a3(0f +0,2,1-0Д-ОД?5)+д(2-О,1-О,2-0>5-2-О,2:)+
+ (0,2" -0.1333')- О
или
0,016<г-0,046^ + 0,022231 = 0.
Решения уравнения составляю!:
ах =2.2603: а: -0.6147.
И:* двух ответов подходит второй, поскольку он лежит в диапазоне от нуля до единицы. Это означает, что 61,47% стоимости бескупонной облигации А
должно приходиться на шестимесячную стандартную бескупонную облигацию. а (100-61.47)-38.53% на годичную стандартную облигацию. Таким образом. первый поток платежа со стандартной вершиной в полгода равен:
96= 59,05 руб.,
второй с вершиной один год:
96,07-59.05 = 11,02руб.
Рассчитаем ставку доходности для облигации В, погашаемую через 1 год и 8 месяцев:
9%-7% %шсщен +1% = 8i33%. 12месяиев
Цена бескупонной облигации В равна:
,,0^ = 962,65„,.
1.0X33
Определяем стандартное отклонение процентного изменения цены облигации В.
0 32%-0 ">%
" ^месяцев + 0,2% = 0.28%. 12мееяиев
Ул. веса потоков платежей находим из равенства (8.32). Подставив в него цифры, получаем:
273
/ лава Ь. VaR
а1 (О.2:+0.0.82) + а(2-0.2-0.32-0.82-2-0.322) +
+ (0,32!-0,282) = 0.
или
0,03144а1 - О,09984^ + 0,024 = 0. Решения уравнения составляют:
«,=2,3995: «, =0,2671.
Из двух ответов выбираем второй. Это означает, что 26.71% стоимости бескупонной облигации В должно приходиться на годичную стандартную бескупошгую облигацию, а (100 26,71 J = 73.29% на двухлешюю стандартную облигацию. Таким образом, первый поток платежа со стандартной вершиной в год равен:
962,65-0,2671 = 257.12д1-'б..
второй с вершиной два года:
962,6,12 = 705,53/пт:.
Мы получили потоки платежей для трех стандартных вершин: шесть месяцев, один год и два года. Первой вершине соответствует поток платежа в 59,05 руб. На вторую вершину приходятся два потока платежа: 37.02 руб. по облигации А и 257.12 руб. по облигации В. Суммируем их и получаем 294.14 руб. На третью вершину приходится поток платежа в 705,53 руб. Таким образом, купонная облигация представлена в качестве портфеля из трех стандартных бсскуп01шых облигаций с ценами 59,05 руб., 294,14 руб., и 705.53 руб.
Задача 8.90.
Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 99% для бескупониой облигации из задачи 8.89. Коэффициент корреляции между однодневными процентными изменениями иен шестимесячной и двухлетней стандартной облигаций равен 0,83.
Решение.
В задаче 8.89 облигация была представлен;! в качестве трех потоков платежей со стандартными вершинами в шесть месяцев, один год и два года. VaR для первого потока платежа равен:
7ак\ = 2,33-0,001-59,05 -0Д4/>>ч5.
VaR для второго потока платежа равен:
VaR, = 2,33-0.002-294.14 = 131руб.
VaR для третьего потока платежа равен:
VaR, = 2,33-0,00,53 = 5,26/птл
Дисперсия бескупонной облигации, погашаемой «-ере* I год и 8 месяцев еоеганлмС!:
274
Глава 8, l-'cR
(0.14 1,37 5,26)
1 0,85 0,83] '0.14
0,85 1 0,82 1,37
0,83 0,5,26
I'aR облигации равен: VeR#b - >/42,93 = 6,55 руб.
= 42»93де&
275
Глина 9. Неопределенность и /п/ск
ГЛАВА 9. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ И РИСК
Вопрос 9.1.
Дайте определение инвестора ис склонного к риску.
Ответ.
Инвестор считается не склонным к риску, если из двух активов с одинаковой ожидаемой доходностью, но разным риском, он выберет менее рискованный актив, т. е. актив с меньшей дисперсией результатов.
Вопрос 9.2.
Дайте определение инвестора склонного к риску. OT'BCI.
Инвестор считается склонным к риску, если из двух активов с одинаковой ожидаемой доходностью, но разным риском, он выберет более рискованный актив, т. е. актив с большей дисперсией результатов.
Вопрос 9.3.
Лайте определение инвестора нейтрального к риску.
Ответ.
Инвестор считается нетральным к риску, если он не учитывает его при принятии инвестиционных решений. Это означает, что инвестор безразличен в выборе между двумя активами с одинаковой ожидаемой доходностью, но разным риском.
Вопрос 9.4.
Что показывает функция полезности инвестора? Ответ.
