Решение.
В соответствии с алгоритмом определения стоимости облигации, представленном в задаче 2.1, формула расчета цены облигации имеет вид:
(2.1)
где Р - цена облигации; С - купон в рублях; N - номинал;
n - число лет до погашения облигации; r - доходность до погашения облигации. Согласно формуле (2.1) цена облигации равна:
Задача 2.3.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 9%.
Ответ.
Р = 1025,31 руб.
Задача 2.4.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 10%.
Ответ.
Р = 1000руб.
Задача 2.5.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%. выплачивается один раз в год. До погашения облигации 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 11%.
Ответ.
Р = 975,56 руб.
Вопрос 2.6.
Доходность до погашения облигации меньше величины ее купона. Цена облигации должна быть выше или ниже номинала?
Ответ.
Цена облигации должна быть выше номинала. Данная закономерность иллюстрируется задачами 2.2 и 2.3.
Вопрос 2.7.
Доходность до погашения облигации больше величины ее купона. Цена облигации должна быть выше или ниже номинала?
Ответ.
Цена облигации должна быть ниже номинала. Данная закономерность иллюстрируется задачей 2.5.
Вопрос 2.8.
Доходность до погашения облигации равна ее купону. Сколько стоит облигация?
Ответ.
Цена облигации равна номиналу. Данная закономерность иллюстрируется задачей 2.4.
Задача 2.9.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается два раза в год. До погашения облигации 2 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8%.
Решение.
Когда купон выплачивается m раз в год, формула (2.1) принимает вид:
(2.2)
Согласно (2.2) цена облигации равна:
Примечание.
Данную задачу можно решить, используя формулу (2.1), только в этом случае периоды времени выплаты купонов следует учитывать не в купонных периодах, а, как и раньше, в годах. Первый купон выплачивается через полгода, поэтому для него время выплаты равно 0,5 года, второй купон выплачивается через год, для него время выплаты равно 1 год и т. д. Ставка дисконтирования учитывается в этом случае как эффективный процент на основе заданной доходности до погашения, т. е. она равна:
(1+0,08/2)^2 – 1 = 0,0816.
Согласно формуле (2.1) цена облигации составляет:
Задача 2.10.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается два раза в год. До погашения облигации 2 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 9%.
Ответ.
Согласно (2.2) цена облигации равна 1017,94 руб.
Задача 2.11.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается два раза в год. До погашения облигации 2 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 10%.
Ответ.
Р = 1000 руб.
Задача 2.12.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается два раза в год. До погашения облигации 2 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 11%.
Ответ.
Р = 982,47 руб.
Задача 2.13.
Номинал облигации 1000 руб., купон 6%, выплачивается два раза в год. До погашения облигации 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 7%.
Ответ.
Р = 973,36 руб.
Задача 2.14.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%. выплачивается один раз в год. До погашения облигации 2 года 250 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8%. База 365 дней.
Решение.
Цена облигации определяется по формуле (2.1). Если до погашения облигации остается не целое число лет, то учитывается фактическое время выплаты каждого купона. Так, выплата первого купона произойдет в момент времени 250/365, второго купона в момент 1*250/365 и т. д.
Цена облигации равна:
Задача 2.15.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается одни раз в год. До погашения облигации 2 года 120 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 12%. База 365 дней.
Решение.
Цена облигации равна:
Задача 2.16.
Номинал облигации 1000 руб., кунон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 2 года 30 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 10%. База 365 дней.
Ответ.
Р = 1091,47руб.
Задача 2.17.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 15 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 11,5%.
Решение.
Когда до погашения облигации много лет, непосредственно использовать формулу (2.1) довольно громоздко. Ее можно преобразовать к более удобному виду. Сумма дисконтированных стоимостей купонов облигации представляет собой не что иное как приведенную стоимость аннуитета. С учетом этого замечания формулу (2.1) можно записать как (Формулу (2.1) можно также преобразовать к виду: ):
(2.3)
Согласно (2.3) цена облигации равна:
Задача 2.18.
Номинал облигации 1000 руб., купон 8%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 20 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 9,7%.
Решение.
Согласно (2.3) цена облигации равна:
Задача 2.19.
Номинал облигации 1000 руб., купон 4%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 30 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 4,5%.
Ответ.
Р = 918,56 руб.
Задача 2.20.
Номинал облигации 1000 руб., купон 3%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 25 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 4,3%.
