В конце этого периода получаст дивиденд и отдает первую сумму кредита. Сумму:
102.4-4.92 = 97,48/y;tf. занимает на 90 дней. В копис периода должен вернуть но кредиту:
97.48f 1 + 0,1 = 99,88mtf.
у 365)
Если но истечении контракта S, < X. арбитражер исполняет опцион, i. e. продает акцию по цене исполнения, возврашает кредит. Его прибыль равна:
,88 = 0,12руб.
I ели на момент истечения опциона S". > Л. арбнтражер не исполняет контракт, а продаст акцию по слоговой сделке и получает еще большую прибыль.
Задача 11.63.
Докажите, что па ликвидном рынке американский опцион колл на акции, по которым не выплачиваются дивиденды, не целесообразно исполнять досрочно, а его выгоднее продать.
Решение.
В случае досрочного (момент г) исполнения опциона колл держатель опциона колл получает сумму:
S, - X.
В этот момент цена опциона должна быть не меньше:
i+r(tf6a3a)
Поскольку Л', — г > 5", - X. то опцион не выгодно исполнять в любой
1 + ги/база)
момент / до истечения срока действия контракта. Ею выгоднее продать.
11.4. Соотношения между премиями опционов. Паритет европейских опционов колл и пут
Задача 11.64.
Имеется два европейских годичных опциона колл. Цепа исполнения первою Х} = 95руб., второго Х: = ] 00руб. Первый стоит с1=10ру6,, второй
с-, = 5руб. Ставка без риска 10% годовых. Определить, возможен ли арби [раж.
Решение.
Разность между премиями европейских опционов колл с одной датой истечения контрактов не должна превышать разности между дисконти-рованными стоимостями их цен исполнения, т. е.:
, Х7 ~ х\ q сг<-
\ + г\ Т база
В про i и ином случае возможен арбшраж.
Разность между премиями опционов равна:
г, с3 = \0-5 = 5руб.
Разность между дисконтированными стоимостями их цен исполнения составляет:
Х,-Х, 105-100
= 4,55 руб.
\-г 1.1
Поскольку 5 > 4,55 , то арбитраж возможен.
Задача 11.65.
Для условий задачи 11.64 перечислить действия арбктражера и определить величину арбитражной прибыли.
Решение.
Арбитражер продаст первый опцион :*а 10 руб. и покупает второй за 5 руб. Полученную разность в 5 руб. размещает на безрисковый депозит на гол мод 10%. Б конце года сумма на депозите составит:
5-\,\ = 5,5руб.
Финансовый результат операции завнет от цены слот акции к моменту истечения действия контрактов и сводится к следующим вариантам:
1. Курс акции меньше или равен 95 руб. — Оба опциона не исполняются, и прибыль арбитражера равна 5.5 руб.
2. Курс акции равен или больше 100 руб. - Контрагент исполняет первый опцион. Это означает, что арбитражер обязан продать ему акцию за 95 руб. Чтобы выполнить свое обязательство, арбитражер исполпяст второй опцион, г. е. покупает акцию за ЮО руб. Его прибыль равна:
5,5-100 + 95- 0,5 руб.
3. Курс акшти больше 95 руб., но меньше 100 руб. - Контрагент исполняет
первый опцион. Чтобы выполнить свое обязательство, арбитражер покупает акцию
на слоговом рынке по иене ST и nocraairaei се по опциону. Его прибыль равна:
(5,5 + 95- ST) руб.
Задача 11.66.
Имеется два трехмесячных европейских опциона колл. Цена исполнения первого.\\ = \50p\i)., второго - X, = 110руб. Первый стоит с1=25руб., второй - с2 =5руб. Ставка без риска 6% годовых. Определить, возможен ли арбитраж, и перечислить действия арбитражера.
Решение.
Разность между гремиями опционов равна:
с, - с2 = 25-5 = 20//ш.
Разность между дисконтированными стоимостями их цен исполнения
составляет:
= \%1руб,
Х2-Х{ 170-150
1+г(Г/баю}~ 1+0,06(3/12)
Поск'ольку 20 > 19,7,то арбиграж возможен.
