Решение.
Долларовая позиция банка в рублях составляет:
ЫЮтысОолл. • 2Нруб. = 1бЯ. шн. руб.
Позиция по евро в рублях равна:
АООтысевроруб. = 1 4мли. руб.
16.8 30г8
14
30,8
= 0,545 ,
- 0,455.
Уд. вес долларовой позиции и рублях в портфеле составляет: ПОЗИЦИИ по евро в рублях:
Стандартное отклонение доходности портфеля равно: Ср =|о,545: - О. ЗН2 +0.455: -0,52* 5 • 0.38 ■ 0,52 0.S2J "-0,136%.
Задача 4.87.
Для условий задачи 4.86 определить стандартное отклонение доходности портфеля, если банк купил доллары и купил евро.
Решение.
ар =(о,545? -0,38" +0,455: 0.52: + 2-0,545-0,455• 0.38• 0,52• 0,82J -0,0423 или 4,23%.
Задача 4.88.
Активы входят в портфель в олинаковых уд. весах. Доказать, что для широко диверсифицированного портфеля его дисперсия приблизительно равна средней ковариании дохолностей активов.
Решение.
Формулу дисперсии портфеля (4.27) можно предаавить в следующем виде;
ч п п
f=l I 1 j I
Если уд. веса активов в портфеле равны, то формула (4.31 > запишется как:
°1 =Е| - а' +Z Z —covv
(4.32)
где J - удельный вес бумаги в портфеле;
п2><" -,
— и' - средняя дисперсия активов в портфеле.
Умножим и разделим второе слагаемое формулы (4.32) на (м I) и преобразуем ею:
Л /I
~^с V'"lrJ. t\ ■ (4-33)
^ 2-C0V"=—г—2-2-mv
nn^fj n-lnn-Mj* n n(n-i)
ILXcov<-
В выражении (4.33) величина -—j - \ представляет собой среднюю п(п-\)
ко вариацию доходиостей активов портфеля, так как в се числителе стоит сумма ковариаиий. а в знаменателе - их число. Обозначим среднюю ковариацию через
cov, . Тогда формулу (4.32) можно записать как:
а и-1 —
°;= — + cov«- (4-34)
п п
При увеличении количества активов в портфеле значение первого слагаемого в формуле (4.34) будет уменьшаться и при большом значении и
{п—>so) оно приблизится к пулю. У второго слагаемого выражение будет
п
стремиться к единице. Поэтому формула (4.34) принимает вид:
er**covr
Задача 4.89.
Средняя доходность фондового индекса равна 15% годовых, стандартное отклонение доходности 24%. Предполагается, что доходность имеет нормальное распределение. Инвестор формирует портфель, копирующий данный индекс. Определить вероятность того, что в следующем году портфель принесет ему убыток.
Решение.
Инвестор подучи г убыток, если доходность пор|федя окажется меньше 1гуля. Согласно формуле (4.3) вероятность того, что доходность актива окажется меньше нуля равна:
Р(-Ф<г<0) = Ф\^Щ-Ф ~°Р~ | = Ф(-0,625)-Ф(-ю).
24
24
По таблицам функции нормального распределения или с помощью программы Excel определяем: Ф( 0,625) = 0,266; ф(-да) = 0. Отсюда:
Р(- г. < г < 0) = 0,= 0,266 или 26,6%.
166
Г. шва 4. Доходность и риск портфеля ценных бума.'
Задача 4.90.
Портфель состоит из активов А и В. Ожидаемая доходность, стандартное отклонение и уд. вес актива А в портфеле соответственно раины 20%. 25% и 40%, для актива В они составляют 30%. 42% и 60%. Коэффициент корреляции лоходностей активов равен нулю. Доходности активов имеют нормальное распределение. Определить вероятность того, что в следующем году портфель принесет убыток.
Решение.
Ожидаемая доходность портфеля равна:
0,4-20 + 0,6-30 = 26%.
Стандартное отклонение доходности портфеля составляет:
-JO,42-25?+0.6"-422 = 27,11%. Инвестор получит убыток, если доходность портфеля окажется меньше нуля, т. е.:
Р(_х,<г<0);.ф[*Ь^|-ф[-сс-26 =ф(Ч)959)-Ф(-оо).
1,27,11) [ 27.11 , V '
Но таблицам функции нормального распределения или с помошью программы Excel определяем: Ф(- 0.95: ф(-х) = 0. Отсюда:
Р(- ъ < г < 0) = 0.1688-0 = 0.1688 или 16,88%.
Задача 4.91.
Инвестор формирует портфель из рискованною актива А и безрискового актива В. Ожидаемая доходность, стандартное отклонение и уд. вес актива А в портфеле соответственно равны 20%, 26% и 70%. Доходность актива В составляет 10%. Определить стандартное отклонение и ожидаемую доходность портфеля.
Решение.
