= *,+ х»\-ъ-(/>%-*,).*м-Щ
(8-П)
W V
глс х, -/-ев порядке возрастания значение случайной величины;
Wt оценка относительного ио. южения /-гозначения случайной величины в
'-1
рассматриваемом иаооре се значении, и w. =
W-1
» - количество значений случайной величины в рассматриваемом наборе данных.
В примере значение -182 имеет порядковый номер 1, а
2-1
Соответственно и». -
= 0 и ил =10-1
■ 0,11! I. Значение равное персситилю
10% равно:
-182--'(0,1-0)- -\Ж1тыс. руб.,
0,1111-0
Таким образом, доход, соответствующий персенчнлю 10%, равен -1_30,7#уб. Следовательно, VaR с довери тельной вероятностью 90% равен I ЗОЛруб
Задача 8.55.
13 портфель стоимостью 1 млн. руб. входят обыкновенные акции двух компаний - А и В, Уд. вес в портфеле акций компании А 60%, компании В 40%. Для исторического моделирования выбран период за предыдущие 14 дней. Доходности акций за этот период представлены в таблице 8.4.
Таблица 8.4. Доходность акций в расчете на день (%)
Дни
А 0,5 ,6 0.1 -0,12
0.13
В 1,2 0,8 0,4 -0,5 -1.3 -0,4
Дни 14
Л 0,7 1.8 -0,2 0,25 0,12 0,7 0.2
В .4 -,11
Определить однодневный VaR портфеля с доверительной вероятностью: а) 90%; б) 95%.
Решение.
а) Доходность портфеля за первый день наблюдении составила:
0,6-0,5+0,41,2 = 0,78%.
Изменение стоимости портфеля за первый день равно:
lOOOwft/c - 0.0Ятыс. руб.
1 Знамение персентиля можно найти с помощью программы Excel е разделе Статистические Мастера функций функция ПЕРСЕНТИЛЬО.
Доходность портфеля за второй день наблюдений составила:
0,6-1,2 + 0,4-0,8 = 1,04%. Изменение стоимости портфеля за второй день равно:
\<№тыс 0,0104 = Ш,4тыс. руб, и ТА
Доходности и изменение стоимости портфеля за рассматриваемый период представлены соответственно в таблицах 8.5 и 8.6.
Таблица 8.5. Доходность nopi феля (%)
Дни
Дох-сть 0,78 1,04 0,34 -0,26 -0.88 -0,1 -0.02
Дни II
Дох-сть 0,74 1.46 0,004 -0,01 -0,168 0,
Таблица 8.6. Изменение стоимости портфеля Сшс. руб.)
Дни
Изменение стоимости 7,8 10,4 3,4 -2,6 -,2
Дни 14
Изменение _ ,
7,4
СТОИМОСТИ | 14,6 0,04 - од -1,68 2,72 0,76
Расположим результаты в порядке возрастания:
-8,8
-2,6
-1,68
- I
-0.2
-0,1
0.04
0,76
2,72
3.4
7,4
7.8
10,4
14.6
В примере значение 2.6 имеет порядковый номер 2. а -1,68 3.
Соответственно и\ = 0,076923 и w, =■ = 0,153846. Согласно
" 1
формуле (8.11) значение равное персентилю 10% равно:
2.6 + - Ц58-(-2,6) (01 _ 0 076923) = -2324mbic. pv6.
0,.076923 к
Таким образом, доход, соответствующий персентилю 10%, равен минус 2.324 тыс. руб. Следовательно, VaR с доверительной вероятностью 90% равен минус 2,324 тыс. руб.
б) Доверительной вероятности 95% соответствует* нерсентнль 5%. По формуле (8.11) он равен минус 4,77 тыс. руб.
Задача 8.56.
Курс доллара 1 долл. = 28 руб., курс евро I евро - 34 руб. Банк купил на енотовом рынке 300 тыс. долл. и 400 тыс. евро. Стандартное отклонение курса доллара в расчете па один день составляет 0,6%, евро - 0.65%, коэффициент
корреляции равен 0.85 и кокариация составляет 0.3315. Определить вектор DelVur портфеля для однодневною VaR с доверительной вероятностью 95%. Пояснить полученные цифры.
Решение.
Долларовая позиция банка в рублях составляет:
ЗООтысдолл.- 2%руб* = НАмлн. руб.
Позиция по евро в рублях:
400тые, до. и.-34руб. =13,6млн. руб,
VaR по долларовой позиции равен:
НАмлн. руб. ■ 0:006.1,65 = 83,1 втыс. руд.
VaR по евро равен:
1 Хбмшруб. • 0.0065 ■ 1,65 = 145$Ьтые. руб.
VaR портфеля составляет:
.85Y
1О
83.16
VaR =J(83J6 145,861
" f \0,85 1 \{\45М\
Вектор DelVaR определяется по формуле:
Ор
DelVaR =
VaRf ■
= 220.93тыаруб.