Арбитражер продает первый опцион за 25 руб. и покупает второй за 5 руб. Полученную разность в 20 руб. размещает на безрисковый депозит на три месяца пол 6%. В конце периода сумма на депозите составит:
20
г
нО.06—l = 20,3/>w. 12;
Финансовый результат операции зависит от цены слот акции к моменту истечения действия контрактов и сводится к следующим вариашам:
1. Курс акции меньше или равен 150 руб. - Оба опциона не исполняются, и прибыль арбитражера равна 20,3 руб.
2. Курс акили равен или больше 170 руб. - Контрагент исполняет первый опцион. Это означает, что арбитражер обязан продать ему акцию за 150 руб. Чтобы выполнить свое обязательство, арбитражер исполняет второй опцион, т. е. покупает акцию за 170 руб. 1£го прибыль равна:
2+150 = 0,3руб.
3. Курс акции больше 150 руб., но меньше 170 руб. - КонipareHi исполняет
первый опцион. Чтобы выполнить свое обязательство, арбитражер покупает
акцию па спотовом рынке по иене $т и поставляет ее по опциону. Ьго прибыль
равна:
(20.3 + 150-Sr) руб.
Задача 11.67.
Имеется два американских трехмесячных опциона колл. Цепа
исполнения первого Х,~95руб., второго Х1=\00руб. Первый стою
ct = \Qpy6., второй - сг=4руб. Определить, возможен ли арбитраж, и
перечислить действия арбитражера.
Решение.
Разность между премиями американских опционов колл с одной датой истечения контрактов не должна превышать разности между их ценами исполнения. В противном случае возможен арбитраж.
Разность между премиями опционов равна 6 руб. Разность между ценами исполнения составляет 5 руб. Отмеченное выше условие нарушено. Поэтому арбитражер продает первый опцион за 10 руб.. покупает второй за 4 руб. и
получает разницу в 6 руб.
Финансовый результат операции зависит от цены енот акции в течение действия контрактов и сводится к следующим вариантам:
1. Курс акции меньше или равен 95 руб. - Оба опциона не исполняются, и прибыль арбитражера равна 6 руб.
2. Курс акции равен или больше 100 руб. Контрагент исполняет первый опцион. Это означает, что арбитражер обязан продать ему акцию за 95 руб. Чтобы выполнить свое обязательство, арбитражер исполняет второй опцион, т. е. покупает акцию за 100 руэ. liro прибыль равна;
6-100^95 = \руб.
3. Курс больше 95 руб.. по меньше 100 руб. — Контрагент исполняв! первый
опцион. Чтобы выполнить сьос обязательство, арбитражер покупает акцию на ено
товом рынке по пене ST и поставляет се по опциону за 95 руб. Его прибыль равна:
(6+9$-ST)py6.1
Задача 11,68.
Имеется два европейских годичных опциона пут. Цепа исполнения первого Л", =95руб., второго - Л', =\00ру6. Первый стоит р1=5руб.,
второй р2 =Щруб. Ставка без риска 10% годовых. Определить, возможен ли арбитраж, и перечислить действия арбитражера.
Решение.
Разность между премиями европейских опционов нут с одной датой истечения контрактов не должна превышать разности между дисконтированными стоимостями их цен исполнения, т. е.:
-р,<
х,-х,
I I А Т паю
В противном случае возможен арбитраж.
р: - pt =10-5 = 5ру&.
= 4,55/мо.
ЛТ2-ЛГ, 100-95
\ + г 1.1
Указанное выше условие нарушено. 5 > 4,55. поэтому можно совершить арбитражную операцию. Арбитражер продает второй опцион за Ю руб. и покупает первый за 5 руб. Полученную разность в 5 руб. размещает на безрисковый депозит на гол под 10%. В конце года сумма на депозите составит:
5 -1.1 = 5,5 руб. Финансовый результат операции зависит от цены CHOI акции к моменту
" Если контрагент исполняет первьй опцион в ходе действия контракта, то второй опцион может еще иметь некоторую стоимость Продав его. арбитражер получит дополнительную прибыль.
349
Опционы
истечения действия контрактов и сводится к следующим вариантам:
1. Курс аюши выше или равен 100 руб. - Оба опциона не исполняются, и прибыль арбитражсра равна 5.5 руб.
