Арифметика финансового рынка (стр. 5 )

Решение.

Текущее значение индекса равно:

I = (25 + 30 + 60)/3 = 38,33

Как было определено в задаче 3.34, начальное значение индекса составляло 25 пунктов. Прирост значения индекса за год равен: 38,33/25 = 1,5333.

Индекс показывает, что в среднем за год стоимость акций выросла на 53.33%.

*Индекс, рассчитываемый как простое среднее арифметическое, могут назвать индексом, в котором активы взвешиваются по цене (price-weighted index).

** По представленной методике рассчитывается Промышленный индекс Доу-Джонса (Dow Jones Industrial Average - DJIA).

Задача 3.36.

Фондовый индекс состоит из акций трех компании: А, В и С. Индекс рассчитывается как простое среднее арифметическое. Цены акций рааны: А - 20 руб., В - 35 руб., С - 50 руб. На следующий день происходит дробление акции С в пропорции 1:2. Определить новое значение делителя индекса.

Решение.

Значение индекса перед дроблением акции С равно:

I = (20 + 35 + 50)/3 = 35

После дробления акция С стоит: 50:2 = 25 руб.

С учетом дробления акции С новый делитель равен: D = (20 + 35 + 25)/35 = 2,2857

Задача 3.37.

Фондовый индекс состоит из акций трех компаний: A, B и С. Индекс рассчитывается как простое среднее арифметическое. Цены акции равны: А - 20 руб., В - 35 руб., С - 30 руб. Делитель индекса составляет 2,2857. На следующий день изменяется состав индекса. Из него исключают акцию А и вместо нее включают акцию компании Е. Цена акции Е равна 40 руб. Определить новое значение делителя индекса.

Решение.

Значение индекса перед заменой акции А на акцию Е равно:

I = (20+35+30)/2,2857 = 37,1877

С учетом замены акции А на акцию Е новый делитель составит: D = (40+35+30)/ 37,1877 = 2,8235

Задача 3.38.

Фондовый индекс состоит из акций трех компаний: В, С и Е. Индекс рассчитывается как простое среднее арифметическое. Цены акций равны: В - 35 руб., С - 60 руб., Е - 40 руб. Делитель равен 2,2857. На следующий день в индекс включают акцию компании F. Ее цена равна 50 руб. Определить новое значение делителя индекса.

Решение.

Значение индекса перед добавлением в него акции F составляет:

I = (35+60+40)/2,2857 = 59,0629

С учетом включения в состав индекса акции F новый делитель равен:

D = (35+60+40+50)/59,0629 = 3,1323

Задача 3.39.

Фондовый индекс состоит из акций трex компаний: В, С и Е. Индекс рассчитывается как простое среднее арифметическое. Цены акций равны: В -35 руб., С - 60 руб., Е - 40 руб. Делитель равен 2,2857. На следующий день происходит выплата дивидендов по акции В акциями. Дивиденд равен 20%. Определить новое значение делителя индекса.

Решение.

Значение индекса перед выплатой дивидендов по акции В составляет:

I = (35+60+40)/ 2,2857 = 59,0629

Выплата дивиденда по акции В в размере 20% фактически означает дробление акции В в пропорции 5 к 6, так как в результате выплаты дивидендов на каждые пять акций будет получена еще одна акция. В результате цена акции В составит: 35 руб. * 5 акций / 6 акций = 29,17 руб.

С учетом выплаты дивиденда по акции В новый делитель равен:

D = (29,17+60+40)/ 59,0629 = 2,187

Задача 3.40.

Фондовый индекс состоит из акций трех компаний: А, В и С. Индекс рассчитывается как среднее арифметическое, взвешенное по капитализации компаний. На момент начала расчета индекса цена акции А была равна 15 руб., В - 20 руб., С - 40 руб. Количество выпущенных акций компании А составляло 100 штук, В - 200 штук и С - 350 штук. В момент времени Т цены акций составили: А - 25 руб., В - 30 руб., С - 50 руб. Определить значение индекса в момент времени Т. На основе значения индекса охарактеризовать рост стоимости акций за прошедший период.

Решение.

Среднеарифметический индекс, в котором уд. вес акции равен капитализации ее компании в общей стоимости индекса, определяется по формуле:

(3.14)

где - цена акции i-й компании в момент начала расчета индекса;

- количество выпущенных акций i - й компании в момент начала расчета индекса;

- цена акции i-й компании в момент времени t ;

- количество выпушенных акций i-й компании в момент времени t;

n - число компаний, входящих в индекс.

