25^
,20,
1,3
\ > /
\
Я,) ,1 0,8;
12 10
L87
I'.iaeet 5. Модели оценки стоимости активов
Однофакторнос уравнение Л/Т имеет вид:
Задача 5.34.
Ожидаемые доходное! и акций компаний Л и В соответствуют равновесным и составляют 24% и 18%. Коэффициент чувствительности акции А к рыночному индексу равен 1,2, акиии В 0,4. Написать уравнение одно-факгорной модели APT.
Решение.
На основе уравнения (5.12) чаиишем уравнения APT соответственно для акций Л и В:
24 = ^+1,24
18=^4 0,4/?,.
Запишем систему уравнений (5.13) в матричном виде:
(5.13)
Решая систему, получаем:
А
1 \,2\'(2А\_ (15 к\ 0,4J [l8, "1,7.5,
Однофакторное уравнение APT имеет вид:
£(г,) = 15 + 7,5Д.
Задача 5.35.
Сохраняются условия задачи 5.34. Имеется также акция компании С. Не ожи-даемая доходность равна 21%, коэффициент чувствительности к индексу состав-ляет 0.8. Определить, можно ли получить арбитражную прибыль за счет форми-рования арбитражного портфеля, если не рыночным риском можно пренебречь.
Решение.
В задаче 5.34 однофакторнос уравнение APT имеет вид:
/Г(Г>15 + 7,5Д.
На его основе равновесная ожидаемая доходность акции С составляет:
/i(rr)=15 + 7,5-0,8 = 21%.
Арбитраж не возможен, так как доходности всех бумаг имени равновесные оценки.
Задача 5.36.
Сохраняются условия задачи 5.34. Имеется также акция компании С Ее ожидаемая доходность равна 22%, коэффициент чувствительности к индексу
188
Глава 5. Модели оценки стойкости активов
составляет 0,8. Определить, можно ли получить арбитражную прибыль за счет формирования арбитражного портфеля. Если прибыль возможна, то перечислить действия арбитражера.
Решение.
В задаче 5.34 одпофакторное уравнение APT имеет вид:
£•(,;) = 15+7.5Д.
На его основе равновесная ожидаемая доходность акции С составляет:
E(rc)=\5 i■ 7,5-0.8 = 21%.
Арбитраж возможен, гак как действительная ожидаемая доходность бумаги С не равна равновесной. Арбтражеру следуе! осуществить короткую продажу портфеля из акций А и В и купить более доходную (недооцененную) акцию С.
Задача 5.37.
Сохраняются условия задачи 5.36. Инвестор имеет возможность осуществить короткую продажу пор1фсля. состоящего из акций компаний А и В на 10 тыс. руб. и купить на них акции компании С. Определить величину арбитражной прибыли. Акции можно занимать без процентов.
Решение.
Найдем уд. веса акций А и В в продаваемом портфеле. Риск данного портфеля должен соответствовать риску акции С. Отсюда получим первое уравнение:
».А+ЧА=А. (5-14)
где 0'4, 08 — уд. веса акций А а В п продаваемом портфеле;
РА*РВ*РС ~ коэффициенты чувствительности акций к индексу.
С) мма уд. весов акций Л и В в портфеле должна равняться единице:
^+0e=l. (5.15)
Выразим О из равенства (5.15) и подставим в (5.14):
Из (5.16) получаем:
Согласно (5.17) уд. вес акций компании А в продаваемом портфеле равен:
^=MzM=0,5.
4 1,2-0.4 Уд. вес акций компании В составляет:
#А. = 1-0.5 = 0,5.
Инвестор занимает и продает акции А на 5 тыс. руб. и акции В на 5 тыс руб. и покупает акции Сна 10 тыс. руб.
189
Глина 5. Модели оценки стоилннти активов
В конце инвестиционного периода по акции С инвестор получает сумму:
10000 р\ '(5,22)= 12200pm За акции А и В он уплачивает:
5000/^0.(1+0,24)+5000pv6.(i 4 0,18)= \2\00руб.
и возврашает их кредитору.
Арбитражная прибыль равна:
12руб.
Задача 5.38.
На рынке торгуются акции широко диверсифицированных инвестиционных фондов А, В и С. Ожидаемые доходности акций фондов А и В соответствую!* равновесным и составляю! 14% и 17%. Коэффициент чувствительности акции А к рыночному индексу равен 1.1, акции В 1.4, акции С 1.35. Действительная ожидаемая доходность акции фонда С равна 16%. Инвестор может занимать акции фондов для короткой продажи на сумму 100 тыс. руб. Определить, можно ли получить арбитражную прибыль на основе модели APT и величину прибыли, перечислить действия арбитражера. Акции можно занимать бе* процентов.
Решение.
На основе уравнения (5.12) запишем уравнения APT соответственно для акций фондов А и В;
14 = Л, I 1.Ц 17 = /^ +1,4л,.