Ответ.
Р = 803,20руб.
Задача 2.21.
Номинал облигации 1000 руб., купон 5%, выплачивается один paз в год. До погашения облигации 18 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 4,8%.
Ответ.
P = 1023,75 руб.
Задача 2.22.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается два раза в год.
До погашения облигации 6 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8,4% годовых.
Решение.
Если купон по облигации выплачивается m раз в год, формулу (2.2) можно преобразовать к виду (Формулу (2.4) можно также преобразовать к виду: ) :
(2.4)
Согласно формуле (2.4) цена облигации равна:
Задача 2.23.
Номинал облигации 1000 руб., купон 7%, выплачивается ежеквартально. До погашения облигации 5 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 6,5% годовых.
Решение.
Согласно (2.4) цена облигации равна:
Задача 2.24.
Номинал облигации 1000 руб., купон 4%, выплачивается ежеквартально. До погашения облигации 10 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 4,75% годовых.
Ответ.
Р = 940,57 руб.
Задача 2.25.
Номинал облигации 1000 руб., купон 7%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 11 лет и 45 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8%. База 365 дней.
Решение.
Если до погашения облигации остается не целое число лет, то формулу (2.3) можно преобразовать к виду:
(2.5)
где t - количество дней до выплаты ближайшего купона;
n - количество полных лет до погашения облигации, т. е без учета не полного купонного периода.
Согласно (2.5) цена облигации равна:
Задача 2.26.
Номинал облигации 1000 руб., купон 5%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 14 лет и 77 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 4,8%. База 365 дней.
Ответ.
Р = 1059,52 руб.
Задача 2.27.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 5 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 12% годовых.
Решение.
По бескупонной облигации осуществляется только один платеж - в конце периода ее обращения инвестору выплачивается номинал. Поэтому ее цена определяется по формуле:
Согласно (2.6) цена облигации равна: 1000/1,12^5 = 567,43руб.
Задача 2.28.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 3 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8% годовых.
Ответ.
Р = 793,83 руб.
Задача 2.29.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 8 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 6% годовых.
Ответ.
Р = 627,41 руб.
Задача 2.30.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 5 лет и 20 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 12% годовых. База 365 дней.
Решение.
Согласно (2.6) цена облигации равна:
Задача 2.31.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 2 года и 54 дня. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 6,4% годовых. База 365 дней.
Ответ.
Р = 875,25руб.
Задача 2.32.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 7 лет. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 8% годовых. По купонным облигациям купоны выплачиваются два раза в год.
Решение.
Если по купонным облигациям купоны выплачиваются m раз в год, то это означает, что частота начисления сложного процента по инвестициям в облигации составляет m раз в год. Чтобы получить аналогичную частоту начисления процента по бескупонной облигации ее цену следует определять по формуле:
(2.7)
Согласно (2.7) цена облигации равна:
Задача 2.33.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 4 года. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 5% годовых. По купонной облигации купоны выплачиваются четыре раза в год.
Ответ.
P = 819,75 руб.
Задача 2.34.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 30 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 4% годовых. База 365 дней.
Решение.
Цена бескупонной краткосрочной облигации определяется по формуле:
(2.8)
где t - время до погашения облигации.
Согласно (2.8) цена облигации равна:
Задача 2.35.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 65 дней. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 3,5% годовых. База 365 дней.
Ответ.
Р = 993,81 руб.
Задача 2.36.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 4 дня. Определить цену облигации, если ее доходность до погашения должна составить 2% годовых. База 365 дней.
Ответ.
Р = 999,78 руб.
2.2. Определение доходности облигации
Задача 2.37.
Номинал облигации 1000 руб., купон 10%. Облигация стоит 953 руб. Определить текущую доходность облигации.
Решение.
Текушая доходность облигации определяется по формуле:
(2.9)
где rT - текущая доходность; С - купон облигации; Р - цена облигации.
Согласно (2.9) текущая доходность облигации равна:
Задача 2.38.
Номинал облигации 1000 руб., купон 8%. Облигация стоит 1014 руб. Определить текущую доходность облигации.
Ответ.
rT = 7,89%.
Задача 2.39.
Номинал облигации 1000 руб., купон 3,5%. Облигация стоит 1005 руб. Определить текущую доходность облигации.
Ответ.
rT = 3,48%.
Задача 2.40.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 3 года. Облигация стоит 850 руб. Определить доходность до погашения облигации.