Ожидаемая доходность портфеля равна:
0.7-20 + 0,3-10^17%.
У безрискового актива риск отсутствует, и ковариаиня доходности рискованною и безрискового активов равна нулю. Поэтому риск портфеля пропорционален риску актива А с учетом его ул. веса:
ар =0.7-26 = 18,2%.
Задача 4.92.
Инвестор формирует портфель из рыночного портфеля М и безрискового актива. Стандартное отклонение и уд. вес портфеля М в портфеле инвестора соответственно равны 25% и 40%. Определить стандартное отклонение доходности портфеля инвестора.
мог
Решение.
У безрискового актива риск отсутствует, и ковариация доходности безрискового актива и рыночного портфеля равна нулю. Поэтому риск портфеля пропорционален риску рыночного портфеля с учетом его уд, веса в портфеле инвестора:
<х =0.4-25 = 10%.
4.4. Оптимальные портфели. Эффективная граница
Задача 4.93.
Докажите, что при возможности заимствования и кредитования эффективная граница представляет собой прямую линию. Решение.
Риск портфеля, состоящего из актива без риска и рискованного актива У
равен:
<г,=9*Ч - (4.35)
Из формулы (4.35) уд. вес рискованного актива составляет:
0,=—• (4.36)
Тогда уд. вес актива без риска \р,) равен:
0,=]-^ (4.37)
(Ту
Подставим формулы (4.36) и (4.37) в формулу ожидаемой доходности портфеля:
После преобразований подучим:
Формула (4.38) представляет собой уравнение прямой линии. В плоскости ожидаемая доходность Е{г) - риск (ег) она проходит через точки,
актива \p\rYЈ а> [• Величина представляет сооои тангенс угла
наклона эффективной границы к оси абсцисс.
соответствующие координатам актива без риска [г.-; 0) и рискованною
ктива [/T^fj j; a*,. J. Величина
168
Задача 4.94.
Ожидаемая доходность первого актива равна 40%, второго актива — 30%. третьего актива - 20%, стандартное отклонение доходности первого актива составляет 36%. второго актива - 22%. третьего актива - 15%, ковариация доходностей первого и второго активов равна 396. первого и третьего 324. второго и третьего 264. Определить е помощью метода множителей Лафанжа уд. веса бумаг в портфеле с доходностью 32%, который характеризуется наименьшим риском.
Решение.
Задача сводится к минимизации дисперсии портфеля (<т^):
ar=ZZ^cov'/ <4-39)
при двух ограничивающих условиях: 1) ожидаемая доходность портфеля \гр) равна:
Y*9K = ?P'> (4.40)
I I
2) сумма уд. весов всех активов равна единице:
Х^ = |- (4.41)
Искусственно создается и минимизируется функция Лагранжа в форме:
где L функция Лафанжа; О' целевая функция; л,, /i, - множители Лагранжа для первого и второго ограничений;
С,. С2 - первое и второе ограничения.
Целевая функция представлена функцией (4.39). Первое ограничение -равенством (4.40). второе - (4.41). В функцию Лагранжа первое и второе ограничения включаем в следующей форме:
и
2>Л-^=0;
/ I
is-!=о.
В общем виде функция Лафанжа чаиишется как:
i-Ј4^*%+4fЈ^-Ј 1+4Л £ч-4 (4.42)
ч'=> /
.'=" /
Затем необходимо найти частые производные функции (4.42) по О,, Я,, Л, и приравнять их к нулю:
'=0. /=1,2...,п
cL
'"
(4.43)
04,
= 0 = 0
Решение системы уравнений (4.43) дает ответ на вопрос, н каких уд. весах необходимо включать бумаги в портфель, чтобы он имел минимальную дисперсию для заданного уровня ожидаемой доходности. Составим функцию Лафанжа:
3 3 / I \ / \
14-1Я,(4.44)
L = lX^,covi+^ Ififi-
k i=IVf-1Г-1 i-l
Запишем ее в развернутом виде;
.+
I = 0faf + $l(jl + $1^1 + 29ft cov,_, + 20ft cov, (+20Д cov,
Найдем частные производные функции Лагранжа согласно системе (4.43): [ cL
<;Я,
= 20rf + 20г eovu+203 covu+iri+Д, О
= 2ft от + 20, cov, 2 + 203 cov, - + \72 + Я, = 0 = 20,(7; + 20, cov, 5 + 2ft csov2i3+^ + Я> = 0 .
= ОД + *Й *-0г73-Тр=Ъ
= ft+ft+ft-l = 0
(4.45)
Подставим в систему уравнений (4.45) цифровые значения задачи:
2вх362 + 202396+203324+Л,4Он Я. =0 2ft 222 + 2й( 396 + + Я\ 30 + Я; = 0 20,15-+20,324+ 20,264 +Я, 20 +Я, =0-
0,40 + ft 30+ (9,20-32 = 0
0,+#> + (?, 1=0
пли
25920, +1920, + 64805 + 40Я, + /Ц = О 7920. + 9680, + 5280, + ЗОЯ, + А, = О 6480,+5280.-4500^204+^ =0 .