Запишем систему уравнений (5.18) в матричном виде:
14N 17
1 МУЛЛ
1 1-4, ,Л/
(5.18)
Решая систему, получаем:
A) ,i MJ LIT/
Однофакюриос уравнение модели APT имеет вид:
Я(/;.) = 3 + 10Д. (5.19)
11а основе (5.19) равновесная ожидаемая доходность акции фонда С равна:
Я(г,) = 3-И01,35 = 16.5%.
Арбитраж возможен, так как действительная ожидаемая доходность бумаги С не равна равновесной. Арбшражеру следует осуществить короткую продажу акции С. поскольку она переоценена и купить портфель из акций А и В.
Построим из акций фондов А и В портфель Р. бета которого равна бете акции фонда С.
190
Глава 5. Модели оисики стоимости активов
Сумма уд. весов акций А п В н портфеле Р должна равняться единице:
вл+ве=1. (5.21)
Вырашм ВЛ из равенства (5.21) и подставим в (5.20):
елРА+{\-вл)Рн=Рс. (5.22)
Из (5.22) получаем:
' А-А' (5'23)
Согласно (5.23) уд. вес акций фонда А в портфеле /' равен:
1.35-1.4 ■_ 1.1-1.4 Уд. вес акций фонда В в портфеле составляет:
6^ = 1-0,167=0,833. Ожидаемая доходность лортфе;1я Р равна:
£(Г„) = 0,167.14% + 0,833'17 = 16.5%,
т. е. равновесной ожидаемо»! доходности акции фонда С
Инвестор занимает и осуществляет короткую продажу акций фонда С на 100 i ыс. руб. и покупает на них акции фо! шов А и В соответственно на суммы:
I ООтыс. ■ 0,167 = 16.1тыс. руб.,
1 ООтыс. • 0.833 = S3. Ътые. руб.
Ожидаемый доход по портфелю Р составит:
16,7-1.14 + 83.3-1,17=116, бтыс. руб.
Акации фонда С согласно их действительной ожидаемой доходности будут выкуплены за:
1 ООтыс. -1.16=11 бтые. руб,
Арбитражная прибыль равна:
I [6,5тыс. 1 \6тыс= 500руб.
Задача 5.39.
И и вес юр планирует купить актив А. Он полагает, что через год по активу будет выплачена сумма 1000 руб. Определить цену акгива Л. если его бета относительно рыночного индекса равна 1.5. и однофакторная модель Л/Т имеет вид:
£(0 = 3 +ЮД.
Решение.
Ожидаемая доходность актива равна:
[91
Актин должен стоить;
Ј,(rj) = 3 + l0-1,5 = 18%. 1000 руб.
= 847.46 руб.
1 + 0,18
Задача 5.40.
Равновесные ожидаемые доходности акннй компаний А, В и С соответственно составляют 18.6% и 22,8% и 19.5%. Беты акций ошоситсльно рыночных индексов /, и /, равны: Д„ = 0,7, рг = 1.1. Д., =1.1, Д5, = 1,3.
Д, =1.15. Д, =0,9.
Написать уравнение двухфакторной модели APT.
Решение.
Лвухфакторная модель APT имеет вид:
Я(г,) = Л+АД, + Я. Д2 , (5-24)
где £■(/•) ожидаемая доходность г-го актива;
Я» —доходность актива при отсутствии влияния на нею рыночного фактора (доходность актива с бетой равной нулю);
\9 Дч - премии ia риск для индексов /, и /:;
//.,. Д, - коэффициенты чувствительности *-го актива к индексам /, и /г
Па основе уравнения (5.24) запишем уравнения Л/Т соответственно для акций Л, В и С:
18,6 = л\,+0,74+1,1^,
22,8 = л1И + 1Лл,+1.3Л:.
19,5=^+1,15^+0,9^.
1 0,7 UlfV
Получили систему из трех уравнений. Запишем ее в матричном виде:
1 1.1 1,3 1 LIS 0.9
18,61
4 А,
22.8 19,5
Решая систему, получаем:
'1 0,7 1,1
V '18.6> %*}
22.8 — 6
' 119,5, <9 ,
{К
л.
V
1 1,1 ,15 0.9
Двухфакюриос уравнение APT имеет вид:
%.) = 4,5 + 6Д1+9Д2.
192
Глава 5. Модели оценки стоимости активов
Задача 5.41.
Равновесные ожидаемые доходности акций компаний А, В и С соответственно составляют 13,2% и 16,95% и 20,45%. Ьсты акций относительно рыночных индексов /, и /, равны: /?„ ■ 0,6, 0Л1 =0,9, Д, =0,95. fiH1 =1,15,
Д.,-1,25. Дг2=1,4. Ожидаемая доходность акции компании D составляет 23%. беты акции относительно рыночных индексов /, и /, равны: /31к -1,3 и Рп: L45. Определить ожидаемую доходность акции D на основе двухфакторной модели APT.
Решение
Па основе уравнения (5.24) запишем уравнения APT соответственно ;1ля акций А, В и С:
13,2-4+0,64+0,94,
16,95 = 4+0,954+1,154.