Решение.
Доходность до погашения бескупонной облигации определяется по формуле (выводится из формулы 2.6):
(2.10)
Согласно (2.10) доходность облигации составляет:
Задача 2.41.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 5 лет. Облигация стоит 734 руб. Определить доходность до погашения облигации.
Ответ.
r = 6,38%.
Задача 2.42.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 2 года. Облигация стоит 857,52 руб. Определить доходность до погашения облигации.
Ответ.
r = 7,99%.
Задача 2.43.
Номинал бескупонной облигации равен 1000 руб., бумага погашается через 4 года и 120 дней. Облигация стоит 640 руб. Определить доходность до погашения облигации. База 365 дней.
Решение.
Задача 2.44.
Номинал бескупонной облигации 1000 руб. Облигация погашается через три года. Инвестор купил облигацию по 850 руб. и продал через 1 год 64 дня по 910 руб. Определить доходность операции инвестора в расчете на год. База 365 дней.
Решение.
Задача 2.45.
Номинал бескупонной облигации 1000 руб. Облигация погашается через три года. Инвестор купил облигацию по 850 руб. и продал через 120 дней по 873 руб. Определить доходность операции инвестора в расчете на год на основе: 1) простого процента; 2) эффективного процента. База 365 дней.
Решение.
Задача 2.46.
Номинал бескупонной облигации 1000 руб. Облигация погашается через четыре года. Инвестор купил облигацию по 887,52 руб. и продал через 41 день по 893,15 руб. Определить доходность операции инвестора в расчете на год на основе: 1) простого процента; 2) эффективного процента. База 365 дней.
Ответ.
1) r = 5,65%.
2) rэф = 5,79%.
Задача 2.47.
Номинал облигации 1000 руб., купон 7%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет. Облигация стоит 890 руб. Определить ориентировочно доходность до погашения облигации.
Решение.
Доходность до погашения купонной облигации можно ориентировочно определить из формулы:
(2.11)
(N+P)/2
где r - доходность до погашения; N - номинал облигации; С - купон; Р - цена облигации; n - число лет до погашения.
Согласно (2.11) доходность равна:
Задача 2.48.
Номинал облигации 1000 руб., купон 8%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 6 лет. Облигация стоит 1053 руб. Определить ее доходность до погашения.
Решение.
Задача 2.49.
Номинал облигации 1000 руб., купон 9%, выплачивается два раза в год. До погашения облигации 4 года. Облигация стоит 1040 руб. Определить ее доходность до погашения.
Решение.
Замечание.
Для облигации, по которой купон выплачивается m раз в год, формула ориентировочной доходности примет следующий вид:
(2.12)
Однако в этом случае r является доходностью в расчете на один купонный период. Так, если m = 2, то получится доходность за полгода. Чтобы перевести полученную доходность в расчете на год, ее следует умножить на величину m. Таким образом, для расчета ориентировочной доходности по облигациям с выплатой купонов m раз в год, можно сразу пользоваться формулой (2.11).
Задача 2.50.
Определить точную доходность до погашения облигации в задаче 2.48 методом линейной интерполяции.
Решение.
Формула для определения доходности облигации методом линейной интерполяции имеет вид:
(2.13)
Техника вычисления доходности по формуле (2.13) сводится к следующему. Определив ориентировочную доходность облигации по формуле (2.11), инвестор выбирает значение r1, которое ниже полученного значения ориентировочной доходности, и рассчитывает для него соответствующую цену облигации Р1 по формуле (2.1) или (2.3). Далее берет значение r2, которое
выше значения ориентировочной доходности, и рассчитывает для него цену Р2. Полученные значения подставляются в формулу (2.13).
В задаче 2.48 ориентировочная доходность составила 6,93% годовых. Возьмем r1 = 6% . Тогда по формуле (2.3):
Возьмем r2 = 7% . По формуле (2.3):
Согласно (2.13) точная доходность до погашения облигации равна:
Задача 2.51.
Определить точную доходность до погашения облигации в задаче 2.47 методом линейной интерполяции.
Решение.
В задаче 2.47 ориентировочная доходность составила 9,74% годовых. Возьмем r1 = 9% . По формуле (2.3):
Возьмем r2 = 10% . По формуле (2.3):
Согласно (2.13) точная доходность до погашения облигации равна:
Задача 2.52.
