Решение.
Рублевый эквивалент стоимости акции составляй*!:
200тыс.0о:и.-29руб. = 5Жилн. руб.
VaR по акции равен:
VaR, = 5$млн. ру6.-0,0126 1,6»;ыс./лт>.
ГЙЛ по валютной позиции равен:
VaRt =5Яла11.руб.-0,0035-\,в5 -- ПА95тыс. руб. VaR портфеля составляет:
, / 1 0,25^(120,582^
120,582 33,4951 =\Ъ2$1тыс. руб.
IV ' \0,25 1 } 33,495 J '•
Задача 8.23.
Для условий задачи 8.21 определить VaR портфеля на основе ковариационной матрицы, скорректировав ее значения с учетом доверительной вероятности 95%.
Решение.
Ковариационная матрица с данными, представленными в десятичных значениях имеет вид:
Q =
0.01^
v0,000011
Доверительной вероятное! и 95% соответствуеi 1,65 стандартных отклонений. Чтобы получить матрицу с учетом данного количества ста:иартных о пелонешш. необходимо умножить матрицу Q на коэффициент 1.65'. После умножения получаем матрицу 0.1Л:
&,*=№
0,0126' 0.00035" ( 0.000432^ Д0000300
Рублевый эквивалент стоимости акций составляет:
200тысдояя,-29руб. = Ъ$мзш. руб,
VaR портфеля, измеренный дисперсией составляет:
= 17681.38
(5
0. 0,V5I56 0.,{5800 VaR портфеля, измеренный стандартным отклонением, равен:
^17681.38 = 132.97wb7C. py-o.
Задача 8.24.
Российский инвестор купил акции компании А на 200 тыс. долл.. компании В на 300 1ыс. долл. Стандартное отклонение доходности акции компании А в расчете на лень составляеч 1,26%. компании В 1.5%. Курс доллара 1долл.=29 руб.. стандартное отклонение валютного курса в расчете на один день 0,35%, коэффициент ковариаиии между курсом доллара и доходностью акции компании А равен 0.11025. доходностью компании В - 0.281. Ковариация доходностей акций компании А и компании В равна 1,512. Определить VaR портфеля инвестора в рублях с доверительной вероятностью 95%. Дисперсию
портфеля определить по формуле <Т* = } /^Д - cov<, •
Решение.
„ 200/иыс. п
Уд. ice акций компании А в портфеле равен; 0 = ~ 0.4.
500шыс.
Штыс.
компании о: ии = ■ = 0.0.
500/яыс.
Риск инвестора обусловлен тремя фак юрами: возможным падением
котировок акций компаний А и В и падением курса доллара.
Дисзерсия доходности портфеля равна:
ст; -0.352 +0+0,62 К5" +20.40J 1025 + 2 0.6 0,281+
+2-0.4-0.6-1,512 = 2,3377. Стандартное отклонение доходности портфеля составляет:
<7„= Д"7%.
Рублевый эквивалент стоимости портфеля составляет:
500тыс. Оолл--29 руб. = \4,5лпн. руб.
VaR портфеля равен:
VaRp = 14.5ти. -0,01529 1,65 = 365. Хтыс. руб.
Задача 8.25.
Представить решение задачи 8.24 на основе расчета VaR по каждому фактору риска, если коэффициент корреляции между курсом доллара и доходностью акции компании А равен 0.25. компании В - 0,5352. между доходпостями акций компании А и компании В 0.8.
Решение.
Рублевый эквивалент стоимости акций компании А составляет;
200 ты с. долл.-29руб. - 5Ямлн. руб.,
компании В:
ЗООтысдо. и.-29 руб. = 8,7'.win. руб.
VaR по акции компании А ранен:
VoRA = 5Я\ин. руб.- 0,0126 1,65 = 120.582mw<::./7v6.
F<j7? по акции компании В равен:
VaRH = 8,7-MJW. ■ 0,015 ■ 1,55 = 215,325/иыс. ду*5.
VaR по валютной позиции равен:
VuRt = 14£мяп*руб. • 0.0035 • 1.65 = %\1Ъ%тые. руб.
VaR портфеля, измеренный дисперсией, составляет:
1 0.25 0,5352V 83.738'
120,582 ,215,325,
(83.325)
0.25 I 0.8
,0,5352 0,8 1
= 133808.7. VaR портфеля, измеренный стандартным отклонением, равен:
ф 33808,7 = 365,8шыс./л'Л.