Функция полезности инвестора показывает зависимость между уровнем его богатства и получаемой полезностью от владения чтим богатством.
Вопрос 9.5.
От каких аргументов зависит функция ожидаемой полезности инвестора? Ответ.
Функция ожидаемой полезности зависит от ожидаемой доходности и риска актива.
Вопрос 9.6.
К какой категории относится инвестор, если, выбирая между покупкой актива и гарантированным получением суммы дене! равной по величине ожидаемому доходу этого актива, он выберет сумму дене! равную по величине ожидаемому доходу?
Вариант ответов:
а) склонный к риску:
б) не склонный к риску;
276
Глава 9. Неопределенность и риск
в) нейтральный к риску. Ответ.
Не склонный к риску.
Вопрос 9.7.
К какой категории относится инвестор, если, выбирая между покупкой актива и гарантированным получением суммы денег равной по величине ожидаемому доходу этого актива, он выберет покупку актива.
Варианты ответов:
а) склонный к риску:
б) не склонный к риску;
в) нейтральный к риску.
Ответ.
Склонный к риску.
Вопрос 9.8.
К какой категории относи1ся инвестор, если значение его функции полезности от гарантированно получаемой суммы дена равной ожидаемом^' доходу актива больше значения его функции ожидаемой полезности от покупки этого актива?
Варианты ответов:
а) склонный к риску:
б) не склонный к риску;
в) нейтральный к риску.
Ответ.
Не склонный к риску.
Вопрос 9.9.
К какой категории относится инвестор, если значение его функции полезности от гарантированно получаемой суммы денег равной ожидаемому доходу актива меньше значения его функции ожидаемой полезности от покупки этого актива?
Варианты ответов:
а) склонный к риску;
б) не склонный к риску;
в) нейтральный к риску.
О i вет.
Склонный к риску.
Вопрос 9.10.
К какой категории относится инвестор, если значение его функции полезности ол таран1ированно получаемой суммы денег равной ожидаемому доходу актива равно значекию ею функции ожидаемой полезности от покупки этого актива?
Варианты ответов:
277
Глава 9. Неопределенность и риск
а) склонный к риску;
б) не склонный к риску:
в) нейтральный к тжску.
Ответ.
Нейтральный к риску.
Вопрос 9.11.
Функция полезности не склонного к риску инвесюра является:
а) возрастаюшей:
б) убывающей.
Ответ.
R о зря ггтя ютпей.
Вопрос 9.12.
Функция предельной полезности не склонного к риску инвестора является:
а) возрастаюшей;
б) убывающей.
Ответ.
Убывающей.
Вопрос 9.1 3.
Функция полезности склонного к риску инвестора является:
а) возрастающей;
б) убывающей.
Ответ.
Возрастающей.
Вопрос 9.14.
Функция предельной полезности склонного к риску инвестора является:
а) возрастаюшей:
б) убывающей.
Ответ.
Возрастающей.
Вопрос 9.15.
Как называется сумма денег, при которой инвестор безразличен в выборе между ее гарантированным получением и покупкой данною рискованною актива?
Ответ.
Гарантированная эквивалентная сумма.
Задача 9.16.
Ожидаемый доход рискованного актива равен 100 руб. Гарантированная эквивалентная сумма для инвестора не склонного к риску по данному активу составляет 80 руб. Определить премию за риск Марк-овца инвестора.
278
Глава 9. Неопределенность и риск
Решение.
Премия за риск Марковла равна:
премия за риск Марковца = \F\S) с\ , (9.1)
где F\S) — ожидаемый доход рискованного актива S;
с —гарантированная эквивалентная сумма. Согласно (9.1) премия за риск Марковна равна:
100-80 = 20/7)0.
Задача 9.17.
Ожидаемый доход рискованного актива равен 100 руб. Гарантированная эквивалентная сумма для инвестора склонного к риску по данному активу составляет 110 руб. Определить премию за риск Марковца инвестора.
Решение.
Согласно (9.1) премия за риск Марковна равна:
100-110 =-10руб.
Вопрос 9.18.
О чем говорит коэффициент абсолютной не склонности к риску инвестора? Ответ.
Коэффициент говори! о процентном изменении предельной полезности инвестора при абсолютном изменении его богатства.
Вопрос 9.19.
О чем говорит коэффициент относительной не склонности к риску инвестора?
Ответ.
Коэффициент говорит о процентном изменении предельной полезности инвестора при процентном изменении сто богатства.
Вопрос 9.20.
Если функция полезности инвестора характеризуется убывающим коэффи-циентом абсолютной не склонности к риску, то по мере роста богатства инвестор:
а) больше средств направляет в рискованные активы;
б) меньше средств направляеч в рискованные активы;
в) держит прежнее количество средств в рискованных активах,
Выберите правильный ответ.