2. Курс акции меньше или равен 95 руб. - Контрагент исполняет второй опцион. Это означает, что арбитражер обязан купить у него акцию за 100 руб. Одновременно он исполняв! первый опцион, т. с. продаст акцию за 95 руб. Его прибыль равна;
5,5- 100 + 95 = 0,5#уб.
3. Курс больше 95 руб., но меньше 100 руб. - Контрагент исполняет второй
опцион. Арбитражер покупает у него акцию за 100 руб. и продает ее на рынке
ia ST. Его прибыль равна:
(5,5-100+ Sy)/ntf.
Задача 11.69.
Имеется два американских трехмесячных опциона пут. Цена исполнения первого 95 руб.. второго 100 руб. Первый стоит 4 руб.. второй - 10 руб. Определить, возможен ли арбитраж, и перечислить действия арбитражсра.
Решение.
Разность между премиями американских опционов пут с одной датой истечения контрактов не должна превышать разности между их ценами исполнения. Б противном случае возможен арбитраж.
Разность между премиями опционов равна б руб. Полому можно совершить арбитражную операцию. Арбитражер продает второй опцион за 10 руб.. покупает первый за 4 руб. и получаст па разности премий 6 руб.
Финансовый результат операции зависит от цены спот акции в течение действия контрактов i - сводится к следующим вариантам:
1. Курс акции выше или равен 100 руб. - Оба опциона не исполняются, и прибыль арбитражсра равна 6 руб.
2. Курс акции меньше или равен 95 руб. - Контрагент исполняет второй опцион. Это означает, чго арбитражер покупает у него акцию за 100 руб. Тогда он исполняв! первый опцион, т. с. продаст акцию за 95 руб. Его прибыль равна:
6-100+95 =1руб,
3. Курс больше 95 руб., но меньше 100 руб. Контрагент исполняет второй
опцион. Арбитражер покупает у нею акцию за 100 руб. и продает ее на рынке
за ST, Его прибыль равна:
(6-\№ + ST)pyf>.2
Задача 11.70.
Цена исполнения европейских опционов колл и пут на акции равна 100 руб. Срок действия контрактов пять месяцев. Цена опциона колл 5 руб. Цена
1 Если контрагент исполняет второй опцион в ходе действия контракта, то первый опцион может еще иметь некоторую стоимость. Продав его, арбитражер получит дополнительную прибыль.
350
Глава //. Опционы
спот акпии 100 руб. Ставка fie-* риска 10% годовых. В течение действия контрактов дивиденды на акции не выплачиваются. Определить величину премии опциона нут.
Решение.
Между премиями европейских опционов колл (^.) и пут (ре) на одни и тс же акции с одинаковой ценой исполнения \Х) и сроком истечения контрактов (.7") существует равенство, получившее название паритета опционов колл и пут. Оно имеет следующий вид:
I <гг[Т;6аза)
где S псиаспо! акции.
При нарушении данного равенства можно получить арбитражную прибыль. На основе (11.30) премия опциона пут равна:
X
Рг-сш+~. TF^l—\ S (11.31)
\ + г(Т:оаза) ' '
дли
5 + — z-lQ0 = lpv6.
1 + 0,1(5/12)
Задача 11.71.
Для условий задачи 11.70 определить арбитражную прибыль и перечислить действия арб и фажера, если опцион пут стоит 0,8 руб.
Решение.
Опцион пут недооценен, поэтому равенство (11.31) превращается в неравенство:
Х с
l + r(l /база)
Л iH удобства рассуждений перепишем его как:
у
P,-c*+S<\ , /«,,—\- (11.32)
Левая часть неравенства это первый портфель, правая - второй портфель. Первый портфель стоит дешевле, поэтому его надо купить, второй - продать. Покупка первого портфеля означает, что инвестор продает опцион колл, покупает опцион пут и акцию. Для этого он занимает деньги. В этом состоит су I ь операции продажи второго портфеля.
Арбитражер продает опцион колл за 5 руб., и покупает опцион nyi за 0.8 руб. и аклию за 100 руб. Для этого он занимает на пять месяцев под 10% годовых сумму в размере:
5-0,8-100= -95Лруб,
351
Опционы
(Знак минус означает, что арбитражер занимает эту сумму.) К моменту истечения срока действия контрактов он должен вернуть кредитору:
95,8[l + 0,1(5/12)] = 99,19руб.