Задача 8.26.
Российский инвестор купил акции компании А на 200 тыс. долл. и осуществил короткую продажу акций компании В на 300 тыс. долл. Спшдаршос отклонение доходности акции компании А в расчете на день составляет 1.26%, компании В 1,5%. Курс доллара 1долл.=29 руб., стандартное отклонение валютного курса в расчете на один день 0.35%. коэффициент ковариации между курсом доллара и доходностью акции компании А равен 0,11025. доходностью компании В - 0,281. Ковариация доходностеи акций компании А и компании В равна 1.512. Определить VaR портфеля инвестора в рублях с доверительной верожностыо 95%. Дисперсию
портфеля определить по формуле О^ = J^^Qfi, cov« •
r-i И
Решение.
Рублевый эквивалент стоимости акиий компании А составляет:
200тысх)(Ш. • 29 руб. = 5$мли. руб.,
компании В
ЗООтысдолч. ■ 29 руб. = 8.7млн. руб.
5 8 Уд. вес компании А в портфеле равен: 9Л - —— = 0,4 . компании В:
IH..J
^=А1_0,6.
8 14,5
Риск инвестора обусловлен ipe-мя факторами: возможным падением котировок акций компаний А и В и падением курса доллара.
Дисперсии доходности портфеля равга:
<j;=0,352+0.42-l,262+0,62-L52-» 2-0,4-0,,6-0,281-
-2-0,4-0,6-1,512 = 0,2118. Стандартное отклонение доходности портфеля составляет:
ар = ^0,2118 = 0,4602%.
VaR портфеля равен:
VaR = 14.5,1ан.-О. О04(Ю2-1.65 --ШМые. руб.
Задача 8.27.
Представить решение задачи 8.26 на основе расчеса VaR по каждому фактору риска, если коэффициент корреляции между курсом доллара и доходностью акции компании Л равен 0.25, компании В 0.5352, между лоходностями акиий компании А и компании В - 0.8.
Решение.
Рублевый эквивалент стоимости акций компании Л составляет:
200тыс.<)о. п.-29руб. - 5&лтн. руб.,
компании В:
-300 тыс. долл. -29 руб. = -8,7дми руб.
VaR по акции компании А равен:
VaR4 = 5$мт. руб. ■ 0,0126 -1,65 = 120,5$2тые. руб.
VaR по акции компании В равен:
КаЙ„=-8,7лин.. 0.015-1.65 =-2\5,325тыс. руб.
VaR но валютной позиции равсп:
VaR4 - Щ5млн. руб.■ 0,0=* Z3J2$muc. py6.
VaR портфеля. измеренный дисперсией, составляет:
83.738
120,582
-215,325
(83,,,325)
1 0,25 0.53I 0,8 Д5
= 12122.4.
VaR портфеля, измеренный Стандартным отклонением, равен:
VI2122,4 = 1 \%\тысруб,
Задача 8.28.
Стандартное отклонение доходности перкой акции в расчете на год D десятичных значениях равно 0,5, второй 0.2. ковариаиня доходностей акций
равна 0,09. Рассчитать ковариационную матрицу на основе стандартных отклонении для одного дня и доверительной вероятности 95%. Количество торговых дней в году равно 252.
Решение.
Составим ковариационную матрицу на основе представленных данных в расчете па год:
е=
Г0,5: 0,09ч 0,09 0,2"
Чтобы получить ковариационную матриц)' и расчете па день для доверительной вероятности 95%, ее необходимо умножить на коэффициент:
количество стандартных отклонений, соответ -
К =
к атующих уровеню доверительной вероятности \
(8.5)
количество торговых дней в году Согласно (8.5) коэффициент Л' равен:
К-^1 = 0.0108
Ковариационная матрица в расчете на дс-ir» для доверительной вероятности 95% имеет вид:
0,010804
0,52 0.09 0,09 0,2-
0.002701 0,000972^ 0,000972 0,000432/
Задача 8.29.
Стандартное отклонение доходности первой акции в расчете на год в десятичных значениях равно 0,4, второй 0,3. ковариацня доходностей акций равна 0,058. Рассчитать ковариационную мафицу на основе стандартных отклонений для десяти дней и доверительной вероятности 99%. Количество торговых дней в году равно 252.
Решение.