Значение индекса равно:

Индекс показывает, что в среднем за время Т стоимость акций выроста на 33,33%.

Задача 3.41.

Фондовый индекс состоит из акций тpex компаний: А, В и С. Индекс рассчитывается как среднее арифметическое, взвешенное по капитализации компаний. На момент начала расчета индекса цена акции А была равна 25 руб., В - 30 руб., С - 55 руб. Количесгво выпушенных акций компании А составляло 200 штук, В - 300 штук и С - 400 штук. В момет времени Т цены акций составили: А - 32 руб., В - 45 руб., С - 44 руб. Значение индекса в момент начала его расчета принято равным 10. Определить значение индекса в момет времени Т.

Решение.

Если в начальный момент времени значение индекса принимается равным 10, то формулу (3.14) надо умножить на это число:

(3.15)

Значение индекса равно:

Задача 3.42.

А - 32 руб., В - 45 руб., С - 44 руб., а количество выпущенных акций: А - 250 штук, В - 380 штук, С - 400 штук. Значение индекса в момент начала его расчета равно 10. Определить значение индекса в момент времени Т.

Решение.

Согласно формуле (3.15) значение индекса равно:

Задача 3.43.

Фондовый индекс состоит из акций трех компаний: А, В и С. Индекс рассчитывается на основе приростов доходности акций, которым придается одинаковый уд. вес (equally weighted index). На момент начала расчета индекса цена акции А была равна 25 руб., В - 30 руб., С - 55 руб. В момент времени Т цены акций составили: А - 32 руб., В - 45 руб., С - 44 руб. Определить значение индекса в момент времени Т.

Решение.

Прирост доходности акции А составил: 32/25 – 1 = 0,28 или 28%, В – 45/30 – 1 = 0,5 или 50%, С – 44/55 – 1 = - 0,2 или -20%.

Вес прироста доходности каждой акции в индексе одинаковый, т. e. равен 1/3. Значение индекса в момент Т равно:

ГЛАВА 4. ДОХОДНОСТЬ И РИСК ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ

4.1. Ожидаемая доходность актива и портфеля ценных бумаг

Задача 4.1.

Данные о доходности актива за прошедшие 10 лет представлены в таблице:

Годы

Доходность (%)

-5

-3

Определить ожидаемую доходность актива.

Решение.

На основе прошлых данных статистики ожидаемая доходность актива определяется как среднеарифметическая доходность ():

= (10+14+10+8-5-3+3+7+12+16)/10 = 7,2%

Задача 4.2.

Данные о доходности актива зa прошедшие 9 лет представлены в таблице:

Годы

Доходность (%)

-1

Определить ожидаемую доходность актива.

Ответ.

= 4,56%.

Задача 4.3.

Данные о доходности актива за прошедшие 9 месяцев представлены в таблице:

Месяцы

Доходность (%)

-2

-1

Определить ожидаемую доходность актива в расчете на месяц.

Ответ.

= 4,78%.

Задача 4.4.

Инвестор полагает, что в будущем году можно ожидать следующего вероятностного распределения доходности актива.

Доходность (%)

Вероятность (%)

-10

-5

Определить ожидаемую доходность актива.

Решение.

Ожидаемая доходность актива определяется как среднеарифметическая взвешенная доходность. Весами выступают вероятности каждого возможного исхода.

= (-10)*0,03+(-5)*0,07+0*0,12+ 5*0,15+10*0,17+15*0,20+20*0,16+25*0,07+30*0,03 = 10,65%.

Задача 4.5.

Доходность (%)

Вероятность (%)

-5

-2

Определить ожидаемую доходность актива.

Ответ.

= 12,1%.

Задача 4.6.

Докажите, что ожидаемая доходность портфеля равна средневзвешенной доходности входящих в него активов.

Решение.

Рассмотрим вопрос определения ожидаемой доходности портфеля на примере портфеля из двух акций. Обозначим текущий курс первой акции и ее ожидаемую доходность соответственно как S1, , второй акции – S2, . Первая акция входит в портфель в количестве n1 , вторая – n2 штук. Текущая стоимость портфеля P0 составляет:

где - уд. веса первой и второй бумаг в портфеле;

Если доходность акций равна их ожидаемой доходности, то стоимость портфеля в конце периода Р1 составит:

Тогда ожидаемая доходность портфеля будет равна:

Сократим числитель и знаменатель на величину P0:

Раскрыв скобки, получим искомый результат:

Задача 4.7.