Определить точную доходность до погашения облигации к задаче 2.49 методом линейной интерполяции.
Решение.
В задаче 2.49 ориентировочная доходность составила 7,84% годовых. Возьмем r1 = 7% . По формуле (2.4):
Возьмем r2 = 8%. По формуле (2.4):
Точная доходность до погашения облигации равна:
Задача 2.53.
Номинал краткосрочной бескупонной облигации 1000 руб., цена 950 руб. Облигация погашается через 200 дней. Определить доходность до погашения облигации. База 365 дней.
Решение.
Доходность до погашения краткосрочной бескупонной облигации определяется по формуле:
(2.14)
Согласно (2.14) доходность облигации равна:
Задача 2.54.
Номинал облигации 1000 руб., цена 994 руб. Облигация погашается через 32 дня. Определить доходность до погашения облигации. База 365 дней.
Решение.
Согласно (2.14) доходность облигации равна:
Задача 2.55.
Номинал облигации 1000 руб., цена 981 руб. Облигация погашается через 52 дня. Определить доходность до погашения облигации. База 365 дней.
Ответ.
r = 13,6% годовых.
Задача 2.56.
Номинал облигации 1000 руб., цена 987,24 руб. Облигация погашается через 45 дней. Определить доходность до погашения облигации. База 365 дней. Ответ. r = 10,48% годовых.
Задача 2.57.
Определите эффективную доходность облигации для задачи 2.54.
Решение.
Задача 2.58.
Определите эффективную доходность облигации для задачи 2.56.
Ответ. rэф = 10,97%.
Задача 2.59.
Номинал облигации 1000 руб., купон 6%, выплачивается один раз в год. Облигация погашается через три года. Инвестор купил облигацию по 850 руб. и продал через 57 дней по 859 руб. За период владения облигацией купон по бумаге не выплачивался. Определить доходность операции инвестора: 1) в расчете на 57 дней; 2) в расчете на год на основе простого процента; 3) эффективный процент по операции. База 365 дней.
Решение.
Задача 2.60.
Номинал облигации 1000 руб., купон 6%, выплачивается один раз в год. Облигация погашается через три года. Инвестор купил облигацию по 850 руб. и продал через 57 дней по 800 руб. В конце периода владения облигацией по бумаге был выплачен купон. Определить доходность операции инвестора в расчете на год на основе простого процента. База 365 дней.
Решение.
2.3. Реализованный процент (доходность)
Задача 2.61.
Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 5 лет. Инвестор полагает, что за этот период он сможет реинвестировать купоны под 12% годовых. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до погашения.
Решение.
Через пять лет инвестору выплатят номинал облигации. Сумма купонных платежей и процентов от их реинвестирования представляет собой будущую стоимость аннуитета. Поэтому она составит:
Общая сумма средств, которые получит инвестор за пять лет, равна:
1000 + 635,29 = 1635,29 руб.
Задача 2.62.
Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., купон 8%, выплачивается один раз в год. До погашения облигации 4 года. Инвестор полагает, что за этот период он сможет реинвестировать купоны под 6% годовых. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до погашения.
Решение.
Сумма купонных платежей и процентов от их реинвестирования за четыре года равна:
С учетом выплаты номинала общая сумма средств по облигации через четыре года составит:
1000 + 349,97 = 1349,97 руб.
Задача 2.63.
Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., купон 8%. выплачивается один paз в год. До погашения облигации шесть лет. Инвестор полагает, что в течение ближайших двух дет он сможет реинвестировать купоны под 10%, а в оставшиеся четыре года под 12%. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до погашения.
Решение.
Сумма купонов и процентов от их реинвестирования за первые два года (по первым двум купонам) составит:
(То есть через год инвестор получит первый купон и реинвестирует его на год под 10%, еще через год получит следующий купон. В сумме это даст 168 руб.) Полученная сумма инвестируется под 12% на оставшиеся четыре года:
168*1,12^4 = 264,35 руб.
Сумма купонных платежей и процентов от их реинвестирования под 12% в течение четырех последних лет составит:
Общая сумма, которую инвестор получит по облигации, равна:
1000 + 264,35 + 382,35 = 1646,7 руб.
Задача 2.64.
Инвестор покупает облигацию по номиналу, номинал равен 1000 руб., купон 6%, выплачивается один paз в год. До погашения облигации три года. Инвестор полагает, что в течение ближайших двух лет он сможет реинвестировать купоны под 7%. Определить общую сумму средств, которые вкладчик получит по данной бумаге, если продержит ее до погашения.