Составим ковариационную матрицу па основе представленных данных в расчете на год:
Q--
0,4- 0.058^) (0,058 0,32 /
На основе (8.5) с учетом того, что рассматриваемый период времени равен 10 дням и доверительной вероятности 99% соответствует 2,33 стандартных отклонения, коэффициент А.' равен:
К = -^^10 = 0,215433.
Ковариационная матрица н расчете ла 10 дней для доверительной вероятости 99% имеет вид:
0,215433
0.4: 0.:
'0,034^ 0.012495 0,019389]'
Задача 8.30.
Портфель стоимостью 50 млн. руб. состоит из акций двух компаний. Уд. вес акции первой компании в стоимости портфеля составляет 70%, второй — 30%. Стандартное отклонение доходности первой акции в расчете на год равно 50%. второй 30%, ковариация доходиостей акций равна 825. Определить пятидневный VaR с доверительной вероятностью 90% па основе ковариационной матрицы, скорректированной для данного периода времени и уровня доверительной вероятности,
Решение.
Составим ковариационную матрицу на основе представленных данных в расчете на год:
Q'
0,5" 0.0825 0,0825 0,33
На основе (8.5) е учетом тот, что рассматриваемый период времени равен 5 лиям и доверительной вероятности 90% соответствие! 1.28 сшндаржых отклонения, коэффициент А равен:
I 2&2
К = - 5 = 0.032508.
252
Ковариационная матрица в расчете на 5 дней для доверительной вероятности 90% имеет вид:
0.032508
0.5: 0.0я
'0.008ч| ,0.002682 0,002926 J
На акцию первой компании в портфеле приходится сумма:
5O. U.///.0.7 - Ъ5шн. руСк,
на акцию второй компании сумма:
50д1лн.-0,3 - \5млн. руо.
Пятидневный VaR портфеля, равен:
= 3.665.шн./?гб.
/0.008127 0,002682 Y35v Ь\0.002682 0,002926^15
Задача 8.31.
Курс доллара составляет I долл.=28 руб., курс евро - 1евро ~34 руб. Российский банк купил на спотовом рынке 500 гыс. долл. и осуществил короткую поодажу 600 тыс. евро. Стандартное отклонение курса доллара к рублю в расчете на один день еостаздяет 0.4%, евро к рублю - 0,55%. коэффициент корреляции между курсами долл/руб. и евроруб. равен 0,85. Определить однодневный VaR портфеля с доверительной вероятностью 95%. Определить VaR портфеля, рассчитав предварительно VaR по позиции в каждой валюте.
Решение.
Рассчитаем VaR в рублях, так как банк закроет свои позиции в иностранных валютах, конвергировав их в рубли. Долларовая позиция банка в рублях составляет:
500тысдодл.'2%руб. = \4мт. руб,
Позиция но евро в рублях:
600тыс£вро. 34руб. = И)Ам. ш.руб.
Поскольку банк ирода,» евро, то его позицию запишем со знаком минус, т. е. ЮАмян. руб.
VaR по долларовой позиции равен:
14млн. ру6. • 0,004 • 1,65 - 92Атыс. руб-
VaR по евро равен:
-ЮАм. ш.руб• 1,65 = -185,1 Зтысруб.
VaR портфеля составляет:
/ I 0.35Y 92,4
VaR =, 9= 117,1 Штысруб.
1,0,85 1 А — 185.13 s
Задача 8.32.
Решить задачу 8.31. рассчитав дисперсию доходности портфеля по
формуле: о;; =/~"У^,0 cove.
>.i,-1
Решение.
Долларовая позиция банка в рублях составляет:
бООтыс. скмл.-труб. ■ \4млн. ру6.
Позиция по евро в рублях равна:
ЬООтысевро. • Ъ4руСк = 2()Ам-шруб.
Уд. вес долларовой позиции в рублях в портфеле составляет:
14
Оу 0,407 .
ваш -, , а
34,4
237
Глава 8. УаК
позиции ио евро в рублях:
О =2М = 0593
' 34,4
Стандартное отклонение доходности портфеля равно:
-(о.
407" • 0,4" + 0,593" - 0• 0,407 ■ 0, 593 • 0,• О
VaR портфеля равен:
у/2.*>] - и. 2064.
34,4мян. • 0,002064 ■ 1,65 = 117,2тыс.
Задача 8.33.
Определять VaR портфеля для условий задачи 8.31. если банк купил доллары и купил евро.
Решение.