Инвестор приобретает актив А на 400 тыс. руб. и актив В на 100 тыс руб. Ожидаемая доходность актива А равна 28%. В - 35%. Определить ожидаемую доходность сформированного портфеля.

Решение.

Уд. веса активов А и В в портфеле соответственно равны:

Задача 4.8.

Инвестор приобретает актив А на 400 тыс. руб., актив В на 100 тыс. руб., актив С на 300 руб. Ожидаемая доходность актива А равна 20%, В - 25%, С - 22%. Определить ожидаемую доходность сформированного портфеля.

Решение.

Уд. веса активов А, В и С в портфеле соответственно равны:

Задача 4.9.

Инвестор приобретает актив А на 250 тыс. руб., актив В нa 150 тыс. руб., актив С на 200 руб. Ожидаемая доходность актива А равна 15%, В - 18%, С - 22%. Определить ожидаемую доходность сформированного портфеля.

Ответ.

= 18,08%.

Задача 4.10.

Инвестор приобретает рискованный актив А на 400 тыс. руб. за счет собственных средств, занимает 100 тыс. руб. под 15% и также инвестирует их в актив А. Ожидаемая доходность актива А равна 28%. Определить ожидаемую доходность сформированного портфеля инвестора.

Решение.

При заимствовании денег и покупке на них дополнительного количества актива инвестор формирует портфель, состоящий фактически из двух активов. Первый представляет собой приобретаемый актив (он покупается как на собственные, так и заемные средства), второй - заимствованную сумму денег. При расчете ожидаемой доходности портфеля уд. веса активов в нем определяются относительно собственных средств инвестора.

Уд. вес актива А в портфеле равен: (400тыс.+10тыс.)/400тыс. = 1,25.

Удельный вес занятых средств в портфеле составляет: 100тыс./400тыс. = 0,25

Ожидаемая доходность портфеля равна: = 1,25*28+(-0,25)*15 = 31,25%.

Задача 4.11.

Инвестор приобретает рискованный актив А на 600 тыс. руб. за счет собственных средств, занимает 200 тыс. руб. под 12% и также инвестирует их в актив А. Ожидаемая доходность актива А равна 25%. Определить ожидаемую доходность сформированною портфеля инвестора.

Решение.

Уд. вес в актива А в портфеле равен: (600тыс.+200тыс.)/600тыс. = 1,33

Удельный вес занятых средств в портфеле составляет: 200тыс./600тыс. = 0,33

Ожидаемая доходность портфеля равна: = 1,33*25+(-0,33)*12 = 29,29%.

Задача 4.12.

Инвестор приобретает рискованный актив А на 400 тыс. руб. и актив В на 100 тыс. руб. за счет собственных средств. Занимает 200 тыс. руб. под 12% и покупает на них актив А. Ожидаемая доходность актива А равна 25%, актива В - 20%. Определить ожидаемую доходность сформированного портфеля.

Решение.

Уд. вес актива А в портфеле равен: (400тыс.+200тыс.)/(400тыс.+100тыс.) = 1,2

Уд. вес в актива В в портфеле равен: 100тыс./(400тыс.+100тыс.) = 0,2

Удельный вес занятых средств в портфеле составляет: 200тыс./500тыс. = 0,4

Ожидаемая доходность портфеля равна: = 1,2*25+0,2*20+(-0,4)*12 = 29,2%.

Задача 4.13.

Инвестор приобретает рискованный актив А на 300 тыс. руб. и актив В на 200 тыс. руб. за счет собственных средств. Занимает 200 тыс. руб. под 12% и покупает на 150 тыс. актив А и на 50 тыс. актив В. Ожидаемая доходность актива А равна 25%, актива В - 20%. Определить ожидаемую доходность сформированного портфеля.

Решение.

Уд. вес в актива А в портфеле равен: (300тыс.+150тыс.)/(300тыс.+200тыс.) = 0,9

Уд. вес в актива В в портфеле равен: (200тыс.+50тыс.)/(300тыс.+200тыс.) = 0,5

Удельный вес занятых средств в портфеле составляет: 200тыс./500тыс. = 0,4

Ожидаемая доходность портфеля равна: = 0,9*25+0,5*20+(-0,4)*12 = 27,7%.

Задача 4.14.