Ответ. а).
Вопрос 9.21.
Если функция полезности инвестора характеризуется возрастающим коэффициентом абсолютной не склонности к риску, то но мерс роста богатства инвестор:
279
Глава 'J. Неопределенность и рыск
а) больше средств направляет в рискованные активы;
б) меньше среден направляет в рискованные активы;
н) держит прежнее количество средств в рискованных активах.
Выберите правильный ответ.
Ответ.
б).
Вопрос 9.22.
Если функция полезности инвестора характеризуется постоянным коэффи-циентом абсолютной не склонности к риску, то по мерс роста богатства инвестор:
а) больше средств направляет в рискованные активы;
б) меньше средстз направляет в рискованные активы;
в) держит прежнее количссшо средств в рискованных активах.
Выберите правильный ответ.
Ответ. в).
Вопрос 9.23.
Если функция полезности инвестора хаэактсризустся убывающим коэффициентом относительной не склонности к риску, то по мере роста богатства инвестор:
а) увеличивает пропорцию средств в рискованных активах;
б) уменьшаем пропорцию средств в рискованных ак! инах,
в) процент средств, инвестированных в рискованные активы, остается
неизменным.
Выберите правильный ответ.
Ответ.
а).
Вопрос 9.24.
Если функция полезпости инвестора характеризуется возрастающим коэффициентом относительной не склонности к риску, то по мере роста богатства инвестор:
а) увеличивает пропорцию средств в рискованных активах;
б) уменьшает пропорцию средств в рискованнь х активах;
в) процент средств, инвестированных в рискованные активы, остается
неизменным.
Выберите правильный ответ.
Ответ.
б).
Вопрос 9.25.
Если функция полезности инвестора характеризуется постоянным коэффициентом относительной по склонности к риску, то по мерс роста богатства инвестор:
280
Глава 9. Неопределенность и риск
а) увеличивает пропорцию средств в рискованных активах:
б) уменьшает пропорцию средств в рискованных активах;
в) процент средств, инвестированных в рискованные актины, остается
неизменным.
Выберите правильный ответ. Ответ.
в).
Задача 9.26.
Нарисуйте карту кривых безразличия инвестора не СКЛОННОГО к риску в координатах ожидаемая доходность стандартное отклонение. Решение.
Н(г) 1
•
17-^ ••■'/'
.,.--■
а
Задача 9.27.
Напишите уравнение кривой безразличия. Ответ.
г =и
1
*/
а
где г - ожидаемая лоходнесть;
и точка, в которой график уравнения кривой безразличия пересекает ось ординат:
Rt коэффицнеш допустимости риска;
а~ - дисперсия доходности.
281
Глина 9. Неопределенность и риск
Задача 9.28.
Докажите, что аргументами функции ожидаемой полезности инвестора являются ожидаемая доходность и дисперсия доходности осуществляемых инвестиций.
Решение.
Разложим функцию полезности инвестора U{r) в ряд Тейлора до
ciaiacworo второй степени в окрестности точки равной ожидаемой доходности инвестиций:
Ј/(r) = t/(F)+f/'(F){r-r)+lt/-(r)(r-rf.
Возьмем от нее математическое ожидание:
E[u{r)]= Е
и\г)+иЬ-Ь-г)+±иМг-гУ
ИЛИ
ф(,-)]= U{f)+U {>■)£{>■ - r)+-U (г)Е(г - Г)2, (9.2)
где г фактическая доходность рискованных инвестиций; г - ожидаемая доходность инвестиций: U(г)- полезность от ожидаемой доходности инвестиций;
U (Г) — первая производная функции полезности по ожидаемой доходности;
U (г) — вторая производная функции полезности по ожидаемой доходное! и. В равенстве (9.2) выражение Е\г—7) равно нулю, так как это математическое ожидание отклонения доходности инвестиций от их средней доходности. Выражение Е(г - г ("представляет собой дисперсию доходности инвестиций [а2). поэтому уравнение (9.2) приводится к виду:
E[u(r)]=u(v)+U; (?у. (9.3)
Уравнение (9.3) показывает, что ожидаемая полезность инвестора является функцией ожидаемой доходности и риска инвестиций, измеренного дисперсией
их доходности.
282
Глава /ft Форвардные и фьючерсные контракты
ГЛАВА 10. ФОРВАРДНЫЕ И ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ
10.1. Форвардная цена актива,
по которому не выплачиваются доходы
в течение действия контракта
Задача 10.1.