400 +300,+200, -32
0+0, + 0.=1
Решим систему уравнений с помошью матричного исчисления. Матрицы А, В и 0 соответственно равны:
'(Г (ОЛ
0 #2
в = 0 0 = о,
» 32 • Л
iK 4>
2
I
40О
1 110 0
Решение системы имеет вил:
Уд. веса бумаг в портфеле равны:
О, =25,5154%, О, -68,9693%, 0, -5,5154%.
Задача 4.95.
Ожидаемая доходность первого актива равна 34%, второго актива - 32%, третьего актива 24%, стандартное отклонение доходности первого актива Составляет 34%, второго актива — 32%, третьего актива — 15%, ковариация ДОХОД-ностей первого и второго активов равна 128, первого и третьего - 288, второго и третьего - 240. Определить с помощью метода множителей Лагранжа уд. веса бумаг в портфеле с доходностью 30%. который характеризуется наименьшим риском.
Решение.
Составим функцию Лафанжа согласно формуле (4.44) и найлем производные по удельным весам активов и коэффициентам Я и Л.. Получим систему уравнений (4.45). Подставим в нее данные задачи:
'20,34" +20,128 + 20,288 + 434 + /*,= 0
20,322+ 20,128 + 20,240 + Л.32 + Я. -0
20,15?+ 20,288 + 20,240 + ^n24 + А = 0-
0,34 4 0,32*0,24 30 = 0
0+0,
03-1 = О
ли
11560, +1280, + 2886», + Щ *■ 0,5 А. = О
1280, 110240. + 2400, +Ш, + 0,5Л, = О
, 2880, + 2400, + 2250, +12Л, +0,5/U = 0 -
340+320,+ 240, =30
0,+0,+01 =1
Решение системы уравнений дает следующие уд. веса бумаг в портфеле: 0, =33.0572%. 0, =33,6786%, 07 ^33,2643%.
Задача 4.96.
Ожидаемая доходность акта ва X равна 34%, актива У - 32%, актива Z - 24%. стандартное отклонение доходности актива X составляет 34%, акгива У - 32%, актива Z - 15%. ковариация доходностей акгнвов X и Y равна 128. X и Z 288. У' и Z - 240. Определить с помощью метода множителей Лагранжа уд. веса бумаг в пор|фслс с доходностью 36%, который характеризуется наименьшим риском.
О i вет.
0Х =67.9248%, 0, =65,094%. 02 = 33.019%.
Отрицательное значение уд. веса бумаги Z говорит о том, что следует осуществить короткую продажу данного акгива и купить дополнительное количество бумаг X и Y.
Задача 4.97.
Ожидаемая доходность актива А-равна 24%. актива Y - 16%. актива Z - 12%. стандартное отклонение доходности актива Xсоставляет 14%, актива К - 10%. актива Z - 8%. ковариация доходностей активов X и Y равна 14. X и Z - 44,8- У и Z 56. Определить с помощью метода множителей Лшранжа уд. веса бумаг в портфеле с доходностью 20%. который характеризуется наименьшим риском.
Ответ.
0V -45,5108%. 0>. =63.4675%, 0,=-8,978%.
Задача 4.98.
Для условий задачи 4.97 определить уд. веса в портфеле с доходностью 24%. который характеризуется наименьшим риском. Ответ.
вх 68,5759%. 0, 94,2724%, в-А 62.848%.
Вопрос 4.99.
Как называется подход Г. Марковна к выбору эффективных портфелей?
Ответ.
Подход I". Марковна называется средне-дисперсионным анализом, поскольку построение эффективных портфелей основано на учете значений ожидаемой, т. е. средней доходности портфелей, и их дисперсий (стандартных отклонений).
172
У лава 4, доходность и рыск портфели ценных бумаг
Вопрос 4.100.
Какие теоретические условия должны выполняться па практике, чтобы ПОДХОД Г. Марковна имел практическую значимость?
Ответ.
Чтобы подход Г. Марковиа имел практическую значимость, необходимо выполнение, по крайней мере, одного из следующих двух условий, а) Доход-ность портфелей цепных бумаг распределена нормально. Нормальное распределение полностью определяется его математическим ожиданием и дисперсией и симметрично относительно математического ожидания. Поэтому на основе этих параметров удобно выбирать между разными портфелями: наиболее привлекательным является портфель с наибольшим математическим ожиданием (ожидаемой доходностью) и наименьшей дисперсией (риском). б) Функция полезности инвестора должна быть квадратичной вида:
E[u(r)]=r-ba2 , (4.46)
где £[СГ(>')] —ожидаемая полезность от инвестиции:
U(г) функция полезности инвестора;
г - ожидаемая доходность инвестиций;
а2 дисперсия доходности инвестиций;
b - константа.