Прогноз инвестора относительно возможных сценариев доходности акций компаний А и В с учетом их вероятностей р в следующем периоде представлен в таблице:

rB = 10%

rB = 20%

rA = 10%

p1 = 20%

p3 = 30%

rA = 40%

p2 = 40%

p4 = 10%

Определить ожидаемую доходность портфеля, если уд. веса акций А и В в портфеле составляют соответственно 30% и 70%.

Решение.

Вероятность того, что доходность акции А составит 10% равна: 20+30 = 50%.

Вероятность того, что доходность акции А составит 40% равна: 40+10 = 50%.

Ожидаемая доходность акции А: = 0,5*10 + 0,5*40= 25%.

Вероятность того, что доходность акции В составит 10% равна: 20+40 = 60%.

Вероятность того, что доходность акции В составит 20% равна: 30+10 = 40%.

Ожидаемая доходность акции В: = 0,6*10 + 0,4*20 = 14%.

Ожидаемая доходность портфеля составляет: = 0,3*25+0,7*14 = 17,3%.

Задача 4.15.

Определить ожидаемую доходность портфеля, если уд. веса акций А и В в портфеле составляют соответственно 40% и 60%.

Решение.

Вероятность того, что доходность акции А составит -5% равна: 10-15 = 25%.

Вероятность того, что доходность акции А составит 50% равна: 50 + 25 = 75%.

Ожидаемая доходность акции А: 7А =0,25 .(-5)+0,75 -50 = 36,25%.

Вероятность того, что доходность акции В составит 25% равна: 10 + 50 = 60%.

Вероятность того, что доходность акции В составит 12% равна: 15 + 25 = 40%.

Ожидаемая доходность акции В: 7S =0,6-25 + 0,4%.

Ожидаемая доходность портфеля составляет: гр =0,4-36.25+0,6-19,8 =26,38%.

Задача 4.16.

Определить ожидаемую доходность портфеля, если уд. веса акций А и В в портфеле составляют соответственно 25% и 75%.

Решение.

Вероятность того, что доходность акции А составит -5% равна: 8+10+5 = 23%.

Вероятность того, что доходность акции А составит 8% равна: 5 + 204-40 = 65%.

Вероятность того, что доходность акции А составит 17% равна: 1 + 6 + 5 = 12%.

Ожидаемая доходность акции А: F(=0,23-(-5) + 0,65-8 + 0,12-17 = 6,09%.

Вероятность тем о, что доходное | ь акции В составит -2% равна: 8+5+1=14%.

Вероятность того, что доходность акции В составит 10% равна: 10 + 20 + 6 = 36%.

Вероятность того, что доходность акции В составит 25% равна: 5 + 40 + 5 = 50%.

Ожидаемая доходность акции б: гв 0,14(-2) + 0,Зб10 + 0,5-25 = 15,82%.

Ожидаемая доходность портфеля составляет: г =0,25-6,09 + 0,75-15,82 = 13,39%.

4.2. Риск актива

Задача 4.17.

Доходность актива за 8 лет представлена в таблице:

Годы

Доходность (%)

-10

-5

Определить риск актива, представленный показателями выборочной дисперсии и стандартного отклонения доходности.

Решение.

Выборочная дисперсия доходности актива определяется по формуле:

(4.1)

где г, доходность актина в ' м периоде;

F - средняя доходность актива; п - число периодов наблюдения.

Средняя доходность определяется по формуле:

Средняя доходность актива за 8 лет составила:

_ 10 + 14 + 18 + 16-10-5 + 6415 = 8%.

Выборочная дисперсия доходности актива равна:

(7 (10-8Г ч-( 14-8)2 +(I8-8)2 +(16-8)2 +(-10-8)7 ч-(-5-8)2 +{б-8)" +(15-8):/8=93,75.

Стандартное отклонение доходности определяется как корень квадратный из дисперсии:

(7 - V О' .

Выборочное стандартное отклонение доходности равно:

cr = V°3.75=9,68%.

Задача 4.18.

На основе данных задачи 4.17 определить, какую доходность инвестор может получить по активу через год с вероятностью а) 68,3%, 5) 95,4%, в) 99,7%? Распределение доходности актива предполагается нормальным.

Решение.

Как было определено в задаче 4.17, ожидаемая доходность актива равна 8%, стандартное отклонение 9,68%.

