Решение.
Платежи по облигации осуществляются каждые полгода. Сумма выплаты составляет 50 руб. Согласно (2.27) дюрация, выраженная в купонных периодах, равна:
Дюрация в годах составляет:
6,7864/2 = 3,393 года.
Задача 2.92.
Номинал облигации 1000 руб. купон 10%. выплачивается два раза в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 12%. Определить дюрацию Маколея облигации.
Решение.
Цена облигации равна:
Дюрация, выраженная в купонных периодах, равна:
Дюрания в годах составляет:
6,7405/2 = 3,37 года.
Задача 2.93.
Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается два раза в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 8%. Определить дюрацию Маколея облигации.
Решение.
Цена облигации равна:
Дюрация в купонных периодах, равна:
Дюрания в годах составляет:
6,8312/2 = 3,416 года.
Задача 2.94.
Упростить формулу (2.27) определения дюрации.
Решение.
или
или
Вынесем за скобки величину :
(2.28)
Обозначим 1/(1+r) = q и запишем равенство (2.28) в квадратных скобках с использованием q :
(2.29)
Упростим выражение в квадратных скобках равенства (2.29). Оно представляет производную ряда геометрической прогрессии:
(2.30)
Знаменатель прогрессии, величина q, меньше единицы. Поэтому геометрическая прогрессия в круглых скобках (2.30) сходится, и ее сумма равна
Выражение (2.30) принимает вид:
или
или
(2.31)
Подставим (2.31) в (2.29), учитывая, что q = 1/(1+r) , и преобразуем. После преобразования получим:
(2.32)
Задача 2.95.
Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 20 дет, доходность до погашения 11%. Определить дюрацию Маколея облигации.
Решение.
Цена облигации равна:
В соответствии с формулой (2.32) дюрация составляет:
Задача 2.96.
Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается два раза в год, до погашения бумаги 20 лет доходность до погашения 11%. Определить дюрацию Маколея облигации.
Решение.
Цена облигации равна:
Если купон выплачивается по облигации m раз в год, то формула (2.32) принимает вид:
(2.33)
Формула (2.33) дает ответ сразу в годах. Дюрация в годах равна:
Задача 2.97.
Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается четыре раза в год, до погашения бумаги 20 лет, доходность до погашения 11%. Определить дюрацию Маколея облигации.
Ответ.
D = 8,407 года.
Задача 2.98.
Доказать, что дюрация Маколея бескупонной облигации равна времени до ее погашения.
Решение.
По определению дюрация равна:
Для бескупонной облигации она принимает вид:
В выражении (2.34) величина, поскольку это цена бескупонной облигации. Отсюда следует, что D = n.
Задача 2.99.
Доходность до погашения облигации 12%, дюрация 3,469 года. Определять процентное изменение цены облигации при росте доходности до погашения на один процент.
Решение.
Из формулы (2.25):
(2.35)
Процентное изменение цены облигации равно:
Задача 2.100.
Доходность до погашения облигации 8%, дюрация 4,204 года. Определить процентное изменение цены облигации при росте доходности до погашения на один процент.
Решение.
Задача 2.101.
Доходность до погашения облигации 8%, дюрация 4,204 года. Определить процентное изменение цены облигации при падении доходности до погашения на один процент.
Решение.
Задача 2.102.
Доходносгь до погашения облигации 4,2%, дюрация 4,488 года. Определить процентное изменение цены облигации при падении доходности до погашения на 0,5%.
Решение.
Задача 2.103.
Номинал облигации 1000 руб., купон 3,2%, выплачивается один раз в год, доходность до погашения облигации 3,5%, бумага погашается через пять лет. Определить процентное изменение цены облигации при падении доходности до погашения на 0,5%.
Ответ.
Дюрация облигации равна 4,697 года. dP/P = 0,0227 или 2,27%.
Задача 2.104.
Цена облигации 939,25 руб., доходность до погашения 12%, дюрация 3,4693 года. Определить, как изменится цена облигации при росте доходности до погашения на 0,1%.
Решение.
Из формулы (2.35):
Падение цены облигации составит:
Задача 2.105.
Цена облигации 986,45 руб., доходность до погашения 3,5%, дюрация 4,697 года. Определить, как изменится цена облигации при падении доходности до погашения на 0,1%.
Решение.
Задача 2.106.