Из формулы (4.46) следует: из двух портфелей с одинаковой ожидаемой доходностью инвестор выберет портфель с меньшей дисперсией: из двух портфелей с равной дисперсией — портфель с большей ожидаемой доходность.
Задача 4.101.
Какое количество исходных данных необходимо рассчитать, чтобы определить оптимальный портфель из 50 активов? Решение. Бели портфель состоит из п активов, то следует определить И ожидаемых
, п{п-\)
доходиостей и стандартных отклонении и —— - коварианнн. Поэтому оошее
количество исходных данных равно:
2я + -^-^~1у-* (4.47)
Согласно результату (4.47) для определения оптимального портфеля из 50
50(5(Ь_3)
активов необходимо рассчитать ~ '-э^э исходных данных.
Вопрос 4.102.
Сформулируйте теорему отделения (Separation theorem). Ответ.
Можно дать две формулировки Теоремы отделения.
а) Инвестиционное решение вкладчика, выбор и приобретение
рискованного портфеля на фан и не Марковна, - отделено или не зависит от
финансово о решения проблемы, т. с. финансирования выбранной стратегии с помошью кредитования или заимствования.
б) Выбор рискованною портфеля на границе Марковца не зависит от конкретного уровня риска, на который желает пойти инвестор.
Вопрос 4.103.
Дайте определение рыночного портфеля.
Ответ.
Рыночный портфель - это портфель, включающий все существующие финансовые инструменты, удельный вес которых в нем равен их удельному весу в совокупной капитализации финансового рынка.
Вопрос 4.104.
Инвесторы могут формировать заемные и кредитные портфели. Какую форму имеет эффективная ipainma Марковца в координатах ожидаемая доходноеib стандартное отклонение доходности при равенстве процентных ставок по займам и депозитам.
Ответ.
Эффективная граница представляет собой прямую линию, коюрая проходит через ставку без риска и рыночный портфель.
Вопрос 4.105.
Нарисуйте iрафик эффективной границы в координатах ожидаемая доходность стандартное отклонение доходное! и при различии процентных ставок по займам и депозитам.
Ответ.
Эффективная граница состоит из ipex участков и представлена кривой r;A/|'V/:F. г, - ставка по безрисковым депозитам. rh - ставка но займам. ВС
эффективная 1раница Марковца.
174
Глава 5. Модели оценки стоимости актимт
ГЛАВА 5. МОДЕЛИ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ АКТИВОВ 5.1. Модель оценки стоимости активов (САРМ)
Задача 5.1.
(лавка без риска равна 10%. ожидаемая доходность рыночного портфеля 20%, стандартное отклонение доходности рыночного портфеля - 15%. Определить ожидаемую доходность портфеля, стандартное отклонение доходности которого составляет 30%.
Решение.
Ожидаемая доходность портфеля определяется с помощью уравнения CMI.:
Е(гг)=г/+—НО"'/]. (5.1)
где доходности;
а - риск / - го портфеля, для которого определяется уровень ожидаемой
li\r,) - ожидаемая доходность / - то портфеля; <?т риск рыночного портфеля; Еу'т) ожидаемая доходность рыночного портфеля. Согласно уравнению (5.1) ожидаемая доходность портфеля равна:
Е(г: )= ) 0% + -^[20% -10%]= 30%.
' 15%1
Задача 5.2.
Ставка без риска равна 8%. ожидаемая доходность рыночною портфеля -
22%, стандартное отклонение доходности рыночного портфеля 14%.
Определить ожидаемую доходность портфеля, стандартное отклонение доходности которого соетавляс! 25% .
Решение.
EL) = 8% + — [22% - 8%1 - 33%.
W 14%L J
Вопрос 5.3.
Какой показатель служит для измерения рыночного риска?
Ответ.
Рыночный риск измеряется с помощью коэффициента бета.
Вопрос 5.4.
Что представляет собой коэффициент бета? Ответ.
Коэффициент бета представляет собой угловой коэффициент наклона линии регрессии доходности актива на доходноеib рыночного индекса.
175
Глава 5. Modem oifCHKU стоимости активов
Вопрос 5.5.
Что показывает коэффициент бета?
Ответ.
Коэффициент оста покалывает зависимость между доходностью актива и доходностью рынка (рыночного индекса). Он говорит о том, в какой степени доходность актива (и соответственно его иена) будет реагировать па действие рыночных СИЛ.
Задача 5.6.
Стандартное отклонение доходности рыночного индекса равно 25%, конариацня доходности рыночного индекса с доходностью акции компании А составляет 340. Определить коэффициент бета акции А относительно рыночного индекса.
Решение.
Бета ; - го актива определяется по формуле:
Pi - ——,
"i
<J
(52)
где ft - бега i - го актива:
<TV - дисперсия доходности рыночного индекса;
cov... ковариация доходности рыночного индекса с доходностью акции /' - и компании.