Если в это время иена спот акции меньше 100 руб., арбитражер исполняет опцион пут и возвращает кредит. Ето прибыль равна:
= 0.21 руб.
Нсли курс акции выше 100 руб., контрагент исполняет опцион колд. Арбит-ражер продает акцию ю пене исполнения, и его прибыль вновь равна 0.21 руб.
Если курс акции равен цене исполнения, арбитражер продает акцию по слоговой следке. Прибыль равна 0.21 руб.
Задача 11.72.
Для условии задачи 11.70 определить арбитражную прибыль и перечислить действия арбитражера, если опцион пут стоит 1,2 руб.
Решение.
Опцион пут переоценен, полому равенство (11.31) превращается в неравенство:
у
Р* > Ъ +" 7— Z-S
1+г(ТГааза)
н. ш
X
Р, ~cr +S >-. 7ZT-, у (11.33)
I • г[Т;оаза\
Левая часть неравенства (11.33) это первый портфель, правая второй портфель. Первый портфель стоит дороже, поэтому его пало продать, второй -
купить. Пролажу первою портфеля запишем как:
и раскроем скобки:
-р_ +с. - S. (II М)
'Знаки в выражении 111.34) говорят о том. что продажа первого портфеля означает: инвестор продает опцион пут, покупает опцион колд и осуществляет короткую продажу акции. Полученные деньги он размещает на депозите до момента истечения контрактов. В этом состоит суть операции покупки второго портфеля.
Арбитражер продаст опцион нут :ia 1,2 руб.. покупает опцион колд та 5 руб. и продаст акцию та 100 руб. В результате он получаст сумму:
1,2 -5+100=96Лруб.
Размешает их на депозите на пять месяцев под 10% годовых и в конце периода получает сумму;
352
Глава I J. Опционы
96,2 1 + 0.1 — ] = 100,2 ХруО.
Если в это время исиа спот акции больше 100 руб.- арбшражер исполняет опцион колл, i. e. покупает акцию за 100 руб.. и возвращает ее кредитору, tiro прибыль равна:
100,2UlOO = 0,21/>v6.
Если курс акции меньше 100 руб.. контрагент исполняет опцион пут, i. e. арбитражер покупает акцию за 100 руб.. и возвращает ее кредитору. Его прибыль вновь равна 0.21 руб.
Если курс акции равен цене исполнения, арбтражер покупает акцию по енотовой сделке. Прибыль равна 0.21 руб.
Задача 11.73.
Цена исполнения европейских опционов колл и пут па акции равна 100 руб. Срок действия контрактов пять месяцев. Цена опциона пут 5 руб. Цена спот акции 100 руб. Ставка без риска 10% головых. Определить всличшгу премии опциона колл.
Решение.
На основе (11.30) премия опциона колл равна:
X
**"А ' s ш;"(г1л \ (11.35)
или
5 + 100 — = 9ру&
1 + 0,1(5/12)
Задача 11.74.
Для условий задачиопределить арбитражную зрибыль и перечислить действия арбифажера, если опцион колл стоит 8,5 руб.
Решение.
Опцион колл недооценен, полому равенство (11.35) превращается в неравенство:
\ + г(Т/ошо) Для удобства рассуждений перепишем его как:
\ + г(Т/6аза)
Левая часть неравенства - это первый портфель, правая - второй портфель. Первый портфель стоит дешевле второго, поэтому его надо купить, второй
353
Глава II. Опционы
продать. Покупка первого портфеля означает: следует купить колл, продать пут и осуществить короткую продажу акции. Продажу второго портфеля запишем как:
I t г(Т;база)
или
X
\ + г(Т/база)'
т. е. полученные от покупки первого портфеля деньги нало разместить на депозите.
Арбитражср покупает колл за 8,5 руб.. продаст пуг за 5 руб.. продаст акцию за 100 руб. и получает:
-8,5 + 5 + 100 = 96,5 дуб. Разметает их на депозите до момента истечения контрактов и получает сумму:
96,5
5 ^ 1 + 0.1 — 12
= \ 00.52 руб.