Цена облигации 952,68 руб., доходность до погашения 3,9%. дюрация Маколея 7,16 года. Определить, как изменится цена облигации при падении доходности до погашения на 0,1%.
Ответ.
dP = 6,57 руб.
Задача 2.107.
Доходность до погашения облигации 12%, дюрация Маколея 3,4693 года. Процентное изменение доходности до погашения облигации составило 0,07%. Определить процентное изменение ее цены.
Решение.
В формуле (2.35) процентное изменение доходности до погашения облигации –
это элемент. Поэтому процентное изменение цены облигации равно:
Задача 2.108.
Доходность до погашения облигации 12%, дюрация Маколея 3,4693 года. Определить ее модифицированную дюрацию.
Решение.
Модифицированная дюрация определяется по формуле:
(2.36)
где Dm - модифицированная дюрация; D - дюрация Маколея; r - доходность до погашения облигации. Согласно (2.36) модифицированная дюрация равна:
Задача 2.109.
Доходность до погашения облигации 3,9%, дюрация Маколея 7,16 года. Определить ее модифицированную дюрацию.
Ответ. Dm = 6,891.
Задача 2.110.
Модифицированная дюрация облигации 3,0976. Определить процентное изменение ее цены при росте доходности до погашения на: а) один процент: б) два процента.
Решение.
Задача 2.111.
Модифицированная дюрация облигации 6,891. Определить процентное изменение ее цены при падении доходности до погашения на 0,1%.
Решение.
Задача 2.112.
Цепа облигации 920,37 руб., модифицированная дюрация 8,086. Определить, как изменится цена облигации при росте доходности до погашения на 0,05%.
Решение.
Задача 2.113.
Цена облигации 920,37 руб., модифицированная дюрация 8,086. Определить, как изменится цена облигации при падении доходности до погашения на 0,01%.
Решение.
Задача 2.114.
Цена облигации 952,68 руб., доходность до погашения 3,9%, дюрация Маколея 7,16 года. Определить, как изменится цена облигации при падении доходности до погашения на 0,02%.
Решение.
Задача 2.115.
Доказать свойство дюрации облигации: чем больше купон, тем меньше дюрация.
Решение.
Цена облигации при выплате купона один раз в год равна:
(2.37)
Разделим правую и левую части формулы (2.37) на номинал облигации:
(2.38)
Вынесем величину 1/r за скобки в правой части равенства (2.38):
(2.39)
Возьмем натуральный логарифм от левой и правой частей равенства (2.39):
или
или
(2.40)
Возьмем в равенстве (2.40) производную lnP по r :
(2.41)
Как известно, дюрация равна:
Поэтому умножим равенство (2.41) на: – (1+r):
или
или
(2.42)
Выражение (2.42) показывает, что при росте величины купона дюрация облигации уменьшается, так как величина купона в числителе стоит со знаком минус, а в знаменателе со знаком плюс. Поэтому при росте купона числитель будет уменьшаться, а знаменатель возрастать.
Задача 2.116.
Доказать, что при росте доходности до погашения дюрация уменьшается.
Решение.
Дюрация равна:
Для компактности преобразований перепишем ее как:
(2.43)
где Ct - платеж по облигации в момент t.
Возьмем производную дюрации по процентной ставке:
Вынесем величину за скобки:
(2.44)
Второе слагаемое в формуле (2.44) есть не что иное как дюрация в квадрате:
(2.45)
Подставим ее значение в (2.44) вместо второго слагаемого:
(2.46)
Первое слагаемое в скобках (2.46) есть не что иное как среднее значение или математическое ожидание величины t2 , где весами выступают приведенные значения будущих платежей по облигации, отнесенные к цене облигации Ct/(1+r)tP. Второе слагаемое (дюрация в квадрате) есть квадрат среднего значения величины t с учетом указанных уд. весов. Таким обратом, в скобках выражения (2.46) представлено не что иное как дисперсия времени выплат по облигации.
Обозначим ее через Var(t). Поэтому можно записать:
(2.47)
В формуле (2.47) величина Var(t) является положительной, поскольку это дисперсия. Поэтому первая производная дюрации по доходности до погашения есть величина отрицательная, т. е. дюрация убывает с ростом процентной ставки.
Задача 2.117.