Согласно (5.2) бета акции компании А составляет:
A =f = 0.544.
Задача 5.7.
Доходность акции компании Л и рыночною портфеля за девять лет представлены в таблице:
Годы
1
5
8
Доходность А
-2
-1
8
Q
12
Доходность
рыночного
портфеля
-4
12
[4
15
Определить коэффициент бета акции относительного рыночного портфеля па основе смешенных оценок. Как можно интерпретировать полученный результат?
Решение.
Выборочная дисперсия доходности рыночного портфеля равна:
176
I :ш<ш 5. Модели оценки стоимости актинон
а:=-^ = 39.56.
и
Коэффициент выборочной ковариации доходноетей акции и портфеля равен:
covr. =-^ =27.93.
п
Согласно (5.2) коэффицннгт бета акции составляег:
В. = ^^ = 0.706. ' 39.56
Полученный petyjibiai говорит о том. что если в следующем году доходность рыночного портфеля вырастет на 1%, то инвестор вправе ожидать роста доходности акоин в среднем на 0,706%.
Задача 5.8.
Стандартное отклонение доходности рыночного индекса равно 25%, доходности акции компании А 20%. коэффициент корреляции между доходпостями рыночного индекса и акции А составляет 0.68. Определить коэффициент бета акции А относительно рыночного индекса.
Решение.
Бета / -10 актива определяется по формуле:
А =—-соГГт (5.3)
где <J - стандартное отклонение доходности /-го актива:
&я - дисперсия доходности рыночного индекса;
С0ггш — корреляция доходности рыночного индекса с доходностью акции / -и компании.
Бета акции компании А составляег:
Д=— 0,68 = 0,544.
,Л 25 '
Задача 5.9.
Портфель состоит и"» акций компаний А, В и С. Уд. веса активов в портфеле и беты акций относительно рыночного индекса равны: #,=0,5. 0И=()3,
0С = 0,2, fi, = 0,8. fi$ - 1,1 и рс = 1,3. Определит ь бету портфеля.
Решение.
Бс1 а портфеля определяется по формуле:
А = 2>А (5.4)
I-}
177
Глава 5. Модели оценки стоимости активов
Согласно (5.4) бета портфеля равна:
Рр =0.5-0.8 + 0,3-1.1^0,2-1.3 = 0.99.
Задача 5.10.
Ставка без риска равна 10%. ожидаемая доходность рыночною портфеля 20%, бета акции компании А относительно рыночного портфеля - 1,2. Определить ожидаемую доходность акции.
Решение.
Ожидаемая доходность акции определяется с помощью уравнения SML:
£(';) = <;+Д[£Ы-';], (5.5)
где Д - бета / - й акции, для которой определяется уровень ожидаемой доходности:
Е\г,) — ожидаемая доходность i - и акции:
ст риск рыночного портфеля: Е[гт) —ожидаемая доходность рыночною портфеля. Ожидаемая доходность акции равна:
£(/-,) = 10+ 1,2(20-10) = 22%.
Задача 5.11.
Ожидаемая доходность рыночного портфеля равна 20% , ставка без риска 8% годовых. Коэффициент бета акции компании А относительно рыночного портфеля составляет 1,3. На акцию был выплачен годовой дивиденд в размере 5 руб. 3 последние годы ежегодный темп прироста дивиденда равен 4%. Определить цену акции.
Решение.
На основе уравнения SML определяем ожидаемую доходность (ставку дисконтирования), соответствующую риску инвестирования в акции компании А:
Е(гЛ) = 8 + 1?3(20-8) = 23,6%.
Цена акции равна:
5(1 + 0,04)
Р. = —* —L = 26,53/жл
А 0,236-0.04
Задача 5.12.
Ожидаемая доходность рыночного портфеля равна 20% . ставка без риска 10% годовых. Коэффициент бета акции компании Л относительно рыночного портфеля составляет 1,2. компании В 1.4, компании С 0.8. Уд. веса акций в портфеле составляют: #,=0,5, #„=0,3, &с =0,2. Определить ожидаемую доходность портфеля.
178
Глава 5. Модели оценки стоимости актишт
Решение.
Согласно (5.4) бета портфеля равна:
Ожидаемая доходность портфеля составляет:
Е(гр) = Ю + 1.18= 21,8%.
Задача 5.13.
Ожидаемая доходность рыночного портфеля 20%, ставка без риска 10% годовых. Коэффициент бета акции компании А относительно рыночного портфеля составляет 1,2, компании В — 0,8- Цена акции А равна 15 руб.. В - 23 руб. Инвестор ожидав!, что через год цена акции Л составит 19 руб., акции В 26.5 руб. Дивиденды по акциям не выплачиваются. Определить, какая из акций по мнению инвестора переоценена, а какая недооценена.
Решение.