20,45 = 4 + 1-254+1-44-Получили систему из ipex уравнений. Запишем ее в матричном виде:
(V ' 13,2 Л
А = 16,95
Л j,20,45,
<\ 0.6 0,,15 ,1 1,25 1,4,
4 4
1
Решая систему, получаем:
1 0,6 0.9Л 1 0,95 1,15 .
1 1.25 1,4 I
' 13,2 " \Ъ\
16,95 = 5 .
,20,45, А
/ -
£ /
Двухфакторное уравнение APT имеет вид:
£{г,)=3+5Д,+8Д2,
Равновесная ожидаемая доходность актива D равна:
£•(/-„) = 3 + 5-1,3 + 8-1,45 = 21,1%.
Задача 5.42.1
Равновесные ожидаемые доходности акций инвестиционных фондов А* В и
С соответственно составляют 21,8%, 26,46% и 27,4%. Беты акций относительно рыночных индексов /, и 1, равны: fiM =0.8, fiA2 -1.12. PHi =1,18, fiB2 = 1-32,
Д, =1,2. Д., = 1,4.
' Задана Олимпиады по рынку ценных бумаг и производных финансовых инструментов. Олимпиада прошла в МГИМО(У) МИД РФ на кафедре Фондового рынка 18.05.06. Организаторы Олимпиады: кафедра Фондового оынка МГИМО. Фондовая биржа РТС и Научно-техническое общество им. акад. . Информационную поддержку олимпиады осуществлял журнал Валютный спекулянт.
193
5. Модели оценки стоимости активов
Действительная ожидаемая доходность акции инвестиционного фонда D составляет 25%, осты акции относительно рыночных индексов 1{ и Л равны; fiD1 = 1,1 и рт = 1,35. Определить, можно ли получить арбитражную прибыль на основе модели APT и максимальную величину прибыли, перечислить действия арбитражера. Для корочкой продажи арбитражер может занимать акции каждого фонда на 100 1ые. руб. Портфели инвестиционных фондов широко диверсифицированы, поэтому предполагается, что не рыночный риск отсутствует. Акции можно занимать бе'* процентов.
Решение.
Па основе уравнения (5.24) запишем уравнения APT соответственно для акций А. В и С:
21.8 = ^+0,8^+1,12^,
26,46 = V*-1J4+1.32A,, 27,4 = 4+1,24 И.4,1,. Получили систему из трех уравнений. Запишем ее в матричном виде:
(г л ( 21,8 ")
Я, = 26,46
Л; ,27.4 ;
1 0,8 1.Ш
I 1.18 1,32 1 U 1,4
Решая систему, получаем:
\ I 21,8 s '51
26.46 = 7
/ ,27.4 , J0,
Г А ^
Л,
л,
1 0.8 1,12
1 1.18 1,32
1 1,2 1,4 Двухфакторное уравнение APT имеет вид:
%) = 5 + 7Д,+ШД2.
Согласно уравнению APT равновесная ожидаемая доходность актива D равна:
Е{*ъ) = 5 + 7-1,1 + 10-1.35 = 26,2%.
Поскольку действительная ожидаемая доходность актива D составляет 25%, то арбитраж возможен.
Составим из акций А, В и С портфель Р. беты которою относительно индексов /, и /-. равны бетам актива D. Уд. веса активов в портфеле найдем из следующей системы уравнений:
вА+9в+0с=\
6,80,+ 1,180,+ 1,20с =1,1 1,12*9, + 1,320Л+1,40Г = 1.35. Запишем полученную систему уравнений в матричном виде:
194
Глава 5. Модели оценки стоимости активов
■or ' i Л
о« = i, i
А, ,1.35,
1 1 О
0.8 1,18 1-2
\\Л2 1,32 1.4
Решая систему, получаем:
1 , ( 0.265 s
г*/
6»в
-0.303 1,038
( \ 11
1.1
Л35
0,8 1,18 1,2
Л/
1,12 1,32 1,4
Инвестор занимает и осушествляег короткую пролажу акций фонда В на 100 тыс. руб. и акций фонда I) на 100 тыс. руб. Из полученных 200 тыс, руб, инвестор «окупает акции фондов А и С. Пропорция акций А в данной сумме равна:
-0.203.
0,265
акций С:
0,265 + 1,
= 0,797.
1,303 Инвестор покупает акции А па сумму
200000 -0,203 = 40600/пИ, акции С на сумму:
200000 • 0,797 = 159400/ntf.
Через 1*ол доход по портфелю Р должен составить:
218 + 1 • К 2646 = 126066.4 дуб.
По выкупу акции D инвестор несет расходы в сумме:
100= 125000 руб. Арбитражный доход составляет:
4 -125000 = 1066,4руб.
ГЛАВА 6. СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ
6.1. Механические стратегии
Задача 6.1.