Доказать, что для купонных облигаций, не зависимо от величины купонной ставки, при n?? дюрация стремится к пределу: 1+1/r
Решение.
Данный вывод следует из равенства (2.42):
Поделив первое слагаемое в правой части (2.42) на r, получим:
(2.48)
В третьем слагаемом равенства (2.48) в правой части числитель является линейной функцией от времени, а знаменатель - экспоненциальной функцией. При стремлении n к бесконечности третье слагаемое стремится к нулю. Поэтому дюрация облигации стремится к 1+1/r.
Задача 2.118.
Инвестор покупает облигацию по цене P с доходностью до погашения r0 и реинвестирует купоны под текущую процентную ставку. Кривая доходности имеет горизонтальную структуру и при изменении процентной ставки испытывает только параллельные смещения. Доказать, что, если на следующий день после покупки облигации процентная ставка на рынке изменится, то для периода времени равного дюрации облигации минимальная реализованная доходность бумаги составит r0.
Решение.
Общая сумма, которую получит инвестор по облигации с учетом реинвестирования купонов в конце некоторого периода Т равна:
(2.49)
где FT - общая сумма средств по облигации с учетом реинвестирования купонов;
Р - цена покупки облигации; r - реализованная доходность в расчете на год.
Найдем период времени, для которого реализованная доходность облигации окажется минимальной. Поскольку бумага покупается сейчас по фиксированной цене Р, то доходность будет тем ниже, чем меньше окажется значение FT.
Поэтому минимум r соответствует минимуму FT. Определим минимум функции FT. Для этого найдем производную FT по r и приравняем ее к нулю:
(2.50)
Умножим (2.50) на (l + r)1 – T :
(2.51)
Пусть минимум доходности соответствует значению r0 . Тогда (2.51) принимает вид:
Отсюда:
(2.52)
Правая часть равенства (2.52) есть не что иное как дюрация облигации, рассчитанная для ставки r0:
(2.53)
Таким образом, период времени, для которого минимальная доходность по облигации равна r0, соответствует ее дюрации.
Мы строили доказательство, приравняв производную dFT/dr к нулю. Однако производная может оказаться равной нулю и в точке максимума, поэтому следует также показать, что вторая производная FT, по r является положительной. Это будет означать, что в точке r0 находится минимум функции.
Возьмем натуральный логарифм от обеих частей равенства (2.49):
или
(2.54)
Для (2.54) найдем производную lnFT по r :
(2.55)
Умножим и разделим первое слагаемое в правой части равенства (2.55) на 1+r :
или
(2.56)
Приравняв производную (2.56) к нулю, получим: D = Т. Найдем вторую производную величины lnFT по r :
(2.57)
Поскольку D = Т, то равенство (2.57) принимает вид:
или
(2.58)
Согласно результату (2.47) (см. задачу 2.116) , поэтому (2.58) принимает вид:
(2.59)
Значение второй производной (2.59) всегда положительно, поэтому в любой точке T = D расположен минимум функции и значение доходности равно r0.
Задача 2.119.
Кривая доходности имеет горизонтальную структуру. Доказать, что если время владения облигацией равно ее дюрации, то небольшие параллельные смещения кривой доходности практически не скажутся на будущей стоимости облигации с учетом реинвестирования купонов.
Решение.
Общая сумма, которую получит инвестор по облигации с учетом реинвестирования купонов в конце некоторого периода T, равна:
FT = P(1 + r)T.
Чтобы определить, как величина FT реагирует на изменение процентной ставки, возьмем производную FT по r :
(2.60)
Умножим и разделим первое слагаемое в правой части равенства (2.60) на Р:
или
или
или
(2.61)
Если T = D, то производная (2.61) равна нулю. Это означает, что в данной точке график функции обшей суммы средств, получаемых по облигации, от процентной ставки параллелен оси абсцисс. В свою очередь это говорит о том, что при небольшом изменении процентной ставки будущая стоимость облигации будет испытывать только небольшие изменения.
Вопрос 2.120.
В каких единицах измеряется дюрация Маколея?
Ответ. Дюрация измеряется в годах.
Вопрос 2.121.
В каких единицах измеряется модифицированная дюрация?
Ответ. Модифицированная дюрация измеряется в процентах.
Вопрос 2.122.
Как изменится дюрация Маколея бескупонной облигации при росте доходности до погашения?
Ответ.