Цена спот акции 10 руб.. ставка без риска 10%. Определить трехмесячную форвардную цепу акции. Решение. Форвардная иена акции, по которой не выплачиваются дивиденды, равна':
F = S
база
ПОЛ)
где /•" форвардная йена; S —енотовая цена акции; г ставка без риска: Т - время действия контракта; база — продолжительность финансового гола. Согласно (10.1) форвардная цена акции равна:
F = iO
+ 0,1 —
12,
= 10,25/лт>.
Задача 10.2.
Цепа спот акции 10 руб., ставка бел риска 10%. Определить шестимесячную форвард1гую цену акции. Решение. Согласно (10.1):
F = \t)\ 1 + 0.1—
\ 12
-Щ5/0&
Задача 10.3.
Цена енот акции 200 руб., ставка без риска 8%. Определить 50-дневную форвардную цену акции. Финансовый год равен 365 дням. Решение.
F = 20С
I + 0.08
50_ 365
= 202Д9де&
' По формуле (10.1) также определяется форвардная цена бескупонной краткосрочной облигации.
283
Глава 10. Форвардные и фьючерсные контракты
Задача 10.4.
Цена спот краткосрочной облигации 95%, ставка без риска - 10%. Определить форвардную цену облигация с поставкой через два месяиа. Решение. Согласно (10.1):
F = 95| 1 + 0,1— | = 96,58%.
Задача 10.5.
Бескупонная облигация погашается через 120 дней. 30-днсвиая форвардная ставка без риска чергэ 90 дней равна 10,94% годовых. Определить 90 дневную форвардную цепу бескупоиной облигации. Финансоный год равен 365 дням.
Решение.
Форвардная пена бескупоиной облигации помимо формулы (10.1) также находится дисконтированием номинала под форвардную ставку:
F = !°° , = 99,11%.
1 + 0,1094(30/365)
Задача 10.6.
Цена спот акщш 120 руб., ставка без риска 6%. Фактическая форвардная цена акции с поставкой через 35 дней равна 120,61 руб. Определить, возможен ли арби |раж, и какую прибыль может получить арбитражер.
Решение.
Теоретическая форвардная цена равна:
F = I20
1 + 0,06-3
365
= 120.69 руб.
Арбитраж возможен, гак как теоретическая форвардная цена не равна фактической. Прибыль равна разности между теоретической и фактической ценами:
120.69-120,61 - Отруб.
Задача 10.7.
Цепа спот акции 100 руб.. ставка без риска 5.8%. Фактическая форвардная цепа акции с поставкой через 51 день равна 100.74 руб. Определить, возможен ли арбитраж, и какую прибыль может получить арбитражер. Перечислить действия арбитражера. Финансовый год равен 365 дням.2
Решение.
Теоретическая форвардная цена равна:
2 В данной и в последующих задачах предполагается, что ставка по кредиту равна ставке по депозиту и равна ставке без риска, инвестор может занимать базисный актив срочного контракта у брокера без процентов.
284
Глава W. Форвардные и фьючерсные контракты
F = 100 1-r0.05X —
365
-100,8! дуб.
Арбичраж возможен, гак как фактическая и теоретическая цены не равны.
Действия арбитражера.
Покупает форвардный контракт по пенс 100,74 руб., так как он стоит дешевле, чем должен стоить. Купив контракт он обязуется купить акцию через 51 день, поэтому сейчас акцию надо продать по спотовой сделке. Для этого он занимает акцию у брокера и продаст ее на спотовом рынке за 100 руб.. и тшмешаст их на 51 - дневном безрисковом депозите под 5.8%.
Через 51 день он получает от инвестирования 100 руб. сумму н 100.81 руб.. уплачивает по котракту за акцию 100,74 руб. и возвращает ее брокеру. Прибыль равна:
100,81 -100.74 = 0.07 руб.
Задача 10.8.
Цена спог акции 50 руб., ставка без риска 6,5%. Фактическая форвардная цена акции с поставкой через 44 дня равна 50,44 руб. Определить, возможен ли арбитраж, и какую прибыли может получить арбитражер. Финансовый год равен 365 дням.
Решение.
Теоретическая форвардная цепа раина:
F - 50| I - 0.065^ ] = 5039руб.
Арбитраж возможен, так как теоретическая форвардная цена не равна фактической. Прибыль составляет:
50.= 0,05руб.
Задача 10.9.
Цепа спот акции 100 руб., ставка без риска 5,8%. Фактическая форвардная иена акции с поставкой чере - 51 день равна 100.89 руб. Определить, возможен ли арбитраж, и какую прибыль может получить арбитражер. Перечислить действия арбитражера. Финансовый год равен 365 дням.
Решение.
Теоретическая форвардная иена составляет:
( 51 1
F = 100 1 + 0,\руб.