а) С вероятностью 68,3% можно ожидать, что доходность актива через год будет располагаться в интервале одного стандартного отклонения от ожидаемойдотолпости, т.е. KJ.9,68 или:

от 8-9,68=-1,68% до 8 + 9,68 = 17,68%.

б) С вероятностью 95,4% можно ожидать, что доходность актива через год будет располагаться в интервале двух стандартных отклонений от ожидаемой доходности, т.е. 8±2*9,68 или:

от 8-2-9,68 =-11,36% до 8 + 2-9.68 = 27,36%.

в) С вероятностью 99,7% можно ожидать, что доходность актива через год будет располагаться в интервале трех стандартных отклонений от ожидаемой доходности, т.е. 8+3-9,68 или:

от 8-3-9.68= 21.04% до 8+3-9,68 = 37,04%

Задача 4.19.

На основе данных задачи 4.17 определить исправленную дисперсию и стандартное отклонение доходности актива.

Решение.

Исправленная дисперсия доходности актива определяется по формуле:

(4.2)

Исправленная дисперсия доходности актива равна:

a:=(IU-8): I(14-S): ♦ (18-S)2 ^ (16-8)2 + (-10-8): + (»5-8)2 +(6-8)4(15-8)7(8-1)= 107.14.

Исправленное стандартное отклонение доходности составляет: а = ^/10744 =10.35.

Задача 4.20.

Доходность актива за 10 дней представлена в таблице:

Дни

Доходность (%)

0,1

0,5

1,2

-0,4

-0,2

-0,01

0,3

0,6

-0,05

1,3

Решение.

Средняя доходность актива в расчете на день равна:

0,334%.

Выборочная дисперсия доходности актива в расчете на один день согласно формуле (4.1) составляет:

= 0,2927

Стандартное отклонение доходности за один день равно:

= 70,2927=0,541%.

Задача 4.21.

На основе данных задачи 4.20 определить стандартное отклонение доходности актива в расчете на год, если в году 252 торговых дня.

Решение.

Стандартное отклонение за год на основе стандартного отклонения за один день равно:

<Ъл = <**» >/252 = 0,541%/252 = 8,588%.

Задача 4.22.

На основе данных задачи 4.20 определить стандартное отклонение доходности актива для 183 торговых дней.

Решение.

Стандартное отклонение для 183 торговых дней на основе стандартного отклонения за один день равно: «* = <Ъ»>/183 = 0,541л/ш = 7,319%.

Задача 4.23.

На основе данных задачи 4.20 определить, какую доходность инвестор может получить по активу через 30 дней с вероятностью а) 68,3%, б) 95,4%, в) 99,7%? Доходность актива распределена нормально.

Решение.

В задаче 4.20 было определено, что ожидаемая доходность актива в расчете на один день равна 0,334%, стандартное отклонение доходности 0,541%. Ожидаемая доходность и стандартное отклонение для периода в 30 дней соответственно составят:

7^=0,334-30 = 10,02%,

<т,0 = 0,541-730 =2,96%.

а) С вероятностью 68,3% можно ожидать, что доходность актива через 30 дней будет располагаться в интервале одного стандартного отклонения от ожидаемой доходности, т. е. 10,02±2,96 или: от 10.02-2,96 = 7,06% до 10.02 + 2,96 = 12,98%.

б) С вероятностью 95,4% можно ожидать, что доходность актива через 30 дней будет располагаться в интервале двух стандартных отклонений от ожидаемой доходности, т. е. 10,02±2-2,96 или: от 10,02-2-2% до 10,02 * 2-2,96 = 15,96%.

в) С вероятностью 99,7% можно ожидать, что доходность актива через 30 будет располагаться в интервале трех стандартных отклонений от ожидаемой доходности, т. е. 10,02 ±3-2,96 или:

от 10,02-3-2,96 = 1,14% до 10,02 + 3-2,96-18,9%.

Задача 4.24.

Доходность актива за 10 лет представлена в таблице:

Годы

Доходность (%)

-4

-2

Определить исправленное стандартное отклонение доходности актива в расчете на год.

Решение.

Исправленная дисперсия доходности актива согласно формуле (4.2) равна: а2 = 44. Исправленное стандартное отклонение доходности составляет: о - = 744 = 6,63%.

Задача 4.25.

На основе данных задачи 4.24 определить стандартное отклонение доходности актива для одного торгового дня, если в году 252 торговых дня.

Решение.