Дюрация Маколея не изменится, поскольку для любого уровня процентной ставки она равна времени, которое остается до погашения бескупонной облигации.
Вопрос. 2.123.
В чем отличие дюрации Л. Фишера и Р. Вейла (L. Fisher, R. Weil) от дюрации Маколея?
Ответ.
Фишера и Р. Вейла отличается от дюрации Маколея тем, что для дисконтирования потока платежей по облигации используется не доходность до погашения облигации, а ставки спот для соответствующих периодов времени. По технике расчета это модифицированная дюрация.
2.5. Кривизна
Задача 2.124.
Номинал облигации 1000 руб. купон 10%. выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 10%. Определить кривизну (convexity) облигации.
Решение.
Кривизна определяется по формуле (2.62):
(2.62)
Кривизна облигации равна:
Задача 2.125.
Номинал облигации 1000 руб., цена 1066,24 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 4 года, доходность до погашения 8%. Определить кривизну облигации.
Решение.
Кривизна определяется по формуле (2.62): conv = 14,33.
Задача 2.126.
Номинал облигации 1000руб., цена 1032,4 руб. купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 9%. Определить кривизну облигации.
Ответ. conv = 14,02.
Задача 2.127.
Номинал облигации 1000 руб., цена 968,98 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 4 года, доходность до погашения 11%. Определить кривизну облигации.
Ответ. conv = 13,43.
Задача 2.128.
Номинал облигации 1000 руб., цена 939,25 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 4 года, доходность до погашения 12%. Определить кривизну облигации.
Ответ. conv = 13,15.
Вопрос 2.129.
Как зависит показатель кривизны от доходности до погашения облигации?
Ответ.
Величина кривизны возрастает при уменьшении доходности до погашения и убывает при ее возрастании. Динамика значения кривизны в задачах 2.демонстрирует эту закономерность.
Задача 2.130.
Номинал облигации 1000 руб., купон 8%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет, доходность до погашения 10%. Определить кривизну облигации.
Решение.
На основе формул (2.1) или (2.3) цена облигации составляет 924,18 руб. Согласно (2.62) кривизна равна: conv = 20,1.
Задача 2.131.
Номинал облигации 1000 руб., купон 9%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет, доходность до погашения 10%. Определить кривизну облигации.
Ответ.
Цена облигации составляет 962,09 руб. Кривизна равна: conv = 19,72.
Задача 2.132.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет, доходность до погашепия 10%. Определить кривизну облигации.
Ответ. conv = 19,37.
Задача 2.133.
Номинал облигации 1000 руб., купон 11%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет, доходность до погашения 10%. Определить кривизну облигации.
Ответ.
Р = 1037,91 руб., conv = 19,04.
Задача 2.134.
Номинал облигации 1000 руб., купон 12%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет, доходность до погашения 10%. Определить кривизну облигации.
Ответ. Р = 1075,82 руб., conv = 18,74.
Вопрос 2.135.
Как зависит показатель кривизны от величины купона облигаций при одинаковой доходности до погашения и времени погашения облигаций?
Ответ.
Величина кривизны уменьшается при увеличении купона облигации. Динамика значений кривизны в задачах 2.демонстрирует эту закономерность. Данная закономерность является результатом того, что при изменении процентных ставок на рынке корректировка доходности облигации в большей степени происходит за счет цены для облигации с малым купоном, чем для облигации с большим купоном.
Задача 2.136.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 6 лет, доходность до погашения 10%. Определить кривизну облигации.
Ответ. conv = 25,53.
Задача 2.137.
Докажите, что цена облигации является выпуклой вниз функцией цены.
Решение.
На основе формулы (2.1) вторая производная цены облигации по процентной ставке равна:
или в сокращенной записи:
(2.63)
Как видно из (2.63) .
Функция выпукла вниз, если ее вторая производная является положительной величиной.
Задача 2.138.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается два раза в год, до погашения бумаги 2 года, доходность до погашения 10%. Определить кривизну облигации.
Решение.
Кривизна определяется по формуле (2.62). Она соответствует случаю, когда купоны выплачиваются один раз в год. Если купон выплачивается m раз в год, то формула (2.62) принимает вид:
(2.64)
Кривизна равна:
Задача 2.139.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 10%, модифицированная дюрация 3,1699, кривизна 13,723. Определить процентное изменение цены облигации при: а) росте доходности до погашения на 1%; б) снижении доходности до погашения на 1%.