Инвестор сформировал портфель из 70 акиий и 30 облигаций. Стоимость олной акции и облигации равна Ю руб. Стоимостная пропорция акций и облигаций в портфеле составляет 70/30. Инвестор планирует восстанавливать данное соотношение всякий раз при его нарушении вследствие изменения курсовой стоимости бумаг. На следующий лень курс акции вырос до II руб. и инвестор пересматривает портфель, чтобы восстановить стоимостную пропорцию 70/30 между бумагами. Определить новое количество акции, которое должно входить в портфель.
Решение.
Стоимость портфеля после роста курса акций составила:
Юакцчй -11 руб. + ЪОобзтгаций ■ I0руб. = 1010руб.
Акции должны от данной суммы составить 70%. поэтому новое количество акций равно:
1010руб. 07 =идв 6g акш)й \\ руб.
Инвестору необходимо продать две акции и па вырученные деньги купить
облигации.
Задача 6.2.
Инвестор сформировал портфель из 6000 акний и 400 облигаций. Стоимость одной акции 10 руб., облигации - 100 руб. Стоимостная пропорция акций и облигаций в портфеле составляет 60/40. Инвестор планирует восстанавливать данное соотношение всякий раг при его нарушении вследствие изменения курсовой стоимости бумаг. На следующий день цена облигации упала до 99 руб. Инвестор восстанавливает первоначальную ценовую пропорцию между акциями и облигациями в портфеле. Определизь повое количество акций и облигаций, которое должно входить в портфель.
Решение.
Стоимость портфеля после падения цены облигаций составила:
ЬОООакщш -10 руб. + АШоблигаций ■ 99руб. = 99600 руб.
Лкиии должны от данной суммы составить 60%. поэтому новое количество акций составит:
99600/пЙ.
—— 0,6 = 591Ьакцт1.
10руб.
Новое количество облигаций в портфеле должно составить:
196
Глава 6. Стратегии управления портфелем
LL—:.()_4 = 402.42 или 402 облигации.
99руб.
Инвестор продаст 24 акции и на вырученные деньги покупает две облигации.
Задача 6.3.
Инвестор сформировал портфель из 6000 акций и 400 облигаций. Стоимость одной акиии 10 руб.. облигации - 100 руб. Стоимостная пропорция акций и облигаций в портфеле составляет 60/40. Инвестор планирует восстанавливать данное соотношение всякий раз при его нарушении вследствие изменения курсовой стоимости бумаг. На следующий дет» иена облигации упала до 99 руб.. а акции выросла до 11 руб. Инвестор восстанавливает первоначальную ценовую пропорцию между акциями и облигациями в норгфелс. Определить новое количество акций и облигаций, которое должно входи i ь в портфель.
Решение.
Стоимость портфеля после падения цены облигации и роста курса акций составила:
ЫЮОакшш • 1 \руб.+ 4№об;шгаций -99 рубруб. Новое количество акций н портфеле составит:
105600руб.
— 0,6 = 51о0актт.
Пруб. Повое количество облипший в портфеле составит:
—--0.4 = 426,67 или 427 облигаций.
99руб.
Инвестор продает 240 акции и покупает 27 облигаций. Если для покупки облигаций инвестор строго ограничен средствами, которые он получил от продажи акций, то он сможет купить 26 облигаций.
Задача 6.4.
Инвестор сформировал портфель из 6000 акций и 400 облигаций. Стоимость одной акции 10 руб.. облигации 100 руб. Стоимостная пропорция акций и облигации в портфеле составляет 60*40. Инвестор планирует восстанавливать данное соотношение всякий раз при его нарушении вследствие изменения курсовой стоимости бумаг. На следующий день цепа облигации выросла до 101 руб., а акции до 11 руб. Инвестор восстанавливает первоначальную ценовую пропорцию между акциями и облигациями в портфеле. Определить повое количество акций и облигаций, которое должно входить в портфель.
Решение.
Стоимость портфеля после роста цен облигаций и акций составила:
ЫЮОакций • I 1 руб. + МЮоб. тгшшй -101 рубруб. Новое количество акций в портфеле составит:
юетруб, б. 5803i64 т 5Ш акции
Новое количество облигаций в портфеле составит:
106400/^, 42 и;т421 облигаиия
101руб. Инвестор продает 1% акций и покупает 21 облигацию.
Задача 6.5.
Формируется портфель из акций компаний А, В и облигаций с постоянными пропорциями. Уд. вес акции А должен составлять 20% стоимости портфеля, акции В 50%, облигаций 30%. Стоимость портфеля составляет 1000000 руб. Стоимость одной акции компании А равна 250 руб.. акции компании В 200 руб., облигации - 100 руб. Поэтому приобретается 800 акций компании А, 2500 акций компании В и 3000 облигаций. Допустим, в момент пересмотра портфеля курс акции компании А составил 270 руб., компании В -230 руб.. облигации 101 руб. Определить новое количество акций и облигаций, которое должно входить в портфель.
Решение.
Повое количество акций А в портфеле должно составить: 210руб. • Ш)акщш + 230 руб. • 2Ъ00акщт + 101 руб. • 3000облигации_ - _
270руб.