Как было определено в задаче 8.31, VaR долларовой полиции банка в рублях равен 92.4 тыс. руб., VaR полиции по евро банка в рублях равен 185,13 тыс. руб. Поскольку банк купил евро, то полицию учитываем со знаком плюс.
VaR портфеля сославляет:
VaR =.(92 А 185,13)
1 0.85 0,85 1
' 9,13
-268.125wbic. jt7w.
Задача 8.34.
Определить VaR портфеля для условий задачи 8.31, если банк продал и
доллары и евро.
Решение.
Как было определено в задаче 8.31 VaR долларовой позиции банка в рублях равен 92,4 тыс. руб.. по евро в рублю; - 185,13 тыс. руб. Поскольку банк продал и доллары и евро, то обе полиции учитываем со знаком минус.
VaR портфеля составляет:
0,85 1
VaR = .(-92,4 -185,13)
I 0,85V -92,4
,-185,13,
= 268.1 ?3тыс. ру6.
Задача 8.35.
Определить VaR портфеля для условий задачи 8.31, если банк продал доллары и купил евро.
Решение.
Как было определено в задаче 8.31, VaR долларовой позиции банка в рублях равен 92.4 тыс. руб., по евро в рублях 185.13 тыс. руб. Поскольку банк продал доллары и купил евро, то позицию по долларам учитываем со знаком минус, по евро — со знаком плюс.
VaR портфеля составляет:
0.85
VaRp = |( 92,4 185,13]
1 (>.X5V 92.4^
85.13
- 1 П9178тысруб.
Задача 8.36.
Курс доллара 1долл.=28,5 руб., курс евро (евро -36 руб. Российский банк купил на спотовом рынке I млп. долл. и осуществил короткую продажу 2 млн. евро. Стандартное отклонение курса доллара к рублю в расчете на 30 дней 0,9%. евро к рублю - ],\%, коэффициент корреляции между курсами додл'руб. и евро/руб. равен 0.8. Определить десятидневный VaR портфеля с доверительной вероятностью 99%. Определить VaR иор! фсля. рассчитав предварительно VaR по позиции в каждой валюте.
Решение.
Долларовая позиция банка в рублях составляет:
\М:Ш/)ОАА. • 28,5руб. = 2%,5лин. руб.
Позиция по евро в рублях:
-2м! н.енро. - 36/л'й. = - Илпн. руб.
Десятидневный VaR по долларовой позиции с доверительной вероятностью 99% равен:
28.5,н.-ш./п-6. °'00^У10 2#5Ъпыс. руб. л/30
VaR по евро равен:
- 72дмн. руб.°'01^Ш 2,33 = -1065.419тыс. руб.
VaR портфеля Составляет:
VaR =
(345.,419!
1 0,8 0.8 L.
345.,419,
-8l6.076wwe/>m
Задача 8.37.
Десятидневный VaR портфеля инвестора с доверительной вероятностью 99% составляет 500 тыс. руб. Определить VaR портфеля для доверительной вероятности 95%. Предполагается, что доходность портфеля имеет нормальное распределение.
Решение.
Перевести VaR портфеля из одного уровня доверительной вероятности в другой можно по формуле:
VaR, = VaR, -^ ,
(8.6)
где VaR —величина VaR для доверительной вероятное! и zx\ VaR, -величина VaR для доверительной вероятное i и z:; Согласно (8.6) VaR портфеля для доверительной вероятности 95% равен:
500 — = 354,077/ныс/л'о. 2.33
Задача 8.38.
Десятидневный VaR портфеля инвестора с доверительной вероятностью 95% составляет 400 тыс. руб. Определить VaR портфеля для доверительной вероятности 99%. Предполагается, что доходность портфеля имеет нормальное распределение.
Решение.
2 33
Согласно (8.6): 400 = 564Л49тыс. руб.
1,65
Задача 8.39.
Десятидневный VaR портфеля инвестора с доверительной вероятностью 99% составляет 500 тыс. руб. Опрслелить VaR портфеля для одного дня. Предполагается, что доходность портфеля имеет нормальное распределение.
Решение.
Перевести VaR портфеля для одною периода времени в другой можно по формуле:
VaR7~VaRtJ—, (8.7)
где VaRt величина VaR для периода времени /*,: VaR, - величина VaR для периола времени t,. Согласно (8.7) VaR портфеля для одного дня ранен:
SOOmucJ— =158.1 Ытыс. руб.
Задача 8.40.