Согласно уравнению SMJL равновесные ожидаемые доходности акций равны:
Е(гА ) = 10 f 1,2(20-10) = 22%,
F.(rB)=t 10 + 0.8(20-%.
Действительные ожидаемые доходности акций на основе прогнозов инвестора стоимости акций через год составляют:
19
Г. = 1 = 26,67%.
1 15
">6 5 гв=——1-15.22%.
Действительная ожидаемая доходность акции А больше равновесной, поэтому акция недооценена. Действительная ожидаемая доходность акции В меньше равновесной, поэтому акция переоценена.
Задача 5.14.
Ожидаемая доходность рыночного портфеля 20%, ставка без риска 10% годовых. Коэффициент бега акции компании А относительно рыночного портфеля равен 1,3. Цена акции А 15 руб. Инвестор ожидает, что через год цепа акции составит 17.2 руб., и на акцию будет выплачен дивиденд в 1 руб. Определить, стоит ли инвестору купить акцию А.
Решение.
Согласно уравнению S. ML равновесная ожидаемая доходность акции равна:
Б(г,) = 1О + 1,3(2О-10) = 23%.
Действительная ожидаемая доходность акции на основе прогнозов инвесчора составляет:
179
Глава 5. Модели оценки стоимости актинов
' 15
Действительная ожидаемая доходность акции меньше равновесной, поэтому бумага переоценена. Следовательно, ее не стоит покупать, так как цена ее должна упасть.
Задача 5.15.
В таблице представлены доходности бумаг Л и В и рыночного индекса за пять лет:
А
В 8 И 7 4 -4
Индекс
Написать уравнение SML для бумаг А и В относительно рыночного индекса, если ставка без риска равна 10% годовых. Определить ожидаемые доходности бумаг в следующем году, если доходность индекса составит! 5%. В расчетах использовать выборочные. дисперсии и ковариации.
Решение.
Согласно (4.1) выборочная дисперсия доходности рыночного портфеля равна о*~=41,2. Согласно (4.9) коэффициенты выборочной ковариации доходностей акции А и В и рыночного портфеля соответственно равны eovAn=63 и covftw=32.6. Согласно (5.2) коэффициенты бета акций составляю! рЛ = 1.529 , рп - 0,791. Согласно (5.5) уравнения SML бумаг А и В имеют вид:
Я(г1)=10+1,529[£-(г„)-10],
£(г,) = Ю + 0.791[Я(г.)-10].
Ожидаемые доходности бумаг в следующем году для доходности индекса 15% составят:
А-(г4) = Ю + 1,529[15-10] = 17,645% , Я(гя) = 10+0,791[15-10] = 13,955°/о.
Задача 5.16.
В таблице представлены доходности бумаг Л и В и рыночного индекса за пять лет:
19
12
-1
-10
В
Индекс
15
11
7
4
1_
А
ISO
/ 'чана 5. Modem оценки стоимости актинов
Ставка без риска равна 8% головых. Определить на основе уравнений SML ожидаемые доходности бумаг А и В в следующем году, если доходность индекса составит 10%. В расчетах использовать выборочные дисперсии и к'онарнации.
Решение.
Уравнения SML акций А и В имеют вид:
Ј(rJ = 8 + 1.528[E(r„,)-8],
£(гя) = 8+в,371[£(г„)-8].
Ожидаемые доходности Gy\iai в следующем году для доходности индекса 10% составят:
Е{гА)=8+l,528[lO-8]=11,056% ,
Ј(r4) = 8 + 0.37l[H)-8] = 8J42%.
Задача 5.17.
Но опенкам инвестора равновесная ожидаемая доходность акции компании А равна 25%. действительная ожидаемая доходность акции - 30%. Определить альфу акции. О чем говорит альфа данной акции?
Решение.
Альфа акции определяется по формуле:
где £(>;) равновесная ожидаемая доходность / - и акции;
г, - действительная ожидаемая доходность / - и акции. Согласно (5.6) альфа акции А равна:
ал 00-25 = 5. Положительное значение альфы говорит о том, что акция А недооценена.
Задача 5.18.
По оценкам инвестора равновесная ожидаемая доходность акции компании А равна 25%. действительная ожидаемая доходность акции - 20%. Определить альфу акции. О чем говорит альфа данной акции?
Решение.
Согласно (5.6) альфа акции А равна:
аА== -5. Отрицательное значение адьфы говори! о гом, что акция<4 переоценена.
Задача 5.19.
Ожидаемая доходность рыночного пор]фсля 15%. ставка без риска 5%. Коэффициент бета акции компании А относительно рыночного портфеля равен
181
Глово 5. Модели оценки стоимости активов
1,1. Лльфа акции равна 0.4. Определить действительную ожидаемую доходность акции.
Решение.