Решение.
Процентное изменение цены облигации определяется по формуле:
(2.65)
Задача 2.140.
Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 10%, модифицированная дюрация 3,1699, кривизна 13,723. Определить изменение цены облигации при: а) росте доходности до погашения на 1%; б) снижении доходности до погашения на 1%.
Решение.
Изменение цены облигации определяется по формуле:
(2.66)
т. е. снизится на 31,01 руб.
т. е. вырастет на 32,39 руб.
Задача 2.141.
Номинал облигации 1000 руб., цена 1075,82 руб., купон 12%. выплачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет, доходность до погашения 10%, модифицированная дюрация 3,704, кривизна 18,74. Определить изменение цены облигации при: а) росте доходности до погашения на 0,1%; б) снижении доходности до погашения на 0,1%.
Решение.
Задача 2.142.
Номинал облигации 1000 руб., купон 11%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет, доходность до погашения 10%. Определить, как изменится цена облигации при росте доходности до погашения на 0,5%.
Ответ.
Задача 2.143.
Номинал облигации 1000 руб., купон 8%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет, доходность до погашения 10%. Определить, как изменится цена облигации при падении доходности до погашения на 0,5%.
Ответ.
dP = 18,22 руб.
Вопрос 2.144.
В каких единицах измеряется кривизна облигации?
Ответ. Единица измерения кривизны - это годы в квадрате.
2.6. Кривая доходности. Форвардная и спотовая ставки
Задача 2.145.
Ставка слот для шести месяцев равна 8% годовых, для четырех месяцев 7,4% годовых. Определить форвардную ставку для двух месяцев через четыре месяца.
Решение.
Зависимость между форвардной и спотовыми ставками на основе простого процента имеет вид:
где rt2 - спот ставка для периода t2:
rt1 - спот ставка для периода t1;
r2,1 - форвардная ставка для периода t2 – t1; Отсюда форвардная ставка равна:
(2.67)
В соответствии с (2.67) форвардная ставка для двух месяцев через четыре месяца составляет:
Задача 2.146.
Ставка спот для девяти месяцев равна 8% годовых, для четырех месяцев - 7% годовых. Определить форвардную ставку для пяти месяцев через четыре месяца.
Решение.
Согласно формуле (2.67) форвардная ставка для пяти месяцев через четыре месяца составляет:
Задача 2.147.
Процентная ставка одинакова для всех периодов времени и равна 8% годовых. Определить форвардную ставку для пяти месяцев через четыре месяца.
Решение.
Задача 2.148.
Ставка спот для шести месяцев равна 10% годовых, для четырех месяцев - 8% годовых. Определить форвардную ставку для двух месяцев через четыре месяца.
Ответ: 13,636%.
Задача 2.149.
Имеется две бескупонных облигации, номиналом 1000 руб. Первая облигация погашается через 60 дней. Ее цена равна 987,02 руб. Вторая облигация погашается через 90 дней. Ее цена равна 979,71 руб. Рассчитать форвардную ставку для 30 дней через 60 дней, определяемую доходностями облигаций. База 365 дней.
Решение.
Цепа бескупонной краткосрочной облигации равна:
(2.68)
Из формулы (2.68) получим:
(2.69)
Форвардная ставка определяется по формуле (2.67). С учетом результата (2.69) ее можно записать как:
или
(2.70)
В соответствии с формулой (2.70) форвардная ставка равна:
Задача 2.150.
Имеется две бескупонных облигации, номиналом 1000 руб. Первая облигация погашается через 60 дней. Ее цена равна 987,02 руб. Вторая облигация погашается через 180 дней. Ее цена равна 957,50 руб. Рассчитать форвардную ставку для 120 дней через 60 дней, определяемую доходностями облигаций. База 365 дней.
Решение.
Согласно формуле (2.70) форвардная ставка равна:
Задача 2.151.
Ставка спот для двух лет равна 10% годовых, для трех лет - 11% годовых. Определить форвардную ставку для одного года через два года.
Решение.