Решение.
Инвестор имеет возможность реинвестировать первый и второй купоны под 7%. Третий купон будет выплачен при погашении облигации. Поэтому сумма купонов и процентов от их реинвестирования есть не что иное как трехлетний аннуитет. Fro будущая стоимость равна:
Общая сумма, которую инвестор получит по облигации, равна:
1000 + 192,89 = 1192,89 руб.
Задача 2.65.
Определить реализованный процент для условий задачи 2.64.
Решение.
Реализованный процент - это процент, позволяющий приравнять сумму всех будущих поступлений, которые инвестор планирует получить по облигации, к ее сегодняшней цене. Он определяется по формуле:
(2.15)
Согласно (2.15) реализованный процент по облигации равен:
Задача 2.66.
Номинал облигации 1000 руб., купон 6%, выплачивается один раз в год. Инвестор покупает облигацию за 950 руб. До погашения облигации три года. Инвестор полагает, что он сможет реинвестировать купоны под 8%. Определить реализованный процент по облигации, если вкладчик продержит ее до погашения.
Решение.
Общая сумма средств на момент погашения облигации составит:
Согласно (2.15) реализованный процент по облигации равен:
Задача 2.67.
Доказать, что при горизонтальной структуре кривой доходности общая сумма средств с учетом реинвестирования купонов, которую инвестор получит от владения облигацией при ее погашении, равна P(1+r)n, где n - время, остающееся до погашения бумаги.
Решение.
Цена облигации равна:
(2.16)
Умножим левую и правую части равенства (2.16) на (1+r)n:
(2.17)
Равенство (2.17) показывает, что общая сумма средств с учетом реинвестирования купонов, которую инвестор получит от владения облигацией при горизонтальной структуре кривой доходности, равна P(1+r)n. Это следует из правой части равенства (2.17). В правой части первый купон, который инвестор получает через год, реинвестируется на период (n – 1), второй купон
на период (n – 2) и т. д. При погашении облигации выплачивается последний купон и номинал. Формула (2.17) показывает, что общая сумма средств по облигации с учетом реинвестирования купонов равна инвестированию суммы равной цене облигации под существующий процент до момента погашения бумаги.
Задача 2.68.
Инвестор купил облигацию и продаст ее за t лет до момента погашения сразу после выплаты очередного купона. Доказать, что при горизонтальной структуре кривой доходности общая сумма средств с учетом реинвестирования купонов, которую инвестор получит от владения облигацией, равна P(1+r)^(n – t), где n – t - время, которое инвестор будет владеть облигацией.
Решение.
Цена облигации равна:
(2.18)
Инвестор планирует продать бумагу за t лет до ее погашения сразу после выплаты очередного купона, т. е. он продержит ее в течение n – t лет. Умножим левую и правую часть равенства (2.18) на (1+r)^(n – t):
(2.19)
В равенстве (2.19) последние слагаемые представляют собой не что иное как цену облигации, когда до ее погашения останется t лет, обозначим ее через Рt:
Поэтому запишем (2.19) как:
(2.20)
Равенство (2.20) показывает, что общая сумма средств с учетом реинвестирования купонов, которую инвестор получит от владения облигацией, равна P(1+r)^(n – t).
Задача 2.69.
Инвестор купил купонную облигацию, до погашения которой осталось десять лет, за 887 руб. Купон по облигации выплачивается один раз в год. На следующий день доходность до погашения облигации упала до 11%, и цена ее выросла до 941,11 руб. Определить доходность в расчете на год, которую инвестор получит по облигации с учетом реинвестирования купонов (реализованную доходность), если процентная ставка останется на уровне 11%, и он продаст бумагу через три года.
Решение.
Согласно формуле (2.20) общая сумма средств по облигации с учетом реинвестирования купонов, которую инвестор получит от владения облигацией и продажи ее в момент t, равна P(1+r)^(n – t). Общая сумма дохода, полученная инвестором по облигации через три года равна:
Инвестор купил бумагу за 887 руб. Реализованная доходность равна:
Примечание.
В задаче 2.69 формулу определения реализованной доходности можно представить в одно действие:
или
(2.21)
где rr - реализованная доходность;
Pн - новая цена облигации после изменения процентной ставки на рынке;
Р - цена, по которой облигация была куплена;
r - процентная ставка, соответствующая новой цене облигации.