или 810 штук, т. е. покупается дополнительно 10 акций.
Повое количество акций В в портфеле должно составить:
270ру&-800ак«мм * 230руб.-25О0акций+Шруб. ЗОООабя№аций
- ■ '- *0\Э — 23 /&,2о
230руб.
или 2378 штуки, i. e. продается 122 акции.
Новое количество облигаций в портфеле должно составить:
270 руб. ■ ХООакций + 230 руб. - 2$00акций + 101руб. • ШЮоблигаций.
~Х0\ руб.
или 3250 штук, г. с, покупается 250 облигаций.
6.2. Дюрация и кривизна портфеля облигаций
Задача 6.6.
Доказать, что при горизонтальной структуре кривой доходности дюрация портфеля облигаций является средневзвешенной дюрацией входящих в него облигаций. Доказательство привести для портфеля и* двух облигаций.
Решение.
Ценз и дюраций первой облигации равны Рх и D, второй - Р. и О.
Инвестор формирует портфель, купив первую облигацию в количестве и,.
вторую п.. штук. Цена портфеля равна:
Pp=r,,Pt + fhP2. Возьмем производную " по г ;
(6.1)
Умножим правую и левую части равенства (6.1) на
-(!+#■)
(l+r)dP„ -{\ + r)cU> -(!+'-) cIP,
drdrPp dr
(6.2)
Умножим и разделим первое слагаемое правой части равенства (6.2) на Р{, второе - на Р3:
(6.3)
Левая часть равенства (6.3) представляет собой дюранию портфеля. Выражения в скобках в правой части равенства - но соответственно дюраций первой и второй облигаций. Поэтому можно записать:
(6.4)
пР пЯ
ОI ношения
И
это уд. веса облигаций в стоимости портфеля,
Р Р
Р г
обозначим их через 0t и &:. Равенство (6.4) принимает вид:
ор = 0,д-ы92а. (6.5)
Равенство (6.5) говорит о том. что дюриия портфеля является средневзвешенной люрацией входящих в него облигаций.
Задача 6.7.
Портфель состоит из трех облигаций. Цена первой 915.75 руб., второй 1000 руб., третьей 1194.25 руб. Первая облигация погашается через 5 лет. вторая 10 лет, третья 15 лет. Инвестор покупает 6 штук первой облигации, 5 второй и 4 третьей. Дюраиия первой облигации равна 4,61. второй 7,8, третьей 9,75 года. Кривая доходности имеет юризонтальную структуру. Определить дюрацию портфе.11я.
Решение.
Стоимость портфеля ранна:
915,75-6 + 1000-5+ 1194,25-4 = 15271,5руб.
Удельные веса облигаций в портфеле равны:
915.75*6
0, = ■ = 0.36 или 36%,
15271.5
^,2М^ = 0.ЗЗилиЗЗ%,5
11Q4 2^-4
15271,5
Дюрация портфеля составляет;
0,36-4,61 + 0,33-7,8 + 0.31-9,75 = 1.26года.
Задача 6.8.
Доказать, что при горизонтальной структуре кривой доходности процентных ставок кривизна портфеля облигаций является средневзвешенной кривизной входящих в нею облигаций. Доказательство привести для портфеля из двух облигаций.
Решение.
Цены облигаций, входящих в портфель, равны Р{ и Р. Инвестор
формирует портфель, купив первую облигацию в количестве ч,. вторую - п? штук. Цена портфеля равна:
Рг = ntf + п2Р:-
Возьмем производную Рр по г:
A dPy dP
—- = и,—1+«J—f-. (6.6)
dr dr dr
Вторая производная Pp no г равна:
d2P. d2P d2P7
dr~ dr dr
Разделим правую и левую часть (6.7) на Р. ч а также умножим и разделим первое слагаемое в правой части (6.7*) на Р,, а второе на Р::
I d2Pp „р 1 d'P nJPL 1 d2P,
(6.8)
Рр dr Рр Ру dr Рр Р2 dr
1 dl' п. Р,
В равенстве (6.8) выражения ~77~ГГ являются показателями кривизны, —
уд. веса облигаций в портфеле. Поэтому (6.8) можно записать как:
conv Qsconvx Q2conv-,,
т. е. кривизна портфеля облигаций является средневзвешенной кривизной входящих в него облигаций.
Задача 6.9.
Инвестор формирует портфель из облигаций двух видов. Номиналы облигаций равны 1000 руб.. купоны выплачиваются один раз в год. Первая облигация погашается через четыре года, имеет купон 10и/о, дюрания Маколея облигации 3,49 года. Вторая облигация, погашается через восемь лет, имеет купой 12%. Не цена равна 1106,7 руб., дюрация Маколея 5.69 года. Процентная Ставка па рынке одинакова для всех периодов времени и составляет 10% годовых. Инвестор формирует портфель на сумму порядка1 620921.32 руб. и хотел бы застраховаться от измспсиня его стоимости через пять дет в случае будущего изменения конъюнктуры процентных ставок. Он использует технику иммунизации портфеля с помощью показателя дюрации, В каком количестве инвестор должен включить в портфель первую и вторую облигации.