{ 365)
Арбитраж возможен, так как фактическая и теоретическая иены не равны.
Действия арбитражера.
Продает форвардный контракт по иене 100,89 руб.. занимает 100 руб. под 5.8% на 51 день, покупает на них акцию и хранит се. Чере* 51 день поставляет по контракту акцию за 100.89 руб.. возвращает кредит в сумме:
2X5
Глава 10. ФорнарОные и фьючерсные контракты
00
51 1 + 0,058
365
-\00SI руб.
Прибыль равна:
100.89-100.81 - ОМруб.
Задача 10.10.
Цена cnoi акции 200 руб.. стайка без риска 10%. Фактическая форвардная иона акции с поставкой через 90 дней 204 руб. Какую прибыль может подучить арбитражер на момент заключения контракта. Перечислить действия арбитражера. Финансовый год равен 365 дням. Дивиденды по акции не выплачиваются
Решение.
Теоретическая форвардная цена составляет:
V = 200| 1 + 0,1 -^г | = 204ч93ру6.
Теоретическая и фактическая форвардные йены ис равны. Следовательно
арбитраж возможен.
Арбитражер покупает контракт. К моменту окончания контракта он должен
располагать суммой в 204 руб.. чтобы уплатить их по контракту.
Дисконтированная стоимость данной величины на момент заключения
контракта равна:
">04
= 199,09/>гб.
1-0.1(90/365
Арбитражер осуществляет короткую продажу акции за 200 руб. Из них 199.09 руб. разметает на депозите на 90 дней. Арбитражная прибыль равна:
200-199/nv}.
По завершении действия контракта он уплачивает 204 руб. по контракту. получает акцию и возвращает се кредитору.
Задача 10.11.
Цена спот акции 200 руб.. ставка без риска 10% годовых. Фактическая форвардная цена акции с поставкой через 180 дней 210 руб. Какую прибыль может получить арбитражер на момент заключения контракта. Перечислить действия арбитражера. Финансовый юд равен 365 дням.
Решение.
Теоретическая форвардная цена составляет:
\
180
/•- = 200
1 + 0,1 = 209.86 руб.
365
Теоретическая и фактическая форвардные цены i-e равны. Следовательно арбитраж возможен.
286
Глава 10. Форвардные и фьючерсные контракты
Арбитражер продаст контракт. По контракту он получит 210 руб. Дискон-тированная стоимость данное суммы на MOMCHI включения котракда раина:
^- г = 200,13/>гй.
1 + 3,1(180.365)
Поэтому арбитражер занимает на 180 дней 200,13 руб. Из них за 200 руб. покупает акцию. Арбтражнан прибыль составляет
200,= 0ДЗду£
По завершении действия контракта он поставляет акцию за 210 руб. н возврашает кредит.
Задача 10.12.
Процентная ставка 10% годовых. Теоретическая и фактическая трех-месячные форвардные цены не равны. Арбитражер определил, что к моменту окончания контракта через три месяца его прибыль составит 2 руб. Определить величину арбитражной прибили на момент заключения контракта.
Решение.
Арбитражная прибыль на момент заключения контракта равна дисконтированной стоимости арбитражной прибыли при его окончании, т. е.:
% г = 1,95;пчл
1 1 ОД(3/ГЛ
10.2. Цена форвардного контракта
Задача 10.13.
Форвардный контракт на акцию был заключен некоторое время назад. До его окончания остается 90 дней. Цепа поставки акции по контракту равна 86 руб. Цена спот акции 90 руб. Ставка без риска 10% годовых. Лицо с учлинной позицией перепродает кон~ракт на вторичном рынке. Определить цену контракта. Финансовый год равен 365 дням.
Решение.
Цепа контракта определяется по формуле:
\-г(Т - база)
где f цепа форвардного контракта;
5 - цена спот акции в момент его перепродажи; К цена поставки форвардного контракта; Т — время до истечения форвардного конфакта. Согласно (10.2) цена форвардного контракта равна:
287
Г. юва 10. Форвардные и фьючерсные контракты
/-90- 86
1+<Ц 90/365
Задача 10.14.
Форвардный контракт па акцию был заключен некоторое время назад. До его окончания остается 90 дней. Цена поставки акции по контракту равна 86 руб. Цена слот акции 90 руб. Ставка бе:* риска 10% годовых. Лицо с короткой позицией перепродает контракт на вторичном рынке. Определить пену контракта. Финансовый год равен 365 дням.
Решение.
Чтобы определить иену форвардного контракта для лица с короткой позицией, необходимо и левую и правую части фермулы (10.2) умножить на минус единицу. Цепа контракта равна:
К S6
- / = -5 + : с = -90 + г г = -6,07 pv6,
1 + г{Т!5аза) 1 + 0,1(90:365)
Отрицательная цена для участника контракта с короткой позицией означает; для того, чтобы освободиться от обязательств по форварду, ему необходимо уплатить 6,07 руб. новому лицу, которое займет его позицию в контракте,
Задача 10.15.