(8.12)
где Q - матрица ковариаций. скорректированная па требуемый уровень
доверительной вероятности;
р - матрица-столбец потоков денежных средств:
VaR. - рассчитанный VaR портфеля.
Ковариационная матрица для доверительной вероятности 95% составляет:
Q =( 1,652 0,006- 1,652 0,
Д.1,652-0.0065: 0. 0,П 0, 0,;'
Согласно формуле (8.12) вектор DelVar равен:
'0,00928Л ^ 0.01051
13600
( 0.00009^ ( 840 Д 0,,
DelVaR -
220.93
Полученные значения вектора DelVaR интерпретируются следующим образом. Если увеличить долларовый фактор риска портфеля в эквивалентных цифрах еще на один рубль, то VaR портфеля вырастет приблизительно на
0.00928 руб. Если увеличить фактор риска по евро в эквивалентных цифрах на один рубль, то VaR портфеля приблизительно вырастет на 0.01051 руб.
Задача 8.57.
Для условий задачи 8.56 определить приростный (предельный) VaR портфеля, если банк купил дополнительно 20 тыс. долл. н 10 тыс. евро. Определить на основе значений вектора дельта - VaR новый VaR портфеля.
Решение.
Приростный VaR {IncrVaR) в связи с новыми сделками равен8;
IncrVaR = а ■ DelVaR, (8.13)
где а - матрица строка денежных средств но каждому инструменту;
DelVaR - вектор дельта-VaR,
Предельный VaR портфеля в соответствии е формулой (8.13) в рублях составляет:
, /0.00928^ ,
IncrVaR = (20 ■I = ЪЛтые. руб.
\ 0,01051;
Согласно результату задачи 8.56 VaR портфеля был равен 220.93 тыс. руб. Новый VaR портфеля составляет:
220.93 + 8,77 = 229J тыс. руб.
Задача 8.58.
В портфель стоимостью 10 млн. руб. входят акции компаний А и В. Уд. вес акции компании Л в стоимости портфеля составляет 30%. компании В 70%. Стандартное отклонение доходности акции А в расчете на один лень равно 1.8%. акции В - 1.6%, коэффициент корреляции доходностей акций равен 0,8, ковариаиия - 2,304. Однодневный VaR портфеля с довсритсльпой вероятностью 95% составляет 261,6 тыс. руб. Определить предельный VaR и повьш VaR портфеля на основе вектора лсльта-^дЯ, если дополнительно в портфель купили акций компании Л на 45 тыс. руб. и акций компании В на 50 тыс. руб.
Решение.
Согласно формуле (8.12) вектор DelVaR равен:
л
J 0.018: 0.0002304 V 3000 1,65"
'0.026900л
10.0002" ,,7000
DelVaR = ^- '— ■
ч 0.025843j
261,6
* В литературе нет однозначной трактовки гюнятий предельный VaR (marginal) и приростный VaR (incremental), и они могут использоваться как синонимы. В публикации "Risk Management: A Practical Guide", Riskmetric Group, 1999 (www I. p.6 предельный VaR определяется как показатель, измеряющий величину изменения риска портфеля, если из него полностью исключается некоторая финансовая позиция, т. е VaR с некоторой позицией минус VaR без зтой позиции. Приростный VaR измеряет изменение риска в результате небольших изменений уд. весов позиций активов в портфеле.
Предельный VaR портфеля в соответствии с формулой (8.13) в рублях составляет:
0,026900^
IncrVaR = (45 50
= 2.5/яыс. руб. у0,025843 )
Новый VaR портфеля равен:
261,6+2,5 = 264,Ыыс. руб.
Задача 8.59.
Для условий задачи 8.58 определить приростный VaR. и новый VaR портфеля, если в портфель дополнительно купили акции компании А на 50 тыс. руб. и продали акции компании В на 85 тыс. руб.
Решение.
IncrVaR =
0,026900Л 0,025843
— -0, В52тыс. руб.
Новый VaR портфеля равен:
261,6-0,852 = 260,74%тыс. руб.
8.4. Рискметрики банка J. P.Morgan
8.4.1. Стандартные отклонения и корреляции в Рискметриках банка J. P. Morgan
Вопрос 8.60.
Напишите формулы расчета дисперсии доходности актива па основе простой взвешенной (SMA) и экспоненциально взвешенной средней (liWMA). В чем принципиальное отличие модели EWMA oi модели SMA?
Ответ.
Дисперсия доходности актива как простая средняя определяется по формуле:"'
2>-')'
где г - доходность актива в /-м периоде:
г - средняя доходность актива;
и - число периодов наблюдения.
Дисперсия доходности актива как экспоненциально взвешенная средняя определяется по формуле:
• Данная формула определяет выборочную дисперсию,
— , (8.14)
i~ I
где Л - коэффициент убывания веса (decay factor) доходности актива в ?-м периоде: его значения могут располагаться в диапазоне 0 < Л < 1.