Решение.
Чтобы застраховался от изменения процентных ставок в течение следующих пяти лет, инвестору следует построить портфель таким образом, чтобы ею дюраиия была равна пяти годам. Поэтому суммы, на которые следует купить нерву 10 и вторую облигации, можно определить из системы уравнений:
3,4,690к = 5лет
где 0А - уд. вес облигации в портфеле, до погашения которой остается четыре года: 0S уд. вес облигации в портфеле, до пен ашсиия которой остается восемь пет. Решая систему, получим: <94 = 0.3136; #н = 0,6864. Четырехлетнюю облигацию следует купить на сумму:
620921.32-0,3136 = 93 руб. Ее пена составляет 1000 руб. Поэтому необходимо купить:
194720.93 1П._- |ft_ ,
194.72 или 19.1 облигаций.
1000
Восьмилетнюю облигацию покупаем на сумму;
• 0.6864 = 39/^6.
в количестве;
1 Мы используем здесь оборот порядка, так как покупка целого количества облигаций может потребовать
как несколько большей, так и меньшей суммы.
426200.39 .__.. м_ _
-385,1 I или 5Ь5 оолигации.
1106,7
Задача 6.10.
Портфель инвестора состоит из пяти одинаковых облигаций, которые погашаются через восемь лет. Номинал облигаций 1000 руб.. купон 12%, выплачивается один раз в год, цена 1106.7 руб. Инвестор опасается роста процентной ставки в гечение следующих нескольких дней и crpaxyei портфель с помощью корочкой продажи четырехлетних облигаций. Их номинал равен 1000 руб.. купон 10%, выплачивается раз в год, цена 1000 руб. Кривая доходности параллельна оси абсцисс. Дюрация Маколся четырехлетней облигации равна 3,49 года, восьмилетней 5.69 гола. Определить, какое количество четырехлетних облигаций следуе! продать инвестору, если он полагает, что при изменении процентных ставок кривая доходности будет смешаться параллельно.
Решение.
В случае параллельности сдвигов кривых доходносгей при изменении процентных ставок количество облигаций, которые следует продать в расчете на одну хеджируемую облигацию, определяется по формуле:
DP
где I) дюрация Маколея хеджируемой облигации; Dn - дюрация Маколся хеджирующее облигации.
В соответствии с формулой (6.9) на каждую восьмилетнюю облигацию следует продать:
5,69-1106.7 t п г
— =1,о четырех. летних оо. чигаиии.
3,49-1000
Для страхования портфеля надо продать:
5-1.8 = 9 четырехлетних облигации.
Задача 6.11.
В портфель входят сто облигаций номиналом 1000 руб.. купоны выплачиваются один раз в год. Ло погашения облигаций 8 лет, купон 12%. доходность до погашения 11%, пена 1051,46 руб., модифицированная дюрация 5.07, крнвична 39.05. Инвестор полагает, что в ближайшее время возможно изменение процентных ставок на рынке, и хеджирует портфель с помощью короткой продажи двух видов облигаций номиналом 1000 руб. До погашения первой бумага 4 года, купон 10%, доходность до погашения 10%, цена 1000 руб.. модифицированная дюрация 3.17. кривизна 13.72. Вторая облигация погашается через 10 лет. купон 14%, доходность до погашения 12%, иена 1113.0 руб., модифицированная дюрация 5,49, кривизна 44.26. Инвестор считает, что кривая
lew
доходности булст смещаться параллельно. Необходимо определить количество хеджирующих облигаций в хеджирующем портфеле.
Решение.
Если мри изменении процентных ставок кривые доходности смещаются параллельно, ш количество облигаций, которые инвестору следует продать, можпо найти и* следующей системы уравнений:
(6.10)
КОпА^о„2Р2=-оя<^Рй
hfonv^ + IJ2CO/JV2P2 = - eonvQriQpQ '
где P<f - иена хеджируемой облигации;
Pi цепа первой хеджирующей облигации;
Р, - цена вюрой хеджирующей облигации;
/?, - количество первой облигации в хеджирующем портфеле:
h2 количество второй облигации в хеджирующем портфеле;
А*-модифицированная дюрация хеджируемой облигации:
О,... модифицированная дюрация первой хеджирующей облигации:
Dmi — модифицированная дюрация второй хеджирующей облигации;
conv, t - кривизна хеджируемой облигации:
сот\ - кривизна первой хеджирующей облигации;
сот-. - кривизна второй хеджирующей облигации;
л„ количество хеджируемых облигаций.
Подставим данные задачи в систему уравнений (6.10):
[ 3,17-ЮООЛ, +5.49-1113/г_, =-5,.46 ]U 72-1000//, +44.2/?, =-39,.46
или
3170/>, + 6110.37/7, = -22 13/2UA,+49261,38/*, =,3
Запишем и решим систему уравнений (6.11) в матричной форме:
Ah=B Ее решение и Meet вид;
И--А :В.