Зависимость между форвардной и спотовыми ставками на основе сложного процента имеет вид:
где rtn - спот ставка для периода tn ;
rtm - cпот ставка для периода tm;
rф - форвардная ставка для периода tn – tn – m. Отсюда форвардная ставка равна:
(2.71)
В соответствии с (2.71) форвардная ставка для одного года через два года составляет:
Задача 2.152.
Ставка спот для двух лет равна 10% годовых, для трех лет 10% годовых. Определить форвардную ставку для одного года через два года.
Решение.
Согласно формуле (2.14) форвардная ставка для одного года через два года равна:
Задача 2.153.
Ставка спот для двух лет равна 10% годовых, для четырех лет - 11% годовых. Определить форвардную ставку для двух лет через два года.
Решение.
Согласно формуле (2.71) форвардная ставка для двух лет через два года равна:
Задача 2.154.
Ставка спот для трех лет равна 12% годовых, для шести лет - 13,5% годовых. Определить форвардную ставку для трех лет через три года.
Решение.
Задача 2.155.
Ставка спот для трех лет равна 12% годовых, для восьми лет - 14% годовых. Определить форвардную ставку для пяти лет через три года.
Решение.
Задача 2.156.
Имеется две бескупонных облигации, номиналом 1000 руб. Первая облигация погашается через два года. Ее цена равна 826,45 руб. Вторая облигация погашается через три года. Ее цена равна 674,97 руб. Рассчитать форвардную ставку для одного года через два года, определяемую доходностями облигаций.
Решение.
Цепа бескупонной облигации равна:
(2.72)
Формулу (2.72) можно переписать как:
(2.73)
Форвардная ставка определяется по формуле (2.71). С учетом (2.73) формулу (2.71) можно представить как:
или
(2.74)
Согласно формуле (2.74) форвардная ставка равна:
Задача 2.157.
Ставка спот на шесть месяцев равна 8% годовых, на четыре месяца - 7,4% годовых. Через четыре месяца инвестор получит 1000 руб. и хотел бы обеспечить их размещение через четыре месяца на два месяца под форвардную ставку. Определить величину форвардной ставки и перечислить действия инвестора.
Решение.
В соответствии с (2.67) форвардная двухмесячная ставка через четыре месяца равна:
Инвестор сегодня занимает под 7,4% годовых на четыре месяца сумму равную дисконтированной стоимости 1000 руб., т. е.:
и размешает ее на шестимесячном депозите под 8% годовых. Через четыре месяца по кредиту он должен вернуть:
Сумма кредита возвращается за счет полученных в этот момент 1000 руб. Через полгода по депозиту инвестор получаст сумму:
Фактический процент, который он обеспечил себе для 1000 руб. по двухмесячному депозиту через четыре месяца, равен:
Задача 2.158.
Ставка спот для девяти месяцев равна 8,5% годовых, для четырех месяцев - 7,5% годовых. Через четыре месяца инвестор получит 1000 руб. и хотел бы обеспечить их размещение через четыре месяца на пять месяцев под форвардную ставку. Определить величину форвардной ставки и перечислить действия инвестора.
Решение.
Форвардная пятимесячная ставка через четыре месяца равна:
Инвестор сегодня занимает под 7,5% годовых на четыре месяца сумму равную дисконтированной стоимости 1000 руб., т. е.:
и размешает ее на девятимесячном депозите под 8,5% годовых. Через четыре месяца получает 1000 руб. и возвращает сумму кредита с процентами. Через девять месяцев по депозиту инвестор получает сумму:
Процент который был обеспечен по размещению 1000 руб. на пять месяцев через четыре месяца, равен:
Задача 2.159.
Ставка спот для двух лет равна 11,5% годовых, для одного года - 9,5% годовых. Через год инвестор получит руб. и хотел бы обеспечить их размещение через год на один год под форвардную ставку. Определить величину форвардной ставки и перечислить действия инвестора.
Решение.
Форвардная годичная ставка через год равна:
Инвестор сегодня занимает под 9,5% на год сумму равную дисконтированной стоимости 500 000 руб., т. е.: 500 000/1,095 = 456621 руб.
и размещает ее на двухлетнем депозите под 11,5% годовых. Через год получает руб. и возвращает сумму кредита с процентами. Через два года по депозиту инвестор получает сумму:
Задача 2.160.
Ставка спот на шесть месяцев равна 8% годовых, на четыре месяца - 7,4% годовых. Через четыре месяца инвестор хотел бы занять 1000 руб. на два месяца под форвардную ставку. Перечислить действия инвестора.