Форвардный контракт на акцию был заключен некоторое время назад. До его окончания остается 90 дней. Цена поставки акции по контракту равна I00 руб. Ставка без риска 10% годовых. Какой должна быть цена спот акции на момент- перепродажи контракта, чтобы его стоимость была равна нулю. Финансовый год равен 365 дням.
Решение.
Курс спот акции для случая, когда цена контракта будет нулевой, найдем
нз равенства./ = S— — г, приравняв/ к нулю. Отсюда:
* гуТоача)
S = * , = [^—, = 91,59 руб.
1 + НТ/база) 1 +0,1(90/365 *
Задача 10.16.
Форвардный контракт па акцию был заключен искоюрос время назад. До его окончания остается 40 дней. Цена поставки акции по контракту равна I05 руб. Оавка бет риска 5% годовых. Какой должна бьмь цена спот акции на момент перепродажи контракта, чтобы его стоимость для лица с длинной позицией была равна I руб. Финансовый гол равен 365 дням.
:ss
Глава JO. Фсрвардные и фьючерсные контракты
Решение.
S = f + :Д г - 1 + ^ г = 105,43 руб.
1 + г(Т;'Гш:ш) I + 0,05(40/365)
Задача 10.17.
Форвардный контракт на акцию был заключен некоторое время назад. До его окончания остается 40 дней. Цена поставки акции по контракту равна 105 руб. Ставка без риска 5% годовых. Какой должна быть иена слот акиии на момент перепродажи контракта, чтобы его стоимость для лица с длинной позицией была равна минус I руб. Финансовый год равен 365 дням.
Решение.
S = /+ Л г = - I + ^ = 103.43/ntf.
1 + г(Т;Г, аш) 1 + 0,05(40/365)
Задача 10.18.
Форвардный контракт на акцию был заключен некоторое время назад. До его окончания остается 50 дней. Цена поставки акции по контракту равна ПО руб. Ставка без риска 8% годовых. Какой должна быть цена спот акции на момент перепродажи контракта, чтобы его стоимость для лица с короткой позицией была равна минус 2 руб. Финансовый год равен 365 дням.
Решение.
Курс спот акции найдем из равенства - f = —S +
\ + г(Т:база)
5 = f + т^ г = -2 + ^ I = ШЛХруб.
I + г (77 база) I + 0.08(50/3 65)
Задача 10.19
Форвардный контракт на акцию быт зактпочеи некоторое время назад До его окончания остается три месяца. Цена поставки акции по контракту равна 100 руб. Трехмесячная форвардная цена акции составляет I05 руб. Ставка без риска 5% годовых. Лицо с длинной позицией перепродает контракт на вторичном рынке. Определить цену контракта.
Решение.
Формулу (10.2) можно привести к виду:
Г=\ + г\тИша)' ,103)
где F - форвардная йена акции в момент перепродажи контракта. Согласно (10.3) цена контракта равна:
289
Глава 10. ФорварОпые и фьючерсные контракты
1-0,05(3/12)
Задача 10.20.
Форвардный контракт на акцию был заключен некоторое время назад. До его окончания остается два месяца. Цепа поставки акции по контракту равна 100 руб. Двухмесячна5 форвардная цена акции составляет 104,5 руб. Ставка без риска 5% годовых. Лицо с короткой позицией перепродаст контракт па вторичном рынке. Определить цену контракта.
Решение.
Чтобы определить цену форвардного контракта для лица с кор01кой позицией. нсобходимс н левую и правую части формулы (10.3) умножить на минус единицу. Цена кон факта равна:
F-K 104,5-
\ + г(Т/6аза) I i 0,05(2; 12)
Задача 10.21.
Форвардный контакт на акщпо был заключен некоторое время назад. До его окончания остается I20 дней. Цена поставки акции по контракту равна 80 руб. Цена спот акции 90 руб. Оавка без риска 10% годовых. Лицо с длинной позицией перепродаст контракт на вторичном рьшк; по цсис 12 руо. Возможен ли арбитраж. Перечислить действия арбитражера и определить прибыль на момент окончания контракта. Финансовый год равен 365 дням.
Решение.
Согласно (10.2) теоретическая цена контракта составляет:
SO
/=90 Р = \2J5py6.
1+0,1(120.365)
Теоретическая и фактическая цены контракта не равны, поэтому арбитраж возможен.