Задача 2.70.
Для условий задачи 2.69 определить доходность в расчете на год, которую инвестор получит по облигации с учетом реинвестирования купонов, если он продаст бумагу через девять лет.
Решение.
Согласно формуле (2.21) реализованная доходность по облигации за девять лет равна:
Задача 2.71.
Инвестор купил купонную облигацию, до погашения которой осталось десять лет, за 1064,18 руб. Купон по облигации выплачивается один раз в год. На следующий день доходность до погашения облигации упала до 8%, и цена ее выросла до 1134,20 руб. Определить доходность в расчете на год, которую инвестор получт по облигации с учетом реинвестирования купонов, если процентная ставка останется на уровне 8%, и он продаст бумагу через три года.
Решение.
Согласно (2.21) реализованная доходность по облигации за три года равна:
Задача 2.72.
Для условий задачи 2.71 определить доходность в расчете на год, которую инвестор получит по облигации с учетом реинвестирования купонов, если он продаст бумагу через девять лет.
Решение.
Задача 2.73.
В задаче 2.71 инвестор после трех лет владения облигацией получил реализованную доходность равную 10,32%. В задаче 2.72 инвестор после владения аналогичной облигацией в течение 9 лет получил реализованную доходность равную 8,77%. Объясните, почему во втором случае доходность от владения облигацией снизилась.
Решение.
В задачах 2.71 и 2.72 после покупки облигации ее доходность до погашения упала, следовательно, выросла цена. От падения ставки выиграл краткосрочный инвестор. Для долгосрочного инвестора данный эффект проявляется в меньшей степени или отсутствует, так как по мере приближения срока погашения облигации ее цена приближается к номиналу. В то же время краткосрочный инвестор реинвестирует купоны под более низкий процент (8%) в течение более короткого времени, чем долгосрочный. Следовательно, реализованная доходность долгосрочного инвестора будет ниже, чем у краткосрочного.
Задача 2.74.
Инвестор купил купонную облигацию, до погашения которой осталось пятнадцать лет, за 928,09 руб. Купон по облигации выплачивается один раз в год. На следующий день доходность до погашения облигации выросла до 12%, и цена ее упала до 863,78 руб. Определить доходность в расчете на год, которую инвестор получит по облигации с учетом реинвестирования купонов, если процентная ставка останется на уровне 12%, и он продаст бумагу через четыре года.
Решение.
Согласно (2.21) реализованная доходность по облигации за четыре года равна:
Задача 2.75.
Для условий задачи 2.74 определить доходность в расчете на год, которую инвестор получит по облигации с учетом реинвестирования купонов, если он продаст бумагу через десять лет.
Решение.
Задача 2.76.
В задаче 2.74 инвестор после четырех лет владения облигацией получил реализованную доходность равную 10%. В задаче 2.75 инвестор после владения аналогичной облигацией в течение 10 лет получил реализованную доходность 11,2%. Объясните, почему во втором случае доходность от владения облигацией выросла.
Решение.
В задачах 2.74 и 2.75 после покупки облигации ее доходность до погашения выросла, следовательно, снизилась цена. От роста ставки теряет краткосрочный инвестор. Для долгосрочного инвестора данный эффект проявляется в меньшей степени или отсутствует, так как по мере приближения срока погашения облигации ее цена приближается к номиналу. В дополнение к этому краткосрочный инвестор реинвестирует купоны под более высокий процент (12%) в течение более короткого времени, чем долгосрочный. Следовательно, реализованная доходность для долгосрочного инвестора будет выше, чем у краткосрочного.
Задача 2.77.
Инвестор купил купонную облигацию, до погашения которой десять лет, за 887 руб. Доходность до погашения облигации 12%. Купон по облигации выплачивается один раз в год. На следующий день доходность до погашения облигации упала до 11%, и цена ее выросла до 941,11 руб. Определить, сколько времени должен продержать инвестор облигацию, чтобы реализованная доходность оказалась равной 12%, если процентная ставка на рынке останется на уровне 11%.
Решение.
Реализованная доходность равна:
(2.22)
где Т - время, которое держит облигацию инвестор.
Найдем из (2.22) значение Т. Для этого преобразуем (2.22) следующим образом:
(2.23)
Возьмем от обеих частей (2.23) натуральный логарифм и вынесем показатель степени за знак логарифма:
Отсюда:
(2.24)
Для того, чтобы реализованная доходность инвестора составила 12% годовых, он должен продать облигацию через:
Задача 2.78.