В SMA каждому наблюдению доходности актива придается одинаковый вес вне зависимости от времени наблюдения. В EWMA каждому наблюдению доходности актива придается свой вес. Вес последнего наблюдения является наибольшим, предыдущие наблюдения доходности учитываются в формуле с убывающими весами.
Вопрос 8.61.
Почему динамика дисперсии доходности аюива. рассчитанная на основе liWMA. лучше отражает ее реальную динамику по сравнению с моделью SMA?
Ответ.
В LiWMA наблюдения доходности актива учитываются с убывающими весами по мере использования все более отдаленных по времени данных. Поэтому резкое изменение доходности актива (шок), после того как оно произошло, начинает учитываться в формуле (8.14) со все меньшими весами по мере того как данное наблюдение отдаляется во времени от сегодняшнего дня. В результате рассчитываемая для каждого следующего дня дисперсия начинает убывать. В случае SMA дисперсия учитывает в полной мерс результат шока до тех пор. пока данное наблюдение доходности входит в расчетный текущий ин юрвал наблюдений, несмотря на то, что рынок уже успокоился. После того как оно выходит за рамки учитываемых данных, значение дисперсии резко падает.
Задача 8.62.
Раскройте формулу (8.14) для трех наблюдений. Чему равен уд. вес доходности актива /тля наблюдения трехдневной данности? Решение.
<Н1 .1 . •_• rf-l
1+Л-кЯ
Уд. вес для наблюдения трехдневной давности равен
Задача 8.63.
Запишите формулу (8.14) для случая, когда количество наблюдений стремится к бесконечности.
Решение.
При и->* знаменатель формулы (8.14) представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем меньше единицы.
Поэтому 2* "* = 1—Г' Подставив данное значение в знаменатель формулы
(8.14) при п —> - г., получим:
= (1-^)1^0; - F)1.
<т:=-^ = J=t
Г-i-l '/' Л ;-1
Вопрос 8.64.
Чему равна средняя дневная доходность актина в Рискметриках банка J. P.Morgan?
Ответ.
В Рискметриках средняя доходность актива за день принимается равной нулю.
Задача 8.65.
Запишите формулу EWMA, которая используется в Рискметриках банка J. P.Morgan для определения дисперсии доходности актива для следующего дня.
Ответ.
Модель EWMA имеет вид:
<>.='K - + (1-AV;:, (8.15)
где егД,. - ripoi поз дисперсии доходности актива для дня t + \, сделанный в день / ;
о".н - прогноз дисперсии доходности актива для дня /, сделанный в день / -1;
г, фактическая доходность актива за день /;
X - коэффициент убывания веса; для расчета однодневной дисперсии в Рискметриках банка значение Я принято равным 0,94.
Вопрос 8.66.
В результате каких допущений и преобразований формула EWMA (8.14) принимает вил (8.15)?
Ответ.
За день доходность финансового актива, как правило, изменяется не сильно, поэтому ее средняя доходность мало отличается от нуля. Дисперсия доходности за день существенно больше величины средней доходности. В результате в формуле (8.15) среднюю доходность актива (г) принимаю! равной
нулю. Таким образом, формула (8.14) дня случая KOI да п -> ЕЮ принимает вил:
v2 =(l-^)Ј^,"l*f. (8.16)
Представим формулу (8.16) с временными индексами как в формуле (8.15), учитывая, что прогноз для дня /+1 мы делаем в день i на основе наблюдений за бесконечное число предшествующих дней:
о-Д, =(1-Я)ХА'';1- (8.17)
Формулу (8.17) можно раскрыть как;
с =(1-я)|>;:, 4i-^:+A:,+A::-Av-.) =
(8.18)
.(1-Я)^-/(1-/)(,;;1+^-Лх,..). В формуле (8.18) во второй строке во втором слагаемом:
Подставив полученный результат в (8.18), получим:
i=0
Задача 8.67.
Оценка стандартного отклонения доходности акции компании А для сегод-няшнего дня (день /), сделанная вчера, равна 2%. Доходность акции сегодня составила 3%. Определить стандартное отклонение доходности для завтрашнего дня (день f+] ) па основе модели экспоненциально взвешенной средней (EWMA).
Решение.
Согласно (8.15) опенка дисперсии доходности акции для завтрашнего дня равна:
al, =0.94-2" + (1-0.94)- 3: =4.3. Стандартное отклонение доходности составляет: гг (1 ^'4,3 2,07%.
Задача 8.68.
Оценка стандартного отклонения доходпости акции компании А дтя сегод-няшнего дня, сделанная вчера, равна 1,8%. Доходность акции сегодня составила 2,5%. Определить сшндаржое отклонение доходности для завтрашнего дня на основе модели экспоненциально взвешенной средней (EWMA).
Решение.
Согласно (8.15) оценка дисперсии доходности акпии для завтрашнего дня равна:
а; =0.94-1,8:+(I-0,94). 2,5:= 3,42. Стандартное отклонение доходности составляет: <rs Ir *J$A2 1,85%.
Задача 8.69.