Однодневный VaR портфеля инвестора с доверительной вероятностью 99% составляет 400 тыс руб. Определить VaR портфеля для десяти дней. Предполагается, что доходность портфеля имеет нормальное распределение,
Решение.
Согласно (8.7): 400пыс.]— = 1264.91 \ тыс. руб.
Задача 8.41.
Портфель стоимостью Ю млн. pvtj. состоит и:* акций только одной компании. Исправленное стандартное отклонение доходности акций в расчете на день равно 1,5%. Расчет был получен на основе данных по доходности акций за I01 день. Определить однодневный VaR с доверительной вероятностью 95%. Определить доверительный интервал для VaR портфеля с коэффициентом доверия / = 0,95. Предполагается, что доходность портфеля имеет нормальное распределение.
Решение.
Доверительной вероятности в 95% соответствует 1,65 стандартных отклонений. VaR портфеля равен:
VARF = Юдин.-0,015-1.65 = 247.5 тыс. руб.
VaR портфеля был рассчитан па основе выборочных данных Оценим доверительный интервал для полученного значения VaR. По данным статистики мы определяем не истинное, а "исправленное" стандартное отклонение доходности портфеля. Истинное значение математического ожидания генеральной совокупности (доходности портфеля), из которой осуществляется выборка данных, также неизвестно. Поэтому для оценки доверительного интервала следует воспользоваться правилами математической статистики для случая "исправленной'* дисперсии с неизвестным математическим ожиданием, а именно формулой:
= l-2a
A I I* A j
где s~ -'"исправленная" дисперсия доходности портфеля;
сг" - истинная дисперсия доходности портфеля;
п — количесшо выборочных данных (наблюдений случайной величины);
%1 - а - квантиль' распределения хи-квадрат с и-1 с юненями свободы.
Из соотношения у = \-2а находим значение а. соответствующее доверительной вероятности 95%:
а = Ь±21 = 0.025.
Количество наблюдений случайной величины составило 101 лень. Полому количество степеней свободы в примере равно 100. По таблице квантилей
распределения" X или с помощью программы Excel" находим квантили Х\->, и XI со степенями свободы 100: £до»1ЭД5б д£025 = 74.22.
Исправленная дисперсия равна: 1,52 = 2,25.
' Для непрерывной случайной величины К а - квангиль значения \, является решением уравнения /•'{ла )=а, где F(x) - функция распределения случайной величины А".
2 См., например, "Математическая статистика" под ред. . . М. МГТУ им.
. 2001,
3 Функция ХИ206Р е разделе Статистические Мастера функций
Нижняя граница доверительною интервала для дисперсии портфеля равна:
^-1У = 100^25
а стаидаэтпого отклонения:
VI. 737 =1.318%. Верхняя граница доверительного интервала для дисперсии равна:
Ги-lV Ю0-2.25
= 3,032
Zl,«* 74.22
я стандартного ткноненин*
Д032 = 1,741%.
Нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала VaR определяем но формулам:
УаПй=Рр-<Тн
VaRv=Pp<Tyz, (8.9)
где VaRf нижняя Гранина доверительного интервала VaR: VaR. - верхняя граница доверительного интервала VaR;
Рр - стоимость портфеля;
z количество стандартных отклонений, соответствующих выбранной доверительной вероятности.
Согласно (8.8) и (8.9) нижняя и верхняя границы доверительною интервала для VaR портфеля равны:
VaR_ = 1 Олин. ■ 0,01318-1,47тысруб. VaR, = 10л/,ш.-(Ш74Ы,65 - 2Ы21тыс. руб.
С доверительной вероятностью 95% можно быть уверенным. что действительное значение VaR лежит в границах от 217,47 тыс. руб. до 287.27 тыс. руб.
Задача 8.42.
Для условий задачи 8.12 определить доверительный интервал для VaR портфеля с коэффициентом доверия /-0,95. Предполагается, что доходность портфеля имеет нормальное распределение. Исправленное стандартное отклонение рассчитано па основе наблюдений за 101 день.
Решение.
Как было определено в задаче 8.12, исправленное стандартное отклонение доходности портфеля равно 1,62%. Исправленная дисперсия составляет:
1,62: =2,6244.
Из соотношения у = \ — 2а находим значение а. соответствующее доверительной вероятности 95%:
e = iz|^ = 0,025.