Стандартное отклонение для одного торгового дня на основе стандартного отклонения за один год равно: = 0,418

Задача 4.26.

На основе данных задачи 4.24 определить стандартное отклонение доходности актива для десяти торговых дней, если в году 252 торговых дня.

Решение.

Стандартное отклонение для десяти торговых дней на основе стандартного отклонения за один год равно: 1,32

Задача 4.27.

На основе данных задачи 4.24 определить стандартное отклонение доходности актива для тридцати торговых дней, если в году 252 тортовых дней.

Решение.

Стандартное отклонение для тридцати торговых дней на основе стандартного отклонения за один год равно: 2,29.

Задача 4.28.

Определите риск актива, измеренный дисперсией, на основе данных задачи 4.4.

Решение.

При использовании данных о вероятностном распределении доходности актива его риск, представленный дисперсией, рассчитывается по формуле:

где р, - вероятность того, что доходность актива составит величину ').

В задаче 4.4 было определено, что величина г 10,65%. Дисперсия доходности равна:

гг2 =(-10-10,6+(-5-10,65)2 ■ 0.07+(0-1 (Х65)- 0,12+

+ (5-Щ65)2-ОД5+(10-1аб5)2-0Д7+(15-1О,65)2-О,2О+

+(20-1аб5)2-0Д6+(25-1аб5)2-0,07+(30-1й65)2-0,03=91,8275

Задача 4.29.

Инвестор приобретает рискованный актив А. Ожидаемая доходность актива равна 25% годовых, стандартное отклонение доходности 15%. Доходность актива имеет нормальное распределение. Какова вероятность того. что через год доходность актива будет располагаться в интервале от 10% до 40%?

Решение.

Диапазон доходности актива от 10% до 40% соответствует отклонению в размере одного стандартного отклонения от средней доходности. Поэтому вероятность получить такой результат равна 68,3%.

Задача 4.30.

Для условий задачи 4.29 определить вероятность того, что через год доходность актива будет меньше 40%.

Решение.

Вероятность попадания доходности актива в заданный интервал одределяется по формуле:

(4.3)

где Ф('') - интегральная функция нормального закона распределения доходности (случайной величины);

В - верхняя граница рассматриваемого интервала;

<х — нижняя граница рассматриваемого интервалa;

а стандартное отклонение доходности актива.

Условие, что доходность актива окажется меньше 40% означает попадание ее в интервал от -<» до 40%. Согласно формуле (4.3) вероятность того, что доходность актива окажется меньше 40% равна:

По таблицам функции нормального распределения или с помощью программы Excel определяем: ф(1)= 0,841: ф(-хо)=0;

Отсюда:

Ы-<ю< г < 40) = 0,= 0,841 или 84,1%.

Задача 4.31.

Для условий задачи 4.29 определить вероятность того, что через год доходность актива будет располагаться в диапазоне от 25% до 40%.

Решение.

Согласно формуле (4.3) получаем:

По таблицам функции нормального распределения или с помощью программы Excel определяем: ф(\)= 0.841; ф(о)= 0.5.

Отсюда: /'(25 <г< 40) = 0,= 0,341 или 34,1%.

Задача 4.32.

Для условий задачи 4.29 определить вероятность того, что через год доходность актива будет располагаться в диапазоне от 30% до 60%.

Решение.

60-25Г30-25!-ФЛ(30<г<60) = Ф

По таблицам функции нормального распределения или с помощью программы Excel определяем: Ф(2.33)= 0,9901; Ф(0,33) = 0.6293 . Отсюда:

Р(30 < г < 60) = 0.9,6,3608 или 36,08%.

Задача 4.33.

Инвестор купил акцию компании А. Средняя доходность акции равна 18% годовых, стандартное отклонение доходности - 25%. Определить вероятность того, что в следующем году акция принесет ему убыток, если доходность имеет нормальное распределение.

Решение.

Инвестор получит убыток, если доходность акции окажется меньше нуля. Согласно формуле (4.3) вероятность того, что доходность акции будет меньше нуля равна:

По таблицам функции нормального распределения или с помощью нрофаммы Excel5 определяем: Ф{-0,721 = 0,2358: Ф( а.) =0. Отсюда:

/>(- х < г < 0) = 0,2= 0.2358 или 23.58%.

Задача 4.34.

Доходность актива имеет нормальное распределение. На основе наблюдений за 252 дня была определена ожидаемая доходность в расчете на день. Она составила 0,87%. Пусть известно, что истинное значение стандартного отклонения доходности актива в расчете на день равно 1,6%. В каком интервале с надежностью 0,9 располагается истинное значение ожидаемой доходности актива?