Решение.
Инвестор сегодня занимает на шесть месяцев под 8% годовых сумму:
и размещает ее на четырехмесячном депозите под 7,4% годовых. Через четыре месяца по депозиту он получает 1000 руб. Через шесть месяцев он возвращает сумму кредита с процентами:
Фактический процент, под который инвестор обеспечил заимствование 1000 руб. на два месяца через четыре месяца, равен форвардной ставке и составляет:
Задача 2.161.
Ставка спот для девяти месяцев равна 8,5% годовых, для четырех месяцев -7,5% годовых. Через четыре месяца инвестор хотел бы занять 1000 руб. на пять месяцев под форвардную ставку. Перечислить действия инвестора.
Решение.
Инвестор сегодня занимает на девять месяцев под 8,5% годовых сумму:
и размещает ее на четырехмесячном депозите под 7,5% годовых. Через четыре месяца по депозиту он получает 1000 руб. Через девять месяцев возвращает сумму кредита с процентами:
Процент, под который инвестор обеспечил заимствование 1000 руб. на пять месяцев через четыре месяца, равен форвардной ставке и составляет:
Задача 2.162.
Ставка спот для двух лет равна 11,5% годовых, для одного года - 9,5% годовых. Инвестор хотел бы через год обеспечить заимствование руб. на один год под форвардную ставку. Перечислить действия инвестора.
Решение.
Инвестор сегодня занимает под 11,5% годовых на два года сумму:
и размешает ее на год на депозите под 9,5%.
Через год получает по депозиту руб. Через два года инвестор возвращает сумму кредита с процентами:
Задача 2.163.
Ставки спот по займам и депозитам представлены в таблице:
Период времени
Ставка по депозиту (%)
Ставка по займу (%)
4 месяца
7,2
9
6 месяцев
8
10
Определить форвардную ставку по размещению денег через четыре месяца на два месяца.
Решение.
Для того, чтобы обеспечить в будущем размещение денег под форвардную ставку, определяемую ставками спот, инвестор должен занять средства под краткосрочную ставку и разместить их на депозите под более долгосрочную ставку. Для простого процента формула расчета форвардной ставки имеет вид:
(2.75)
где rt2 - спот ставка по депозиту для периода t2; rt1 - спот ставка по займу для периода t1;
r2,1 - форвардная ставка для периода t2 – t1;
Согласно (2.75) форвардная ставка по размещению денег через четыре месяца на два месяца равна:
Задача 2.164.
Ставки спот по займам и депозитам представлены в таблице задачи 2.163. Определить форвардную ставку по заимствованию денег через четыре месяца на два месяца.
Решение.
Для того, чтобы обеспечить в будущем заимствование денег под форвардную ставку, определяемую ставками спот, инвестор должен занять средства под долгосрочную ставку и разместить их на депозите под более краткосрочную ставку. Для простого процента формула для расчета форвардной ставки имеет вид:
(2.76)
где rt2 - спот ставка по займу для периода t2; rt1 - спот ставка по депозиту для периода t1;
r2,1 - форвардная ставка для периода t2 – t1;
Согласно (2.76) форвардная ставка по заимствованию денег через четыре месяца на два месяца равна:
Задача 2.165.
Ставки спот по займам и депозитам представлены в таблице:
Период времени
Ставка по депозиту (%)
Ставка по займу (%)
4 месяца
7,5
8,9
9 месяцев
8,5
10,5
Через четыре месяца инвестор получит 1000 руб. Он ожидает падения ставок по депозитам и хотел бы обеспечить размещение денег через четыре месяца на пять месяцев под форвардную ставку. Перечислить действия инвестора и определить величину форвардной ставки.
Решение.
Инвестор сегодня занимает под 8,9% годовых на четыре месяца сумму равную дисконтированной стоимости 1000 руб., т. е.:
и размешает ее на девятимесячном депозите под 8,5% годовых.
Через четыре месяца получает 1000 руб. и возвращает сумму кредита с процентами. Через девять месяцев по депозиту инвестор получает сумму:
Процент, который был обеспечен по размещению 1000 руб. на пять месяцев через четыре месяца, равен:
Вопрос 2.166.
В чем отличие понятий "кривая доходности"(yield curve) и "временная структура процентных ставок"(term structure of interest rates)?