Количество наблюдений случайной величины составило 101 день. Полому количество степеней свободы в примере равно 100. Но таблице квантилей
распределения '/' или с помощью программы lixcel находим квантили Х\-а и
Ха со сiоленями свободы 100: Ат.; = '-">-* ZSms~'%2>*.
Нижняя Гранина доверительного интервала для дисперсии портфеля равна:
= 2,0256.
(/7-1,6244
ZU " 129.56
а стандартного отклонения:
^2,0256 = 1,4232%.
Верхняя граница доверительного интервала для дисперсии равна:
(л-1).г^ 100-2,6244 _3
Х1ж 74,22
а стандартного отклонения:
,/3,536=1,88%.
По формулам (8.8) и (8.9) находим нижнюю и верхнюю гра:гацы доверительного интервала для VaR портфеля:
VaR, = 10ли«.-0,,65 = 234.828/??Ы(1\р.1'б.
VaRK = 1 Ол/лн. • 0,0188 • 1,65 = 310,2тыс. ру6.
С доверительной вероятностью 95% процентов можно быть уверенным, что действительнее значение VaR портфеля лежит в границах от 234,828 тыс. руб. до 310,2 тыс. руб.
Задача 8.43.
Портфель инвестора состоит из акций компаний X. ¥ и Z. Стоимость портфеля 1 млн. руб. Уд. вес актива А' в портфеле 10%. актива ¥ 40%, актива Z 50%, исправленное стандартное отклонение доходности актива А' составляет 1,6%, актива Г - 1,2%, актива Z 0,8%. ковариацня доходпостей активов X и ¥ равна 1.344, X и Z - 1,088, ¥ и Z - 0,864. Показатели рассчитаны на основе наблюдении за 101 день.
Определить однодневный VaR портфеля с доверительной вероятностью 90%, доверительный интервал хля VaR портфеля с коэффициентом доверия у = 0,99. Предполагается, что доходность портфеля имеет нормальное распределение.
Решение.
Риск портфеля, измеренный дисперсией равен:
(\,Ь - 1.<т; -(0.1 0,4 0,5) 1,344 1,2: 0,864
1,088 0,864 0,8:
0.1
0,4
0.5
0.9779.
Стандаргное отклонение доходности портфеля составляет:
<т.
= Jo,9
VaR портфеля равен:
VaR = \млн. - 0,009889 • 1.28 = 12МЫые. ру6.
Из Соотношения у = \-2а находим чначенис а. соответствующее доверительной вероятности 99%:
а =
1-0,99
-0.005.
Количество наблюдений случайной величины составило 101 день. Поэтому количество степеней свободы в примере равно 100. По таблице квантилей
распределения % или с помошью профаммы bxcel находим квантили Х'\~и и
Ха со степенями свободы 100: X'.... "14017. 2£то = 67,33.
Нижняя граница доверительного интервала для дисперсии портфеля равна:
(и-1)г 100-0,9779
140,17
= 0,698,
ЛГо.-995
а стандартною отклонения:
Д 698 =0,835%. Верхняя граница доверительного интервала для дисперсии равна:
(г;- Г).у?_ 100-0,9779 „
а стандартного отклонения:
>/1,452 = 1,203%.
По формулам (8-8) и (8.9) находим нижнюю и верхнюю (раннцы доверительного интервала для VaR портфеля:
VaRu = \тн.- 0,00698-1,28 = 8,934юыс./>>'б. РОД = Ьм».-0,01203 1,28 = \5>"Штыс. руб.
С доверительной вероятностью 99% проценюв можно быть уверенным, что действительное значение VaR портфеля лежит в фаницах от 8,934 тыс. руб. до 15,398 тыс. руб.
Задача 8.44.
Для условий задачи 8.43 определить доверительный интервал для VaR портфеля с коэффициентом доверия /' = 0,99, если стандартные отклонения и
ковариашш доходностей бумаг были рассчитаны на основе наблюдений за 51 день.
Решение.
Количество наблюдений доходности акций составило 51 день. Поэтому количество степеней свободы в примере равно 50. По таблице квантилей
распределения X или с помощью ирофаммы Excel находим квантили Х\ ,, и
Хи со степенями свободы 50: ^.w = 79-4^ ij^WJ=27,99.
Нижняя граница доверительного интервата для дисперсии портфеля равна:
(«-!)/_ 50-0,9779 _061.
Zlm 79,49 ' '
а стандартного отклонения:
^0,615=0,784%. Верхняя фаница доверительного интервала для дисперсии равна:
(я 1)г_ 500.9779 _171?