Решение.

Но данным статистики было определено не истинное значение ожидаемой доходности актива, а осуществлена ее точечная оценка на основе выборочных данных. Для получения ответа о надежности такой оценки определяют доверительный интервал, который с заданным уровнем вероятности накрывает точечную оценку. В результате, с заданным уровнем надежности можно быть уверенным, что действительное значение ожидаемой доходности актива лежит в границах рассчитанного интервала.

В примере необходимо определить доверительный интервал для нормально распределенной случайной величины при известном значении ее истинного стандартного отклонения с коэффициентом доверия 0,9.

Верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала для математического ожидания с известной дисперсией можно определить по следующим формулам:

г. - г - -«,.„.,. (4.4)

r,=r+-^=u^l2i (4.5)

где г,, rt соответственно нижняя и верхняя границы доверительною интервала;

F точечная оценка ожидаемой доходности нц основе осуществленной выборки;

<т - истинное значение стандартного отклонения доходности актива;

и объем выборки;

", 0 > - квантиль уровня \-af2 стандартного нормального распределения;

« уровень значимости, соответствующий выбранной доверительной вероятности у.

Из соотношения у \-<х находим значение <х, соответствующее коэффициенту доверия 0,9%: £, = 1-0,9=0,1.

По таблице квантилей нормального распределения' или с помошью программы Excel" находим значение квантили н,_„ - = »0i9J = 1.65 . Согласно формулами (4 S) получаем:

г =0,87—j=== 1,65 = 0.704% V252

г = 0,87 + -^==1.65 = 1,036% л/252

Таким образом, доверительный интервал для ожидаемой доходности с уровнем доверия 0,9 равен: 0.704%; 1,036%. т. е. данный интервал е вероятностью 90% накрывает истинное значение ожидаемой доходности актива.

Задача 4.35.

Доходность актива имеет нормальное распределение. Данные о его доходности за прошедшие 10 месяцев представлены в таблице:

Месяцы 9 10

Доходность

(%,5 0,,2 1.5

Определить ожидаемую доходность актива. В каком интервале с надежностью 0,9 располагается истинное значение ожидаемой доходности актива?

Решение.

Ожидаемая доходность актива равна:

= 0,95%.

В данном примере не известно истинное значение стандартного отклонения актива, поэтому при определении доверительного интервала используем правило математической статистики для математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии.

Верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала для математического ожидания с неизвестной дисперсией можно определить по следующим формулам:

III 2:в-1 ,

_ _ s К =г—}=', л/л

_ _ S

где s - исправленное стандартное отклонение;

'i *;;«i - квантиль уровня 1—а/2 распределения Стьюдента с п-\ степенями свободы.

Исправленное стандартное отклонение равно:

s = V)= 2%.

По таблице квантилей распределения Стьюдента или с помощью программы Excel' находим Л-ололо i ='<№.ч = КЯЗЗ. Согласно формулам (4.6) и (4.7);

2г =0,95-1,833= 0.209%

1,833-2,109%.

Доверительный иитсрват равен: -0,209%; 2,109%.

Задача 4.36.

Доходность актива имеет нормальное распределение. На основе наблюдений за 201 день была определена ожидаемая доходность в расчете на день. Она составила 0,95%. Исправленное стандартное отклонение доходности актива в расчете на день равно 2%, В каком интервале с надежностью 0,9 располагается истинное значение ожидаемой доходности актива?

Решение.

По таблице квантилей распределения Стыодсита иди с помощью программы lixcel11 находим /, ц/до i -'о.«.кю =1.653.

N/2012201

Согласно формулам (4.6) и (4.7):

2 F=0.95-F=0,95 +

1,653 = 0,717%

1,653 = 1,1X3%.

Доверительный иитерват равен: 0,717%; 1,183%.

Задача 4.37.

Доходность актива имеет нормальное распределение. На основе наблюдений за 101 день была определена ожидаемая доходность в расчете нa день. Она составила 0,15%. Исправленное стандартное отклонение доходности актива в расчете на день равно 1,3%. В каком интервале с надежностью 0,9 располагается истинное значение ожидаемой доходности актива?

Ответ.

Доверительный интервал равен: -0,065%; 0,365%.

Задача 4.38.