Оценка стандартного отклонения акции компании А для сегодняшнею дня, сделанная вчера, равна 2.3%. Доходность акции сегодня составила 0,5%. Опрелелшь стандартное отклонение доходности для завтрашнею дня на основе модели экспоненциально взвешенной средней (EWMA).
Решение.
<т г - 0.94.2.3: +(1 -0,94)-0,5: -4.99.
Стандартное отклонение доходности составляет: ст. ,. tj4499 2,23%.
Задача 8.70.
Оценка стандартною отклонения доходности акции компании А для сегодняшнего дня, сделанная вчера, равна 1,6%. Доходность акции сегодня составила 0,35%. Определи! ь стандартное отклонение доходности для завтрашнего дня на основе модели экспоненциально взвешенной средней (FWMA).
Ответ.
1,55%.
Задача 8.71.
Данные по доходности акции компании А за предшествующие 10 дней представлены в таблице. Сегодняшний день - это день /.
Дни I г-| t-1 г-3 /--J i-5 /-6 1 7 f-8 t 9
Доход-ность
(%) 0,5 0,14 -0.05 0,08 , 0,05 -0,45 0.12 -0,31
Определить прогноз стандартного отклонения доходности акции для следующею дш (' + !) па основе данных за 10 предшествующих дней с
помощью модели EWM/V
Решение.
В качестве прогноза дисперсии для девятого дня v~V на основе доходности акции за десятый день принимается квадрат доходности акции за десятый день, т. е. of_k = rj^ = Ч),312 = 0,0961.
Прогноз дисперсии для восьмою дня (' - 7) на основе прогноза дисперсии для девятого дня и фактической доходности за девятый день составляет:
о-,2 7lf. x =0,94-0,096К(1-0,94).0.12- =0,0912.
Прогноз дисперсии для дня ('-6) на основе прогноза дисперсии атя
восьмого дня и фактической доходности за восьмом лень составляет: ^_б|,-т =0.94-0.0912 + (1-0,94)0,452 =0,0979.
oislr-ft =0,94-0,0979 + (1-О,9,14)" =0,0932. р* 5 =0.94-0.0932 + (1-0.94)-(-0,03)2 =0,0877. а;,, л = 0.94-0,0877 ♦ 0.06-0,052 =0.0826. <rf =0,94 0.0826 + 0,06-0.08- =0,078.
a;_{]f_2 = 0.94-0.078 + 0.06(-0,05)* =0,0735. or* , = 0,940,0735 + 0.060,142 =0.0703.
о* =0,940,0703 + 0,060,5* =0,081.
Прогноз стандартного отклонения доходности акции для следующею дня равен: <тм = ^0,081 =0,2846%.
Задача 8.72.
Данные по доходности акции компании В за предшествующие И) дней представлены в таблице. Cci одняшний день это день /.
Дни /-1 1-2 /-3 /-4 /-5 /-6 i-i /-S 1-9
Доход-ность
(%) 0.1 -0,12 0-0.5
Определить прогноз стандартного отклонения доходности акции для
следующего дня |' + 1) на основе данных за 10 предшествующих дней с
помощью модели F. WMA. Решение.
В качестве прогноза дисперсии для девятого дня {t — 8) на основе
доходности акции за десятый день принимается квадрат доходности акции за
десятый день. i. e. <7,__s =rf~_9 =-0,5" =0.25.
_:'..-.-= 0.94-0,25+ 0,06-0,7" =0.2644.
а;^ . = 0.94-0.2644 + 0.06-2.3: =0.566. af 6 =0,94 0,566 + 0.061,2: =0.6184.
<7-_(; 5 =0,94-0.6184^0,06-0,82 ^=0,6197.
а; и(_д = 0,94-O.6197 + 0.0Cv(-O,04)2 =0,5826.
°1-* .3 =O,94-O.5826 + O, O6-(-O,02)2 =0,5477. af^ , = 0,94-0.5477 + 0,06-0.07? =0.5151.
^_t =0,94-0,5151 + 0,06.(-0Л2)3 =0.4851.
<7;|r =0,94-0.4851 I 0,06-0,1: =0,4566.
Прогноз стандаршого отклонения доходности акции для следующего дня равен: сг, и - >/0,4566 = 0,6757%.
Задача 8.73.
Инвестор определяет прогноз стандартною отклонения доходности ак-шна для следующего дня на основе EWMA - За какое количество последних дней ему следует взять наблюдения доходности актива, чтобы не учтенными оказались самые отдаленные данные, уд. вес которых в сумме равен 1%7
Решение.
Прогноз дисперсии доходности актива для дня / + 1 на основе FWMA, который делается в день /. определяется по формуле :
^I=(MIA-;- (8.19)
■■ ii
В формуле (8.19) сумма уд. весов всех наблюдении (Й)составляет величину:
о=(!-я)£я'.
Сумма уд. весов от к - го наблюдения до «> равна:
П;=(1-Л)£А'.