-22 .3
где л ' обратная матрица к матрице А. В пашем примере:
А =
В =
ь-
'3,37 N 13,38
(6.11)
16.12)
Поэтому уравнение {6.11) можно представить как:
Л\/
3,37 13,
f-533090
Ьго решение равно:
30 49261,38
- I /
-22' .3
Мб, 2031
-78.8375
Для формирования хеджирующее портфеля следует продать первую и вторую облигации в количествах соответственно 16,2031 и 78.8375 штук. т. е. 16 первых облигаций и 79 вторых облигаций.
Задача 6.12.
В портфель входяi сто облигаций номиналом I000 руб., купоны выплачиваются один раз в год. До погашения облигаций 8 лет, купон 12%. доходность до погашения 11%. цепа 1051,46 руб.. модифицированная дюрации 5,07, кривизна 39,05. Инвестор хеджирует портфель с помощью трех видов облигаций номиналом 1000 руб. До погашения первой бумага 4 года, купон 10%, доходность до погашения 10%, цена 10(10 руб., модифицированная люрация 3,17, кривизна 13,72. До тмашеиця второй бумаги 5 дет. купон 10%, доходность до погашения 10.2%. цена 992.46 руб., модифицированная дюраиин 3.78, кривизна 19.28. Третья облигация погашается через 10 лет. купон 14%. доходность до погашения 12%. цепа 1113.0 руб., модифицированная дюраиия 5,49, кривизна 44.26. Предполагается, что кривая доходности будет смешаться параллельно. Определить количество хеджирующих облигаций, если стоимость хеджирующею портфеля должна остаться равной стоимости портфеля инвестора.
Решение.
Для того, чтобы стоимость хеджирующего портфеля была равна стоимости хеджируемого портфеля инвестора, необходимо использовать три вида хеджи-рующих облигаций и решить следующую систему уравнений:
(6.13)
KDJ\ • h, D^P: + h, Dm, Px = - А,,Л"о hxconvxPx + h2eotJv? P1 + h$com\P - =—conv0P0nlJ
где ft - цена третьей облигации;
ДиЗ модифицированная дюраиия третьей облигации;
co)iv} - кривизна третьей облигации;
/?} — количество третьей облигации в хеджирующем портфеле:
Р-, — стоимость пор1феля.
Подставим данные задачи в систему (6.13):
\()(Щ +992,46/г, +11 Щ =-105146
3,17-100(ft, +3,78-992,46/,, +5.ft, =-5, 13,72-100(Й,+19,28-992,46//2+44,261113^5 =-39,
ИЛИ
1000/?, +992.46Л. +1113Л3 =-105146
3170Л, + 3751,5/7, +611037Л, =-22 13720Л, +19134,63//, +49261,38А? =,3
Решим систему уравнений (6.14) в матричной форме:
1,46 1113 YV ( -105146
3,5 6110.37 А, = -22 13,63 49261.38^/7-, ,3
(6.14)
или hi
'13,37 1361,38
\-' 105,22 - Л 3
f-29,038 = 13.674 [-80,574
Следует продать первую и третью облигации в количестве соответственно 29 и 8i штуки и купить 14 штук второй облигации.
6.3. Копирование индекса. Скольжение по кривой доходности
Задача 6.13.
Фондовый индекс включает пятнадцать акций. Стандартное OIKJIOHCIIHC доходности индекса в расчете на м^сяц равно 6,35%. Инвестор копирует индекс с. помошью трех акций. Акции имеют следующие характеристики: стандартное Oi клопение доходности первой в расчете на месяц равно 4.62%. второй - 6.93%, фетьей 7.79%. Ковариация доходностей первой и второй бумаг составляет 16. первой и ipcibcii 26.99. второй и третьей - 45.89. Ковариация доходностей индекса с первой акцией составляет 17.6. со второй - 35.2, с третьей 42.05.
Определить уд. веса акций в копирующем портфеле, который бы минимизировал ошибку слежения с помощью метода множителей Лафанжа.
Решение.
Задачу определения уд. весов бумаг в копирующем портфеле можно записать как:
(6.15)
min var(rp - Г/) - <х; + <т; - 2 еоу,,, .