Ответ.
Кривая доходности - это зависимость между временем до погашения облигации и их доходностью до погашения.
Временная структура процентных ставок - это структура ставок спот для разных периодов времени. Поэтому также можно сказать, что временная структура процентных ставок - это зависимость между временем погашения бескупонных облигаций и их доходностью до погашения.
Задача 2.167.
Номинал купонной облигации 1000 руб., цена 916 руб., купон 8%, выплачивается один раз в год. До погашения бумаги три года. Ставка спот для одного года 10%,, для двух - 11% годовых. Определить теоретическую ставку спот для трех лет.
Решение.
Теоретическая ставка спот определяется па основе уравнения:
(2.77)
где Р - цена облигации; С - купон в рублях; N - номинал; n - число лет до погашения облигации;
rt - cтавка спот для периода t ; t = 1, 2, ... n.
Если известна цена купонной облигации, погашаемой через n лет и ставки спот для всех периодов кроме n-го, го теоретическая ставка спот для n-го периода находится из равенства (2.77).
Запишем равенство (2.77) для условий задачи:
где rТс - теоретическая ставка спот для трех лет. Решив данное уравнение, получим rТс = 11,5% годовых.
Задача 2.168.
Номинал купонной облигации 1000 руб., цена 1008,71 руб., купон 5%, выплачивается один раз в год. До погашения бумаги три года. Ставка спот для одного года 4%, для двух - 4,5% годовых. Определить теоретическую ставку спот для трех лет.
Решение.
Теоретическая ставка спот определяется на основе уравнения:
Решив данное уравнение, получим rТс = 4,7% годовых.
Задача 2.169.
Номинал купонной облигации 1000 руб., цена 988,92 руб., купон 3%. выплачивается один раз в год. До погашения бумаги три года. Ставка спот для одного года 3,1%, для двух 3,3% годовых. Определить теоретическую ставку спот для трех лет.
Решение.
Теоретическая ставка спот определяется на основе уравнения:
rТс = 3,4% годовых.
Задача 2.170.
Номинал купонной облигации 1000 руб., цена 916 руб., купон 3%, выплачивается один раз в год. До погашения бумаги три года. Ставка спот для одного года 2,9%, для трех – 3,2% годовых. Определить теоретическую ставку спот для двух лет.
Решение.
Теоретическая ставка спот для двух лет определяется на основе уравнения:
rТс = 3,1% годовых.
Задача 2.171.
Номинал купонной облигации 1000 руб., цена 1016,54 руб., купон 6%, выплачивается один раз в год. До погашения бумаги три года. Ставка спот для двух лет 5,3%, для трех - 5,4% годовых. Определить теоретическую ставку спот для одного года.
Ответ.
rТс = 5% годовых.
Задача 2.172.
Номинал купонной облигации 1000 руб., купон 5,5%, выплачивается один раз в год. До погашения бумаги три года. Ставка спот для одного года 5,1%, двух лет 5,3%, для трех 5,4% годовых. Определить ориентировочную доходность до погашения облигации и точную доходность методом линейной интерполяции.
Решение.
На основе ставок спот цена облигации равна:
Ориентировочная доходность до погашения на основе формулы (2.11) равна:
Возьмем r1 = 5%. По формуле (2.3):
Возьмем r2 = 6% . По формуле (2.3):
Согласно (2.13) точная доходность до погашения облигации равна:
Задача 2.173.
Номинал купонной облигации 1000 руб., цена 1002,95 руб., купон 5,5%, выплачивается один раз в год. До погашения бумаги три года. Ставка спот для одного года 5,1%, двух лет 5,3%. трех лет 5,35% годовых. Инвестор может выпустить дисконтные векселя с любым номиналом и на любые сроки под ставки спот. (Степень риска по векселям инвестора аналогична риску по купонной облигации.) Определить величину арбитражной прибыли инвестора и перечислить его действия.
Решение.
Инвестор покупает купонную облигацию за 1002,95 руб. Выписывает три векселя: первый на один год номиналом 55 руб., второй на два года номиналом 55 руб., третий на три года номиналом 1055 руб. Векселя погашаются одновременно с выплатой купонов и погашения номинала облигации. Цены первого (P1), второго (P2) и третьего (P3) векселей соответственно равны:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