Лрбитражср занимает акцию у брокера и продяет ее на енотовом рынке за 90 руб. За 12 руб. покупает форвардный контракт. Сумму денег:
/ntf. разметает на депозите и получает через 90 дней:
78
365 J
Из них уплачивает по контракту 80 руб. за акцию и возвращает се брокеру. Арбитражная прибыль равна:
80,56-80 = 0,56/гИ>.
290
/ 'лета 10. Форвардные и фьючерсные контракты
Задача 10.22.
Для условий задачи I0.21 определить, какую прибыль может получить арбитражер на момент заключения контракта. Перечислить действия арбитражера. Решение.
К моменту истечения контракта арбшражер должен располагать 80 руб. для покупки акции. Поэтому он разместит на 120-дневном депозите:
о л
= 17Л5р\-б.,
1+0,1(120.365)
которые и принесут ему 80 руб. Из подученных от короткой продажи акции 90 руб. он может сразу использовать прибыль в размере:
9()-12-77,45 = 0,55/?ш.
Задача 10.23.
Для условий задачи 102I перечислить действия арбитражера и определить прибыль на момент окончания контракта, если отсутствует возможность короткой продажи акции, но можно заключать форвардные контракты с истечением через 120 дней по равновесной форвардной иене.
Решение.
В настоящий момент форвардные контракты с истсчсгшсм через 120 дней заключаются по цепе:
/i+o.-l2°N
90 l + O. l = 92, %/л'б.
{ Ж)
Арбитражер занимает 12 руб., покупает старый контракт и продает новый форвардный контракт по цене 92,96 руб., истекающий одновременно со старым.
Через 90 дней по старому контракту он покупает акцию за 80 руб. и продаст ее по новому за 92.96 руб., выжрав на разнице цен:
92,96-80 = 12.96/туб.
По кредиту возвращает сумму:
120'
12 1 + 0.1
-MJ9 руб.
365.
Арбитражная прибыль равна:
12,96-12,39 = 0.57/?у6.
Задача 10.24.
Для условий задачи 10,23 перечислить действия арбитражера и определить прибыль на момент перепродажи контракта.
Решение.
Ьсли инвестор желает использовать прибыль в момент перепродажи контракта, то ему следует запять сумму:
291
J лава 10. Форвардные и фьючерсные контракты
12'96 -.2,55^.,
1 + 0,1(120/365)
т. е. - дисконтированную стоимость дохода, который будет получен через 120 дней. Из них за 12 руб. он покупает контракт. Арбитражная прибыль, как и
раньше, равна:
12,55-12 = 0,55^-5
Задача 10.25.
Форвардный KOHTpaici на акцию был заключен некоторое время назад. До его окончаш1Я остается 120 дней. Цена поставки акции по контракту равна 80 руб. Цена спот акции 90 руб. Ставка без риска 10"M годовых. Лицо с короткой позицией перепродает контракт на вторичном рынке по цене минус 13 руб. Возможен ли арбитраж. Перечислить действия арбитражера и определи ib прибыль на момент окенгчания контракт. Финансовый год равен 365 дням.
Решение.
Теоретическая иена контракта равна:
so
-/" = -90 + Р - - = -12,55руб.
1 + 0.1(120/365)
Фактическая пена контракта не равна теоретической, поэтому арбитраж возможен.
Арбитражер покупает кон факт с короткой позицией, т. е. ею прежний владелец уплачивает ему 13 руб. Арбитражер занимает:
90-13 = Г? руб.
и покупает акцию на спотовом рынке за 90 руб.
Через 90 дней он поставляет акцию по контракту за 80 руб., и отдает по кредиту:
120
771 1 + 0,1
= 79,53/по.
V 365
ПрИОЫ! lh ранни:
80-79,53=0,47 руб.
Задача 10.26.
Для условий задачи 10.25 перечислить действия арбитражера и определить прибыль на момент перепродажи контракта.
Решение.
Через 120 дней по контракту арбитражер получит за акцию 80 руб. Поэтому сегодня он занимает:
80
= 77.45р\'б.
1 + 0,1(120365)
292
Глака 10. Форвардные и фьючерсные контракты
ГГицп с к'пртк'пй ппчипием уплачивает ему 'til контракт 1 ^ pyfS Арпитряжйр покупает акцию. Сумма:
13 + 77,45-90 = 0,45 руб. составляет его прибыль.
Задача 10.27.
Для условий задачи 10.26 перечислить действия арбитражера и определить прибыль на момент окончания контракта, если для совершения арбитражной операции инвестор будет заключать новый форвардный контракт с истечением через 120 дней по равновесной форвардной цене.
Решение.