Согласно SML равновесная ожидаемая доходность акции Л равна:
Ј(r,)-5 + U= 16%. На основании (5.6) действительная ожидаемая доходность акции составляет;
г)=Е(гл) + ал -16 + 0.4 = 16,4%.
Задача 5,20.
Уд. веса первой, второй и третьей акций в портфеле соответственно равны 20%, 35% и 45%. Альфа первой акции 0,3- второй минус 0,15, 1рстьсй 0,4. Определить альфу портфеля.
Решение.
Альфа портфеля определяется как средневзвешенная альфа бумаг, входящих в портфель:
ар =0.2-0.3-1 0,35-(-0Л5)+0,45-0,4 = 0,1875.
Задача 5.21.
Портфель Состоит ит трех акций. Альфа первой акции равна 2, второй 0.3, альфа портфеля равна 0,69. Уд. вес первой акции в портфеле 50%, второй 30%. Ставка без риска составляет 10%, ожидаемая доходность рыночного портфеля 20%, бета первой акции 1,5, второй 1.2, третьей 0,8. Определить действительную ожидаемую доходность третьей акции.
Решение.
Равновесная ожидаемая доходность третьей акнии равна:
Е{}\) = 10 + 0.8(20-10)= 18%.
Альфа третьей бумаги составляет:
0,69-0.5-2-0,3-0,3 .
а, = = -2.
0,2
Действительная ожидаемая доходность третьей акции равна:
п =18-2 = 16%.
Примечание.
Для решения задачи не требовалось знание значений беты первой и второй
акций. Они были приведены ;uw усложнения условий задачи.
is:
Пиша 5. Modem оценки стоимости активов
5.2. Рыночная модель
Задача 5.22.
В таблице представлены доходности бумаги А и рыночного индекса за пять лет:
А
Индекс
Написать ураннение рыночной модеди в представлении Трсйпора для бумаги А относительно рыночного индекса. В расчетах использовать выборочные дисперсии, стандартные отклонения, ковариации и корреляции.
Решение.
Рыночная модель в представлении Трейнора имеет вид:
Ч=Г» + £Л + **> (5.7)
где кт —доходность рыночного индекса;
Р. - коэффициент бета /-го актива.
Yi ожидаемая доходтюсть i - го актива при отсутствии влияния на него рыночных факторов, она является константой;
е. - случайная величина (ошибка), ее среднее значение равно нулю, дисперсия постоянна, ковариация с доходностью рыночного индекса равна нулю: ковариация с нерыночным компонентом доходности других активов равна нулю.
Бет / - и oy. viain определяется по формулам (5.2) или (5.3). Бета бумаги А равна Рл =0,7136.
Гамма i - и бумаги определяется по формуле:
У*=Ъ-$/т, (5-Ю
где t] средняя доходность / - го актива за предыдущие периоды времени;
/"„, средняя доходность рыночного индекса за предыдущие периоды времени.
Средняя доходность бумаги А и рыночного индекса за предыдущие
периоды времени составляют:
г л =
_ 13-20 + 14 + 7-5
= 11.8%
10 + 12 + 9 + 5-6 „
гт = = 6%.
Гамма бумаги согласно формуле (5.8) равна:
ГА = 1,7136 ■ 6 = 7.5184%. Уравнение рыночной модели бумаги А имеет вид:
г-=7,5184+0 J 13бг„+^.
183
Глава 5. Модели оценки стоимости активов
Задача 5.23.
В таблице представлены доходности бумаги А и рыночного индекса за пять лет:
А 12 IX
Индекс 9 II 7 4 -3
Написать уравнение рыночной модели для бумаги А относительно рыночного индекса. В расчетах использовать выборочные дисперсии, стандарт-ные отклонения и коварианни.
Решение.
Бега бумаги А согласно формуле (5.2) равна рЛ = 0,9295. Гамма / - й бумаги согласно формуле (5.8) составляет ул = 5,195. Уравнение рыночной модели бумаги А имеет вил:
гА =5,195+0,9295/; +sA.
Задача 5.24.
На основе условий задачи 5.23 определить ожидаемую доходность бумаги А в следующем периоде, если ожидаемая доходность рыночного индекса равна 15%.
Решение.
На основе рыночной модели ожидаемая доходность / - и бумаги определяется как:
Е{п)~Г,+АЕ(гт). (5.9)
Согласно (5.9) ожидаемая доходность бумаги А в следующем периоде равна:
£(/-,) = 5,195 +0,9295-15 = 19,14%.
Задача 5.25.
На основе рыночной модели разделить весь риск актива на рыночный и нерыночный. Решение. На основе модели:
л = г,+Ал, + *,
дисперсия доходности ; - го актива равна:
a; var/; var/. fi%rm ek Да<7* 2Д covt,„ а\ t
где var(-) - дисперсия.
Так как COY Я 0. то можно записать:
»f-AVi+^. (510)
где /Sfer* рыночный риск актива: сг2 нерыночный риск актива.