Пусть эта величина равна некоторому проценту у от общей суммы уд. весов. Тогда можно записать'
у = (1-Д)£д'. (8.20)
Преобразуем формулу (8.20) следующим образом:
г = (\-А){А. к +Л**1 +Ак'* +..) = Z*(\-A)(l+A + A2 +...) = Ак (1-Д)-1-
ИЛИ
У = Ак. (8.21)
1п;/ = 1пЛ*.
Возьмем натуральный логарифм от левой и правой частей равенства (8.211: Отсюда:
А-= — • (8.22)
Чтобы не учтенными оказались самые отдаленные данные, уд. вес которых в сумме равен 1%, следует взять наблюдения доходности актива за:
, InO. OI
А = ■— = 74.4 или 74 дня.
In 0.94
Задача 8.74.
Инвестор определяет прогноз стандартного отклонения доходности актива для следующего дня на основе EWMA. За какое количество последних дней ему следует взять наблюдения доходности актива, чтобы не учтенными оказались самые отдаленные данные, уд. вес которых в сумме равен 0,1%?
Решение.
Согласно(8.22): к-— -111.6 или 112дней.
In 0.94
Задача 8.75.
Инвестор определяет прогноз стандартного отклонения доходности актива для следующего дня на основе EWMA. За какое количество последних дней ему следует взять наблюдения доходности актива, чтобы не учтенными оказались самые отдаленные данные, уд. вес которых в сумме равен 0,01%?
Ответ:
к = 149 дней.
Вопрос 8.76.
Чему равно в Рискмстриках банка J. P.Morgan значение коэффициента /. при определении прогноза стандартного отклонения доходности актива для одного месяца?
Ответ.
Л = 0,97.
Задача 8.77.
Напишите формулы расчета ковариацин доходностей активов на основе простой взвешенной (SMA) и экспоненциально взвешенной средней (EWMA).
Решение.
Ковариацня доходностей активов на основе простой средней определяется по формуле:
th-z)h-z
covn. п
где гща г_ - доходности активовXи К в /-м периоде;
г - средняя доходность актива X;
i\ средняя доходность актива ¥:
п число периодов наблюдения.
Ковариашля доходностей активов на основе экспоненциально взвешенной
средней определяется по формуле:
2>Mk-ij)k-r,)
(8.23)
1=1 |*де Л коэффицисш убывания веса доходности актива в / - м периоде.
Задача 8.78.
Запишите формулу (8.23) для случая, когда количество наблюдений стремится к бесконечности.
Ответ.
При и—ж знаменатель формулы (8.23) представляет собой сумму
бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем меньше единицы.
" 1
Поэтому 2^' ' = Г" Подставив данное значение в знаменатель формулы
i-i \—А
(8.23) при п —» ао, получим:
Задача 8.79.
Запишите формулу ковариацин доходностей активов па основе EWMA, которая используется н Рнскметриках банка J. P.Morgan для определения ковариацин доходностей активов для следующею дня.
Решение.
Ковариания определяется по формуле:
СОУИ =ДСОУ. +(1-Я)гг. (8.25)
где eov - прогноз ковариашш доходности активов для дня i +1, сделанный в
день /:
cov., , - прогноз коварнации доходности активов для дня t, сделанный в
день / —1;
fXi фактическая доходность актива х задень /:
rv фактическая доходность актива у за день t;
Я — коэффициент убывании веса; для расчета однодневной ковариашш в Рискметриках банка J. P.Morgan значение Л принято равным 0.94.
Вопрос 8.80.
В результате каких допущении и преобразований формула (8.24) принимает вид (8.25)?
Ответ.
За день доходность финансового актива, как правило, изменяется не сильно, поэтому се средняя доходность мало отличается от нули. Дисперсии доходности за день существенно больше величины средней доходности. В
результате в формуле (8.25) среднюю доходность актинон (/) принимают
равной нулю. Формула (8.24) принимает вид:
СОУЛ, =(1-Л)ХЛ"ГГ/;.. (8.2б)
Представим формулу (8.26) с временными индексами как в формуле (8.25), учитывая, что прогноз для дня t + 1 мы делаем в день / на основе наблюдений за бесконечное число предшествующих дней:
cov„ =(1-Л)2>; ,; . (8.27)
(-0
Формулу (8.27) можно раскрыть как: covi =(1-/-)У/.'г г = (\-Л)(гг +Л/; г +Л\ г +лг г...) =
(-0
= (\-X)rr + ;.(! /)('• '• +-&" г +Я> r..
В формуле (8.28) во второй строке во втором слагаемом:
(1--1)кл,+^лг+ЛЧл."-)=(1-;1)£Л'Х'к.=со^,-
Подставив полученный результа! в (8.28), получим:
Cov =(|-Д)У1Д'г г (\-Л)гк +ЛСОУ,
*н
265
/ :шка #. VaR
Задача 8.81.
Данные no доходности акций компаний А и В за предшествующие К) дней представлены в таблице. Сегодняшний день-это день /.