Xlm 27-99 ' '
а стандартного отклонения:
VI, 747 =1,322%.
По формулам (8.8) и (8.9) находим нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала для VaR портфеля:
VaRH = Хмлп. • 0,00784 -1,28 = 10, ОЗЗтыс\руб.
К«Лп=1лп«.-0,01322-1,28 = 16.922ты('./па
С доверительной вероятностью 99% процентов можно быть уверенным, что действительное значение VaR портфеля лежит в границах от 10.035 тыс. руб. до 16,922 тыс. руб.
Задача 4.45.
Курс доллара составляв 1долл.=28,5 руб., курс евро 1свро -36 руб. Российский банк купил на енотовом рынке 1 млн. долл. и осуществил короткую продажу 2 млн. евро. Стандартное отклонение курса доллара к рублю в расчете на 10 дней составляет 0.52%. евро к рублю - 0.64%. коэффициент корреляции между курсами долл/руб. и евро/руб. равен 0.8. Определить десятидневный VaR портфеля с доверительной вероятностью 99%. доверительный интервал для VaR портфеля с коэффициентом доверия у = 0.99, если стандартные отклонения
валютных курсов были рассчитаны на основе 76 наблюдений.
Решение.
Долларовая позиция банка в рублях составляет:
[млн. долл.-28,5руб. - 2Ь$мяи. руб.
Позиция но евро в рублях:
2млп. евро.-36руСк = Имш. руо.
Общая стоимость портфеля в рублях равна:
28.5 + 72 = 100,5млн. руб.
Уд. вес долларовой позиции в портфеле (#.„., 1 равен:
*L.=-^-=0,2836.
'■■ i ■
28,5 100.5
Уд. вес позиции в евро в портфеле (0.,., ) равен:
<5f =_2-=0,71М. **• 100,5
Исправленное стандартное отклонение доходности портфе-тя равно :
ст' = 0,2836* 0,51 +0.71641 -0,64" -2 • 0.2836-0, 7164-0.52-0.64 ■ 0,8
п
= 0,123782. Исправленное стандартное отклонение доходности портфеля равно:
ар =^0,123,351827%.
Десятидневный VaR портфеля равен:
100.5лм». ■ 0,00351= 823,855етые.#у&
Из соотношения у = \ — 2а находим знамение а, соответствующее доверительной вероятности 0,99:
a=idp = 0,005.
Количество наблюдений доходности акций составило 76 дней. Поэтому количество степеней свободы в примере равно 75. По таблице квантилей
распределения х~ или с помощью про! раммы Excel находим квантили Х\-а и
Ха со степенями свободы 75: ;f~w = llQ29> £,т =47,21.
Нижняя граница доверительного интервала для дисперсии портфеля равна:
(w l)v: 75-0,123782
= 0.
Zlm 1Ю,29
' При определении дисперсии доходности портфеля корреляцию учитываем со знаком минус, так как банк имеет противоположные позиции по доллару и евро.
а стандартного отклонения:
V0,084175 =0.290129%. Верхняя граница доверительного интервала для дисперсии равна:
(g-l)r= 75-0.123782 =0л9бб46
JtZm 47,21
а стандартного отклонения:
^/0.196646 = 0,443448%.
По формулам (8.8) и (8.9) находим нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала для VaR портфеля:
VaR_ = ШЗмш - 0, 2,33 = 679,38 Ьпысруб.
VaR, - 100.5.u7w.-0,,33 - \0Ж4тыс. руб.
С доверительной вероятностью 99% процентов можно быть уверенным, что действительное значение VaR портфеля лежит в границах от 679.381 1ые. руб. до 1038,4 тыс. руб.
8.2. Показатель средних ожидаемых потерь. EaR
Вопрос 8.46.
О чем говорит показатель средних ожидаемых потерь (expected shortfall) портфеля?
Ответ.
Показатель средних ожидаемых потерь говорит о величине средних потерь для данного уровня доверительной вероятности и периода времени в случае, если убытки превысят значение VaR. Он представляет собой условное математическое ожидание потерь при условии, что их величина оказалась больше значения VaR.
Задача 8.47.
Определить величину средних ожидаемых потерь для одного дня для портфеля стоимостью 10 млн. руб., в который входят акции только одной компании. Стандартное отклонение доходности акции в расчете на день равно 1.5%. Предполагается, что доходность акции имеет нормальное распределение. Доверительная вероятность равна 90%.