1S4
/ 'iaea Л Модели оценки стоимости активов
Задача 5.26.
Бега акции А равна 1,5. стандартное отклонение специфического риска акции - 5%. стандартное отклонение доходности рыночного портфеля - 10%. Определить весь риск актива, измеренный стандартным отклонением.
Решение.
Согласно (5.10) дисперсия доходности акции А равна;
сг; =1,5" 10- +52 =250. Стандартное отклонение доходности составляет: v250 = 15,81 %.
Задача 5.27
Дтя условий - задачи 5.15 определить коэффициенты детерминации акций А и В.
Решение.
Коэффициент детерминации i - й бумаги определяется но формуле:
*}=согг1, (5.11)
где соггч11 - коэффициент корреляции доходности /-и бумаги с доходностью
рыночного индекса.
Коэффициенты корреляции акций А и В соответственно равны:
соггАт = 0,983, соггВп1 - 0,993 . Коэффициенты детерминации акций составляют:
R* =0,966. /?! = 0,986.
Задача 5.28.
На основе данных задачи 5.16 определить коэффициенты детерминации бумаг А пВ. Ответ.
Коэффициенты детерминации бумаг равны: RA = 0.9959 , Яд = 0,7767 .
Задача 5.29.
Рынок находится в равновесии. Средняя доходность акции А равна 10% годовых, средняя доходность рыночного портфеля составляет 12% годовых. Стандартное отклонение доходности акции А 8%, рыночного портфеля 10%, коэффициент корреляции доходностей акции и рыночного портфеля 0.85. Определить величину ставки без риска.
Решение.
Определяем коэффициенты fin/ акции для уравнения рыночной модели:
о
р, -—0.85-0,68. /,=10-0,68-12 = 1.84. Ожидаемая доходное! ь актива на основе рыночной модели равна:
185
Глава 5. Модем/ оценки стоимости актинов
/Г(,;) = /, + Д£(г;).
на основе модели САРМ она еоставляет:
E(r) = rl+fl,.[E(rm)-rf].
Приравняв уравнение модели Шарпа и САРМ и преобразовав, получим:
г, =
Y, 184
- = 5,75%.
' I Д 1-0,85
Задача 5.30.
Стандартное отклонение рыночного портфеля равно 15%, стандартное отклонение широко диверсифицированного портфеля А - 12%, бета портфеля А 0,8. Определить, является ли портфель А эффективным?
Решение.
Весь риск портфеля аналогично формуле (5.10) можно разделить на рыночный и пе рыночный:
Если портфель эффективный, то не рыночный риск у пего отсутствует.
Поэтому можно записать: <т~ =Ррат. Отсюда: Р? =~'—•
■■I
12 Для портфеля А получаем: /7.=тт = 0\& Следовательно, портфель А
является - эффективным.
5.3. Арбитражная модель (APT)
Вопрос 5.31.
Перечислите общие положения для моделей САРМ и APT? Ответ.
1) инвесторы предпочитают большее количество богатства меньшему;
2) инвесторы не склонны к риску;
3) инвесторы имеют одинаковые ожидания относительно риска и доходности активов;
4) финансовый рынок является ■эффективным:
Вопрос 5.32.
Какие положения отличаю! модель APT от CAP>\f? Ответ.
APT не предполагает обязательно:
1) одного временного периода;
2) нормальное распределение доходности активов:
!SC>
Глина 5. Модели оценки cmoituocmu активов
3) определенный вид функции полезности;
4) наличие рыночного портфеля;
5) возможность занимать и предоставлять средства под ставку без риска.
Задача 5.33.
Ожидаемые доходности акций компаний А и В соответствуют равновесным и составляют 25% и 20%. Коэффициент чувствительности акции А к рыночному индексу равен 1,3, акции В - 0,8. Написать уравнение одно-факторной модели APT, если специфическим риском можно пренебречь.
Решение.
Однофак торная модель APT имеет вид:
/•(,-,) = А„+ЯД, (5.12)
где Еуг,) - ожидаемая доходность i - го актива;
Ац - доходность актива при отсутствии влияния на него рыночного фактора (доходность актива с бетой равной нулю);
Я, - премия за риск для рыночного индекса (фактора риска);
Д коэффициент чувствительности /-го актива к рыночному индексу
(фактору риска).
Па основе уравнения (5.12) запишем уравнения APT cooi негственпо для акций А и В:
25 = Л, + Щ,
20 = ^+0,8/1,.
Получили систему уравнений. Ее удобно решить в матричной форме. Б матричной форме систему можно записать как:
АЛ = В.
Ьс решение имеет вид;
1 = ААВ.
где А~ обратная матрица к матрице А. В нашем примере:
(гь
В =
А =
1.3
А
; ts = 1
V 0,8/ U°
'25' 20
Поэтому систему уравнений можно представить как;
я
(\ 1,3 > 1 0.8
V
Ню решение равно:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