Дни / ,-1 1-2 / 3 t-4 1-5 /-6 i-l I -8 /-9
Доход-ность А (%) 0,5 0,05 -0.03 -0,14 0,45 0,12 -0,31 -0,5
Доход-ность В (%) 0,1 -0.12 0,07 -0,02 -0,04 0,8
Определить прогноз ковариации доходностей акций для следующего дня (г + 1)па основе данных за 10 предшествующих дней с иомошыо модели
EWMA.
Решение.
В качестве прогноза ковариации доходностей акций для девятого дня (/-8) на основе доходностей акций за десятый дсш. принимается произведение доходностей акций за десятый день, т. е. cov,_4 = r rt = (-0,31д-0,5) = 0.155.
Прогноз ковариации для восьмого дня [г — 7) на основе прогноза ковариации для девятого дня и фактической доходности акций за девятый день составляет:
cov;_7=0,94-0J55 + 0.06-0,12-0,7 = 0J507.
cov, ^ =0,94-0,1507*0.06-0,45-2,3 = 0,2038. cov,_s= 0,94-0,2038 + 0,06 (-0,14)-1,2 = 0.1815. со\,_4= 0,94-0,1815 + 0,06-(-0,03)-0,8 = 0,1692. cov.., =0.94-0.1692 + 0,06-0,05-(-0,04) = 0,1589. cov(_2 = 0.94-0,1589 + 0.06-0.08-(-0.02) = 0.1493. cov,., =0,94 0.1493+ 0.06-(-0.05)-0.07 = 0,1401.
cov/ = 0.94-0,1401+0.06-0,14-(-0,12) = 0,1307. cov,_, =0,94-0.1307-0,06-0,5-0,1 = 0,1259.
Задача 8.82,
Определить прогноз однодневного коэффициента корреляции на основе модели EWMA для условий задачи 8.81.
Решение.
Прогноз однодневного коэффициента корреляции определяется по формуле:
266
Пшна 8. VaR
ео\
"7-l«
corr = ■—
где COv„.,, - прогноз однодневной корреляции доходностей активов X и )' для
дня г +1. сделанный в день /;
^. . &У/_^ прогноз однодневною стандартною отклонения соответст-венно доходностей активов А' и У для дня ; + I. сделанный в день г.
В задаче 8.81 прогноз ковариации доходностей акций Л и В составил C0V, i.Vi, r =0.1164. В задачах 8.71 и 8.72 были получены прогнозы однодневных
стандартных отклонений доходностей акций А и В:
а,^ =0.2846. ^ =0,6757.
Прогноз однодневного коэффициента корреляции состаатяет:
0-1259
согг. п = = 0,6547.
'" 0.2846-0.6757
8.4.2. Определение VaR на основе стандартных факторов риска банка J. P. Morgan
Задача 8.83.
Стоимость портфеля 10 млн. руб. Портфель состоит из акции пяти компаний. Уд. веса акций в портфеле составляют: 5, =10%; 0;=2О%;%; #4=15%; #,=30%. Беты акций относительно фондового индекса равны: 0, = 0,5 ; Д = 0,65 ; Д = 0,8; Д = 1,1 ; Д = 1,3 . Стандартное отклонение рыночного портфеля для одного дня составляет 1,5%. Определить однодневный VaR портфеля с доверительной вероятностью 99% согласно методике, принятой в Рискметриках банка J. P. Morgan, на основе стандартных факторов риска.
Решение.
В Рискметриках байка J. P. Morgan в качестве стандартного фактора риска для акции выступает фондовый индекс. Доходность акции связана с доходностью индекса с помощью коэффициент бега. Поэтому VaR широко диверсифицированною портфеля акции можно определить но формуле:
И*,=*Г„/?Л, (8.29,
где z - количество стандартных отклонений, соответствующих требуемому уровню доверительной вероятности;
о~л стандартное отклонение доходности рыночного индекса;
Р. - бега портфеля, и Рр =^#А ;
267
f. tafta 8~ VaR
Vs - стоимость портфеля. Бета портфеля равна:
fip =0Д-0,5+в,2-0,65+О,250,8+ОЛ51Д + 0,31,3 = 0,935.
Согласно (8.29) VaR портфеля составляет:
VaRp = 2,33 • 0.015 • 0,935 • I Омлн, = Ъ26,7$3тыс, ру6,
Задача 8.84.
Портфель состоит из акций пяти компаний. Акции куплены на суммы: /J = Хмлн. руб., Р2 =3млн. руб. ь Рэ = 5мдн. руб., Pt = 6млн. руб. ч Р, = К\пи. ру6. Беты акций относительно фондового индекса равны: Д=0.6: /7, =0.75;
fi, = 0,9 ; Д. = 1,2 ; /?; 1,3 . Стандартное отклонение рыночного пор|феля для одного дня составляет 1.8%. Определить однодневный VaR портфеля с доверительной вероятностью 90% согласно методике, принятой в Рискметриках банка J. P. Morgan, на основе стандартных факторов риска.