Доходность актива имеет нормальное распределение. На основе наблюдений за 31 день было рассчитано исправленное стандартное отклонение в расчете на день. Оно составило 1,5%. В каком интервале с надежностью 0,95 располагается истинное значение дисперсии актива?

Решение.

Верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала для дисперсии можно определить по следующим формулам ":

"2 ' - 2

Х\-ц. 2л-1 X

где и'. о," соответственно нижняя и верхняя границы доверительного интервала;

s - исправленная дисперсия доходности актива; п - объем выборки;

Ха - & - квантиль распределения хи-квалрат с п—\ степенями свободы. Из соотношения у = \-а находим значение а, соответствующее доверительной вероятности <15%:

« = 1-0,95 = 0,05.

Количество наблюдений случайной величины составило 31 день. Поэтому количество степеней свободы в примере равно 30. По таблице квантилей распределения " %2 или с помошью программы Excel Л находим квантили

ЛГглПм и Хшкт-х со степенями свободы 30: г.,-.., -4U9& &(02SAu=l$79. Гранины доверительного интервала для дисперсии актива равны:

, 1.52(31-1) , L52(31-l)

о* = —- '- = 1.44; а - = -^—5 = 4,02.

46.98 16,79

Доверительный интервал равен: 1,44; 4,02.

Задача 4.39.

Доходность актива имеет нормальное распределение. На основе наблюдений за 51 день было определено исправленное стандартное отклонение в расчете на день. Оно составило 1,8%. В каком интервале с надежностью 0,9 располагается истинное значение стандартного отклонения доходности актива?

Решение.

Из соотношения у = \~а находим значение (х. соответствующее доверительной вероятности 90%:

а - 1-0,9-0,1.

Количество наблюдений случайной величины составило 51 день. Поэтому количество степеней свободы в примере равно 50. По таблице квантилей распределения х~ Или с помощью ирофаммы F. xcel находим квантили х-., --1 и г;-.„-. со степенями свободы 50: 2аддо=67Д xUw = 34,76.

Гранины доверительного интервала для дисперсии актива равны:

, 1,8" (51 — 1) , 1,8" (51 —1)

al=-^—- ' = 2,4; а6 =^—± ^ = 4.66.

67,5 в 34,76

Границы доверительною интервала для стандартного отклонения ДОХОДНОСТИ

актива составляют:

аи - J2A = 155%, ап = V^66 = 2,16%. Доверительный интервал равен: 1,55%: 2,16%.

Задача 4.40.

Доходности активов имеют нормальное распределение. На основе данных о доходности активов X и Y за 61 день были рассчитаны исправленные стандартные отклонения доходности: Sx = 1,74%, Sy =1,56%. Проверить гипотезу о равенстве дисперсий активов при уровне значимости 0,05.

Решение.

При проверке гипотезы о равенстве дисперсий рассматривают две гипотезы: Нв и //,. Я„ - это основная (нулевая) гипотеза, //, - альтернативная (конкурирующая) гипотеза. Основная и альтернативная гипотезы имеют вид: Я0: «г; =07, И,: а; >а;.]'

Основная гипотеза говорит о том. что дисперсии доходности активов равны. Альтернативная гипотеза говорит о том, что они не равны. Ьсли в результате проверки гипотеза W,. отклоняется в пользу гипотезы Н17 ю это

означает, что диспсэсии активов отличаются. Если гипотеза П. не отклоняется. то нет оснований отрицать равенство дисперсий. В качестве критерия проверки гипотезы исиоль*\ют случайную величину, которая представляет собой отношение большей исправленной дисперсии к меньшей ':

// = 7-, (4.8)

где F - случайная величина, имеющая распределение Фишера со степенями свободы п-\ и k— 1:

п — объем выборки доходности актива X;

к - объем выборки доходности актива У.

Гели рассчитанное на основе (4.8) значение критерия F прина;|дежи1 критической области '. то нулевую гипотезу отклоняют. Если значение критерия F попадает в область принятия гипотезы, то нулевую гипотезу не отклоняют.

Если F < ft ож 1Л_,. где /,.<,„ 1-я i квантиль распределения Фишера, то параметр F попадает в область принятия гипотезы, и нулевая гипотеза

принимается при уровне значимости а.

licmi F > j]^^,^ параметр F попадает в критическую область.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Домашний очаг

Справочная информация

Техника

Общество

Образование и наука

Мир

Бизнес и финансы