Если в это время цена енот акции больше 100 руб., арбитражер исполняем опцион колл, т. е. покупает акцию за 100 руб.. и возвращает ее кредитору. Fro прибыль равна:
100,52-100 = 0,52руб.
lic. Tii курс акции меньше 100 руб., контрагент исполняет опцион пут, т. е. арбитражср покупает акцию за 100 руб.. и возврашаст ее кредитору, liro прибыль вновь равна D.52 руб.
Если курс акции равен цене исполнения, арбитражер покупает акцию по енотовой сделке. Прибыль равна 0.52 руб.
Задача 11.75.
Для условий задачи 11.73 определить арбитражную прибыль и перечислить действия арбитражер^. если опцион колл стоит У.5 руб.
Решение.
Опцион колл переоценен, поэтому равенство (11.35) превращайся в неравенство:
е ' \ + г(Т! база)
или
<\ - Р* -8> — J——Г. ( | 137)
I +-г(1 ;оаза)
354
Опционы
Левая часть неравенства это первый портфель, правая второй портфель. Первый портфель стоит дороже второго, поэтому его надо продать, второй купить. Продажа первого портфеля означает:
т. с. следует продать колл. купить пут и акцию. Для этого надо занять деньги. В ЭТОМ состоит суть покупки второго портфеля.
Арбитражер продает колл за 9.5 руб.. покупает пут за 5 руб., и акцию за 100 руб.:
9.5-5-,5 руб.
Для этого он занимает 95,5 руб. до момента истечения контрактов. По кредиту он должен вернуть сумму:
95,5
S > 1 + 0,1— Ы99Мтб.
12) ''
Пели по окончании кон фактов цена енот акции меньше 100 руб.. арбитражер исполняс! пут, i. e. продает акцию за 100 руб., и возвращает кредит. Ею прибыль равна:
100-99,48 = 0,52 руб.
Если курс аюши больше 100 руб., контрагент исполняет колл. т. е. арбитражер пролает ему акцию за 100 руб.. возвращает кредит. Eix> прибыль вновь равна 0,52 руб.
lic. TH курс акции равен цене исполнения, арбифажер продает акцию по спотовой сделке. Прибыль равна 0,52 руб.
Задача 11.76.
Докажите, что если цена спот акции равна цене исполнения европейских опционов колл и пут на акции, по которым не выплачиваются дивиденды, то опцион колл должен стоить больше опциона пут.
Решение.
Перепишем формулу (11.30) следующим образом:
X
c""/?" = 5"i—ТТ~-—v
I - г г (/ j оа:ш)
Поскольку S = X, то:
S * >.»
\ + г(Т/база)
Поэтому се > ре.
Глава 11. Опционы
11.5. Формирование синтетических позиций с помощью опционов
Задача 11.77.
На рынке торгуются акции и опционы колл и пут на данные акции с одинаковыми ценами исполнения. Инвестор хотел бы построить синтетический длинный опцион колл. Какие действия он должен предпринять. Дивиденды па акции не выплачиваются.
Решение.
Алгоритм построения синтетических опционов вытекает из формулы паритета опционов колл и пут (11.30). Перепишем формулу (I I.30) следующим образом:
Формула (II.38) представляет собой алгоритм создания синтетическою длинного опциона колл, т. е. необходимо купить опцион нут и акцию, предварительно заняв для этого средства до момен га истечения опционов.
Задача 11.78.
На рынке торгуются акции и опционы колл и пут па данные акции с одинаковыми ценами исполнения. Инвестор хотел бы построить синтетический короткий опцион колл. Какие действия он должен предпринять. Дивиденды на акции не выплачиваются.
Решение.
Алгоритм построения синтетических опционов вытекает из формулы паритета опционов колл и пут. Умножим формулу (11.38) иа минус единицу:
с Х
-с = - р-Ь+ — г - Ml Ш»
Формула (11.39) представляет собой алгоритм создания синтетического короткого опциона колл. т. с. необходимо продать опцион пут и акцию, предварительно заняв ее, и разместить на депозите полученные средства до момента истечения опционов.
Задача 11.79.
Па рынке торгуются акции и опционы колл и нут на данные акции с одинаковыми ценами исполнения. Инвестор хотел бы построить синтетический длинный опцион пут Какие действия он должен предпринять. Дивиденды на акции не выплачиваются.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