где ст: - дисперсия доходное! и копирующего портфеля;
ст~ дисперсия доходности копируемого индекса: Cov., - ковариация доходностей портфеля и индекса. Риск портфеля определяется но формуле;
-;=SZ^
*=1 /-I
солу
Поэтому формулу (6.15) можно представитьв виде:
: I
w(r, -1)=EX Щ«*«+<*? - 2Хч cov« •
r=l /=1
Ограничение оптимизационной задачи определяется как ^<? =1. Запишем функцию Лаграпжа:
3 3 3 /* -1
1=1 i=\ i i V f=i
Найдем производные функции Лаграпжа по #, и Я и общем виде и приравняем их к нулю:
cL(6.16)
30= 22^0J-covlj-2GGViI+A = Q; i = l,...,3
i=i
ал tr
(6.17)
Подставим цифровые значения задачи в уравнения (6.16) и (6.17) и объединим их в систему:
26>14,622 + 20216+20326,99-2-17,6+;i = O
202ДОЗ3 + 20,16-20з45.89-2-35,2 + л=О
203 7,79: + 2^ 26,99 + 20, 45,89 - 2 • 42.05 + Л = 0 ^+0, +0,-1 = 0
пли
20,4,62" +20,16 + 20? 26,99-2-17,6 + л =0
20,16 + 20, 6,932 +20345.89-2-35,2 +А = 0
20, 26.99 + 20; 45.89 + 203 7,,05 + л = 0 0.+0, +0, -1 = 0
\ № (17,6 \
х =
s С = 35,2
42,05
/ L! >
ИЛИ
0,21,3444 + 0,16 + 0,26,99 + 0,5л = 17,6
0, 16 + Л 48.0249 + 03 45,89 + 0,5А" = 35,2
0,26,99 + 02 45,89 + 0,60,6841 + 0,5л = 42,05
01+0а f03=l
Запишем систему уравнений (6.IS) в матричной форме:
АХ = С,
где
'21,3,5
А =
16 48.0249 45,89 0,5 26,99 45,89 60.6Решая систему уравнений (6. IS), получим:
X = А С или (9, =0,274291. 0, = ^=0.318085.
(6.18)
Задача 6.14.
В таблице представлена информация о сроках погашения и доходности облигаций А, В и С:
Облигация Дни до погашении Доходность (%)
А 260 9
В 2I0 8.5
С
Компания привлекает средства на 50 дней под 5,5% годовых и инвестируо их в краткосрочные облигации. Финансовый директор компании полагает, что кривая доходности в течение следующих 50 дней сохранит восходящую форму. и доходность облигации с погашением через 210 будет 8,5%. Поэтому он использует стратегию "скольжения по кривой доходности", чтобы увеличить доход от инвестирования привлеченных средств. Компания привлекает средства на сумму 9397528 руб. Поминал облигаций равен 1000 руб. Финансовый год равен 365 дням.
Перечислить действия финансового директора, определить, какую прибыль он получт, если его прогноз относительно будущей конъюнктуры процентных ставок окажеюя верным.
Решение.
Стоимость облигации А равна:
1000
1+0,09(260/365)
Финансовый директор покупает 10000 облигаций А на сумму 9397528 руб. и продае! их через 50 дней. Коныопктура рынка осталась неизменной, и доходность облигаций с погашением через 210 дней равна 8,5%. Поэтому от продажи облигаций Л он получает сумму:
IШОоблигаций ■ \000py0.
- 9533760 руб.
50 ^
1+0.085(210/365 По обязательству он возвращает:
1 + 0,055 =9468331/лч5.
365,
9397528 Прибыль раина:
83дгб.
Задача 6.15. (Сохраняются условия задачи 6.14).
Определить, при каком уровне доходности облигации А через 50 дней стратегия "скольжения но кривой доходности" принесет компании нулевой результат.
Решение.
Чтобы стратегия дала нулевой резулыш, от продажи облигации А через 50 дней компания должна получить сумму денег равную ее обязательствам, т. е. 9468331 руб, Для згой суммы доходность облигации А составик
, 9468331
'=0.0976 иди 9.76%.
210
ГЛАВА 7. ОЦЕНКА УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ
7.1. Оценка фактической доходности портфеля
Задача 7.1.
Менеджер управлял портфелем в течение четырех лет. В начале первого года в портфель инвестировали 100 млн. руб. В конце года его стоимость выросла до 105 млн. руб. В начале второго года из портфеля изъяли 10 млн. руб. В конце года его стоимость составила 110 млн. руб. В начале третьего года в портфель внесли 20 млн. руб. В конце года его стоимость составила 115 млн. руб. В начале четвертого года из портфеля изъяли 5 млн. руб. В конце года его стоимость составила 120 млн. руб. Определить доходность управления портфелем в расчете на год.
Решение.
Доходность управления портфелем за первый год составила:
;; = —- -1 = 0.05 или 5% годовых
В начале второго года из портфеля итьяли 1С млн. руб.. поэтому на второй гол менеджер начал управлять портфелем стоимостью: = 95 млн. руб. Доходность управления портфелем за второй гол равна:
г, = 1 = 0,1579 или 15,79% головых.
В начале третьего года в портфель внесли 20 млп. руб.. поэтому на третий год менеджер начал управлять пор|фслсм стоимостью: 110 f 20 = 130 млн. руб. Доходность управления портфелем за третий год равна:
г, = 1 - —0,1! 54 или -11,54% годовых.
" 130
В начале четвертого года из портфеля изъяли 5 млн. руб.. поэтому на четвертый год менеджер начал управлять портфелем стоимостью: 115—5=*]10млн. руб. Доходность управления портфелем за четвертый год равна:
;; = 1 = 0.0909 или 9,09% годовых.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