Инвестор купил купонную облигацию, до погашения которой десять лет, за 887 руб. Номинал облигации 1000 руб., купон 10%, выплачивается один раз в год. Доходность до погашения облигации 12%. На следующий день доходность до погашения облигации выросла до 13%. Определить, сколько времени должен продержать инвестор облигацию, чтобы реализованная доходность оказалась равной 12%, если процентная ставка на рынке останется на уровне 13%.
Решение.
При росте доходности до погашения до 13% цена облигации упала до 837,21 руб. Для того, чтобы реализованная доходность инвестора составила 12% годовых, он должен продать облигацию через:
Задача 2.79.
Для условий задачи 2.78 определить, сколько времени должен продержать инвестор облигацию, чтобы реализованная доходность оказалась равной 12,3%, если процентная ставка на рынке останется на уровне 13%.
Ответ.
9,3 года.
Задача 2.80.
Инвестор купил купонную облигацию с доходность до погашения 8%. Номинал облигации 1000 руб., купон 8,5%, выплачивается одни paз в год. На следующий день доходность до погашения облигации выросла до 8,2%. Определить, сколько времени должен продержать инвестор облигацию, чтобы реализованная доходность оказалась равной 8%, если процентная ставка на рынке останется на уровне 8,2%. До погашения облигации 5 лет.
Решение.
Инвестор купил облигацию по цене 1019,96 руб. После роста доходности до погашения цена облигации упала до 1011,92 руб. Инвестор должен продать облигацию через:
2.4. Дюрация
Задача 2.81.
Выведите формулу дюрации Маколея на основе определения дюрации как эластичности цены облигации по процентной ставке.
Решение.
Согласно определению дюрации как эластичности цены облигации по процентной ставке можно записать:
или
или
(2.25)
где D - дюрации Маколея; Р - цена облигации; dP - небольшое изменение цены облигации; r - доходность до погашения облигации; dr - небольшое изменение доходности до погашения.
В формуле (2.25) стоит знак минус, чтобы сделать показатель дюрации положительной величиной, так как цена облигации и процентная ставка изменяются в противоположных направлениях.
В уравнении (2.25) отношение dP/dr это производная цены облигации по процентной ставке. На основе формулы цены облигации с выплатой купонов один раз в год (2.1) она равна:
или
или
(2.26)
Подставим в равенство (2.25) значение dP/dr из равенства (2.26):
или
(2.27)
Задача 2.82.
Поминал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 8%. Определить дюрацию Маколея облигации.
Решение.
Цена облигации равна:
Дюрация составляет:
Задача 2.83.
Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 10%. Определить дюрацию Маколея облигации.
Решение.
Согласно (2.27) дюрация равна:
Задача 2.84.
Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 12%. Определить дюрацию Маколея облигации.
Решение.
Цена облигации равна:
Дюрация составляет:
Задача 2.85.
Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 13%. Определить дюрацию Маколея облигации.
Ответ.
D = 3,46 года.
Вопрос 2.86.
Как зависит дюрация Маколея от величины доходности до погашения облигации?
Ответ.
Чем больше доходность до погашения, тем меньше дюрация. Данная закономерность иллюстрируется задачами 2.82 – 2.85.
Задача 2.87.
Номинал облигации 1000 руб. купон 6%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 8 лет, доходность до погашения 5%. Определить дюрацию Маколея облигации.
Ответ.
D = 6,632 года.
Задача 2.88.
Номинал облигации 1000 руб. купон 6,5%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 8 лет, доходность до погашения 5%. Определить дюрацию Маколея облигации.
Ответ.
D = 6,562 года.
Задача 2.89.
Номинал облигации 1000 руб. купон 7%, выплачивается один раз в год, до погашения бумаги 8 лет, доходность до погашения 5%. Определить дюрацию Маколея облигации.
Ответ.
D = 6,495 года.
Вопрос 2.90.
Как зависит дюрация Маколея от величины купона облигации?
Ответ.
Чем больше купон, тем меньше дюрация. Данная закономерность иллюстрируется задачами 2
Задача 2.91.
Номинал облигации 1000 руб. купон 10%, выплачивается два раза в год, до погашения бумаги 4 года, доходность до погашения 10%. Определить дюрацию Маколея облигации.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