Решение.
Формулу (2.29) можно представить как:
VaR = Z4rЈfiy, , (8.30)
где К —стоимостьакций /-и компании в портфеле. Согласно (8.30) VaR портфеля равен: VaRp = 1.28 ■ 0,018(0,6 • Ьии. руО, т 0.75 • Злин. руб. + 0.9 • Ьмян. руб. + +1,2 - вмлп. руб. -1,3 • 8лп//./лт5.) = 514Я4$тыс. руб.
Задача 8.85.
Бескупонная облигация номиналом 1000 руб. погашается через год и восемь месяцев. Доходности годичной и двухлетен стандартных бескупонных облигации соответственно равны 7% и 9%. Однодневное стандаржое отклонение процентного изменения цены первой облигации равно 0.1%, второй — 0,2%. Коэффициент корреляции между однодневными процентными изменениями иен первой и второй облигации равен 0.85. Представить бескупопиую облигацию в виде потоков платежей согласно методике Рискметрик банка J. P. Morgan.
Решение.
Бескупонную облигацию представляют в виде потоков платежей па основе стандартных бескупонных облигаций, которые называют вершинами (vertices). Они представляют собой факюры риска при описании кривой доходности. Для рассматриваемой бескупонной облигации стандартными вершинами в Рискметриках выступают стандартные бескупонные облигации с погашением через одни и два года. Для деления йены бескупошюй облигации на два потока
26S
Глава
платежа между соседними стандартными вершинами необходимо найти их удельные веса в данных стандартных облигациях.
Рассчитаем ставку доходности для облигации, погашаемой через I год и 8 месяцев. Задачу решаем, интерполируя со доходность между доходности ми годичной и двухлетней облигациями:
9%-7%
^месяцев + 7% = 8,33%.
Имесяцев
Цена бескупонной облигации равна:
1000
-- 875.13 руб.
Стандартное отклонение процентного изменения цены облигации определяем линейной ишерполяцией между стандартными отклонениями процентных изменений цен годичной и двухлетней облигаций:
°'2%~0Л%$месянев+0,1% = 0,17%.
\2 месяцев
Позиция по бескупонной облигации, представленная в виде потоков платежей, должна иметь такую же дисперсию как и сама бескупонная облигация. Поэтому уд. веса потоков платежей находим из равенства:
<т; =ЙГ <т/, i (l ffjV*, i 2а{\ «V^MA*.* , <«-31)
где <?~ —дисперсия процентного изменения цепы облигации Ь\\
етД, дисперсия процентного изменения цены стандартной бескупонной
облигации P,_t;
<т~г —дисперсия процсшпого изменения цены стандартной бескупонной
облигации РпХ\
P,-\j,\ - коэффициент корреляции между процентными изменениями цен
бескупонных стандартных облигаций;
а - уд. вес стандартной бескупонной облигации Pt \. Преобразуем уравнение (8.31) следующим образом:
аг2(а-Д, + cr, i, -2о-,_,аг+1р,^_1)+
+ а(2сгыин1рм^ - 2<т;+|)+ (<г£, - а?}= 0.
Уравнение (8.32) является квадратным вида:
ааг i ha+ с = 0 ,
где а = о-;_, + сг;_. - 2<гмс7,+| д_м_,;
6 = 2ст_,ст_,/?„,,_,-2:7,1,;
269
Глава S. VaR
Оно имеет два решения:
-b±^b - - Аас
<*УЛ = : ■
1а
Подставим найденные значения в формулу (8.32):
а2(0.1:-ьО,27-2-0Л-0.2-0,85)+а(2-0.|.О,2.()-К5-2-О.22)-ь(0,2;-О,17:) = О
или
0,OI6V-05Q46a+0,0111 = 0.
Решения уравнения составляют:
а. = 2,6091; а, - 0,2659.
И.1 двух ответов подходит второй. поскольку он лежит в диапазоне от нуля до единицы, Это означает, что 26,59% стоимости бескупонной облигации должно приходиться па годичную стандартную бескупопиую облигацию, а (100-26,59)= 73.41% на двухлетнюю стандартную облигацию. Таким образом, первый поток платежа со стандартной вершиной в один год ранен:
875,13 • 0.2659 = 232 J руб..
второй с вершиной ДЕа года:
875,13-0,734] =642,43/?го.
Задача 8.86.
Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 99% для бескупонной облигации из задачи 8.85.
Решение.
В задаче 8.85 облигация была представлена н качестве двух потоков платежей со стандартными вершинами в один год и два года. VaR для первого потока платежа равен:
VaR, = 2,33 • 0.= ОМруб. VaR для второго потока платежа равен:
VaR: = 2,33-0,002-642,43 = 2.99руб. VaR бескупонной облигации, погашаемой через I год и 8 месяцев, составляет: VaR^ = V^54: + 2,99: 4-2-0.54.2,99-0,85 - 3,46руб.
Задача 8.87.