Арбизражер покупав! контракт с корочкой позицией, т. е. прсиашй владелец уплачивает ему 13 руб., и заключает новый винный форвардный контракт по цене 92,96 руб., истекающий одновременно со старым, чтобы к моменту истечения первого контракта (с короткой позицией) располагать акцией. Полученные 13 руб. от владельца короткой позиции по первому контракту он инвестирует на три месяца. В конце периода получает сумму:
1 + 0.1^ =13,43 руб.
13
365
По старому контракту арбитражер продает акцию за 80 руб.. по новому покупает ее за 92,96 руб. Прибыль равна:
13,43 +,96 = 0,47/»т5.
Задача 10.28.
Для условий задачиперечислить действия арбитражера и определить прибыль на момент перепродажи контракта.
Решение.
Арбитражер покупает контракт с короткой позицией. Это означает, он получает от владельца контракта 13 руб. Одновременно он заключает новый 120-дневпый форвардный контракт с ценой поставки 92,96 руб.. по которому занимав! длинную позицию. По истечении срока действия контрактов он продаст акцию по S0 руб. и купит по 92.96 руб. Разность между ценами составляет:
92.96-80 = 12.96 руб. Дисконтированная сто! гмость данной СУММЫ на начало операции равна:
12-% " =12,55Р1*. 1+0,1(120/365)
Из полученных за первый контракт 13 руб. арбитражер размещав! данную сумму на 120-дневном депозите. Прибыль равна:
13-12.55-0,45/лт}.
293
Глава W. Форнар<)ные и фьючерсные контракты
Задача 10.29.
Форвардный контракт на акцию был заключен некоторое время назад. До его окончания остается 120 дней. Цена поставки акгии по контракту равна 80 руб. Цена спот акции 70 руб. Ставка без риска 10% годовых. Лицо с короткой позицией перепродает контракт на вторичном рынке по иене 7 руб. Возможен ли арбшраж. Перечислить действия арбитражера и определить прибыль на момент окончания контракта. Финансовый гол равен 365 дням.
Решение.
Теоретическая цена контракта для лица с короткой позицией' равна:
Of)
-/- = -70 + =7г45руб-
1+0,1(120/365)
Teopei ическая и фактическая йена контракта не равны, поэтому арбитраж возможен.
Арбитражср занимает 77 руб. и покупает контракт и акцию. Через 120 дней он поставляет акцию по контракту и полу част 80 руб. По кредиту отдаст сумму:
77[ 1+0.1— -79,53руб.
К 365;
Прибыль равна:
80-79,53 = 0,47 руб.
Задача 10.30.
Для условий задачи 10.29 перечислить действия арбитражера и определить прибыль па момент перепродажи контракта.
Решение.
Арбитражср покупает контракт. В результате его исполнения он пролает акцию за 80 руб. Дисконтированная стоимость данной суммы сейчас равна:
£2 г=77,45руб.
1 + 0,1(120/365) ^
Поэтому сейчас арбитражср занимает данную сумму и покупает контракт и акцию за 77 руб. Разность:
77,45-77 = 0,45 дуб. составляет его прибыль.
Задача 10.31.
Для условий задачи 10.29 перечислить действия арбитражера и определить прибыль на момент окончания контракта, если для совершения арбитражной операции инвестор будет заключать новый форвардный контракт с истечением через 120 дней по равновесной форвардной цепе.
294
Глава JO - Фор'шроиые и фьючерсные контракты
Решение.
В настоящий момент форвардные контракты с истечение через 120 дней заключаю гея по иене:
= 72.3 руб.
120Л
70 I + 0J
I 365,
АрГжтражер занимае» 7 руб., покупает старый контракт, в котором он занимает короткую позицию, и покупает новый форвардный контракт по иене 72,3 руб., истекающий одновременно со старым.
4epe:i 120 дней по старому контракту он продает акцию за 80 руб. и покупает ее по новому за 72.3 руб., выиграв на разнице йен:
80 -72,3 = 7,1руб.
По кредиту возвращает сумму:
Арбитражная прибыль равна;
7,7-7,23 = 0,47руб.
10.3. Форвардная цена акции, по которой выплачиваются дивиденды
Задача 10.32.
Цена «ют акции 100 руб.. на акцию через три месяца выплачивается дивиденд в размере 2 руб. Определить трехмесячную форвардную цену акции. если контракт истекает срату после выплаты дивиденда. Ставка без риска равна 8% годовых.3
Решение.
Если дивиденд выплачивается по акции в последний день действия форвардного контракта, го форвардная цена акции определяется по формуле:
Г
- div
1 + г
t/a. ia
F=S
где Т период действия контракта; div дивиденд.
( Л 3
100i 1+0.08—
12
-2 = 100руб.
3 В задачах день выплаты дивидендов считаем днем закрытия реестра по ащиям.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