Бескупоипая облигация номиналом 1000 руб. погашается через два года и
четыре месяца. Доходность двухлетней и трехлетней сгапдартных бескупонных
облигаций соответственно равны 10% и 12%. Однодневное стандартное
отклонение процентного изменения иены первой облшации равно 0,2%, второй
0,32%. Коэффициент корреляции между однодневными процентными
270
ГлаваX. laR
изменениями цен мерной и второй облигаций равен 0.82. Представить бескупонную облигацию в виде потоков платежей согласно методике Рискмстрик банка J. P. Morgan.
Решение.
Для рассматриваемой бескупошюй облипший стандартными вершинами в Риекметриках выступают бескунонные облигации с погашением через два и три гола.
Рассчитаем ставку доходности для облигации, погашаемой через 2 года и 4 месяца. Задачу решаем, интерполируя ее доходное! ь между доходпостямн двух - и трехлетней облигациями:
{2%~т°4ме<:яЧа + 10% = 10,67%. \2м<?сяцев
Цена бескупонной облигации равна:
100(1
1,1067'^ U
Стандартное отклонение процентного изменения цены облигации определяем линейной интерполяцией между стандартными отклонениями процентных изменений иен двух - и трехлетних облигаций:
°-32%-°»2% Амеснца f 0.2% = 0.24%. 12мееяцев
Позиция по бескупошюй облигации, представленная в виде потоков платежей, должна иметь такую же дисперсию как и сама бескупонная облигация. Поэтому уд. веса потоков платежей находим из равенства (8.32). Подставив в него
цифры, получаем:
а2(о,22 + 0322-20,2-0,32-0,82)+а(2-0,20)32'0,82-20,32г)+ +(0,323 -0,24:)=0
или
0.03744л2 -0,09984**+0,0448 = 0.
Решения уравнения составляют:
а, =2,096; а. =0,571.
Из двух ответов подходит второй, поскольку он лежит в диапазоне от нуля до единицы. Это означает, что 57,1% стоимости бескупонной облигации должно приходиться иа двухлетнюю стандартную бескупонную облигацию, а (100 57,1 ( = 42,9% на трехлетнюю стандартную облигацию. Таким образом.
первый поток платежа со стандартной вершиной в два года равен:
873.59-0,,82/н'б.,
второй с вершиной три года:
873,59-0.429 = 374.77 руб.
271
1'iaeaS. VaR
Задача 8.88.
Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 99% для бескупопиой облигашш из задачи 8.87.
Решение.
В задаче 8.87 облигация была представлена в качестве двух потоков платежей со стандарт ными вершинами в два и три годи. VaR для первого потока платежа равен:
VaR, = 2.33 • 0,002 ■ 498,82 - 2,32руб.
VaR для второго потока платежа равен:
VaR, = 2,33 0,,77 = 2,79/рб. VaR бескупотгой облигации, погашаемой мере* 2 года и 4 месяца, составляет:
laR^ =^2,ЗГ + 2,792 +2-2,32-2,79 0.82=4,88/иу&
Задача 8.89.
Номинал облигации 1000 руб.. купон 10%. выплачивается один раз в год. До погашения облигации один год восемь месяцез. Доходности шестимесячной. годичной и двухлетней стандартных бескупонных облигаций соот-вететвенно равны 5,8%. 7% и 9%. Однодневное стандартное отклонение прочен гною изменения иены первой облигации равно 0.1%. второй 0.2%. третьей — 0,32%. Коэффициент корреляции между однодневными процентными изменениями цен первой и и юрой облигаций равен 0.85, второй и третьей 0.82. Представить купонную облигацию и виде потоков платежей согласно методике Рискмстрик банка J. P. Morgan.
Решение.
Для рассматриваемой купонной облигации стандартными вершинами в Риекметриках выступают бескупонные облигации с погашением через шесть месяцев, год и два года.
Купонную облигацию представляем как две бескупонные облигации: первая с номиналом 100 руб. и погашением через восемь месяцев, обозначим ее как облигацию А: вторая - с номиналом 1100 руб. н погашением через один год восемь месяцев, обозначим ее как облигацию В.
Рассчитаем ставку доходности для облигации А, погашаемую через 8 месяцев. Задачу решаем, интерполируя ее доходность между доходпостями шестимесячной и годичной облигациями:
/о2месяца>5Я% = Ь,2%.
6 меся цев
Ценабескунонной облигации Л равна:
100
т = 96.01 руо.
".■'■
1.062
272
VaR
Стандартное отклонение процентного изменения цены облигации А определяем линейной интерполяцией между стандартными отклонениями процентных изменений цен шестимесячной и годичной облигаций:
0.2%-0,l%2wCTw? + 0J% = олззз% Ьмесяцев
Позиция по бескупоииой облигации At представленная в виде потоков платежей, должна иметь такую же дисперсию как и сама бескупонная облигация. Поэтому уд. веса потоков платежей находим из равенства (8.32). Подставив в нею цифры, получаем:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