Решение.
В случае нормального распределения доходности средние ожидаемые потери определяются по формуле :
s Вывод формулы см. 9 книге 'Управление портфелем ценных бумаг'. М.: Научно-техническое им. Вавилова, 2005. стр. 262-264.
^^(Д/Г^' (8,0)
где А'-величина средних ожидаемых потерь;
£дАтЛГ<КаЯ) ожидаемые потери портфеля в Случае превышения их
значения величины VaRt;
VaR - - значение VaR для уровня доверительной вероятности '/:
гт — с тандар) нос отклонение дохода портфеля; VaR портфеля для уровня доверительной вероятности 90% равен:
VARbp = 10.U7W. ■ 0,015-1,28 = 1 Штысруб.
Стандартное отклонение дохода пор|фсля составляет:
а ~ 1 Олап. ■ 0.015 = 150тыс. ру6.
Согласно формуле (К. 10) величина средних ожидаемых потерь для одного дня для доверительной верой гности 90% составляет:
150ЦХ\Х< 192 = ■ . е -1W_ =-26ХП\тыс. р\&
V ' ' (0.9-1)7^
Задача 8.48.
Определить величину средних ожидаемых потерь для одного дня для портфеля стоимостью 10 млн. руб.. в который входят акшш двух компаний. Уд. вес первой акции в стоимости портфеля составляет 60%, второй - 40%. Стандартное отклонение доходности первой акции в расчете на один день равно 1,58%. второй 1.9%. коэффициент корреляции доходностсн акций равен 0.8. Предполагается, что доходность акций имеет нормальное распределение. Доверительная вероятность раина 95%.
Решение.
Стандартное отклонение доходности портфеля равно:
i сгр =(0,63 -1,58" +0,4 ■ .1.9' +2-0,6-0,4-1.58-1.9-0,8)- =1,62%.
Стандартное отклонение дохода портфеля составляет:
а = \0шн.- 0,0162 = 162mw<\/ntf. VaR портфеля для уровня доверительной вероятности 95% равен: VaR9„ = IO.-IWII.- 0,0162 1,65 = ХЛЗтыс. ру".
Согласно формуле (8.10) величина средних ожидаемых потерь для одного дня для доверительной вероятности 95% составляет:
Е\Х\Х <2ЫЗ) ■ гг=е = -33l,338mwcpra
(0,95-Ш2лг
Задача 8.49.
Российский инвестор купил акции компании А на 400 тыс. долл. Стандартное отклонение доходности акции в расчете на день составляет 1,26%. Курс доллара 1 долл.=29 руб.. стандартное отклонение валютного курса в расчете на один день 0,35%, коэффициент корреляции между курсом доллара и доходностью акции компании А равен 0,25. Определить величину средних ожидаемых ногерь портфеля для одного дня с доверительной вероятностью 95%. Доходность портфеля распределена нормально.
Решение.
Рублевый эквивалент стоимости акций составляет:
МЮтыс\()о. и.-29 руб. = 1 [/>лит. руб. Дисперсия доходности портфеля с учетом валютного риска равна: <72р = 1,26" + 0,352 +2-1,26-0.35-0,25 = 1,9306.
Стандартное отклонение доходности составляет:
<тр = Vl.9306 = 1,38946%.
Однодневный VaR портфеля равен:
] 1.6.1/Л//.-0.,65 = 265.94тыс. руб.
Стандартное отклонение дохода портфеля в рублях равно:
\\,6м;ш. -0,0138946 = 161Л 77.
Согласно формуле (8.10) величина средних ожидаемых потерь для одною дня для доверительной керояшоои 95% составляет:
Е(Х\Х < 265.94) = —161-177 е2.шм7! = -32%662тыс. р\'б.
V ' ' (0.95-1)V2JT
Вопрос 8.50.
О чем говорит показатель EaR (Earnings ai Risk)?
Ответ.
EaR - это противоположное понятие по отношению к VaR. EaR говорит о том, какую максимальную сумму дохода может принес!» портфель инвестора в течение определенного периода времени с заданной доверительной вероятностью. Если доходность портфеля имеет нормальное распределение, и ее среднее значение равно нулю, то показатель EaR равен показателю VaR по абсолютной величине.
Вопрос 8.51.
Стоимость портфеля инвестора составляет 100 млн. руб.. EaR для одного дня равен 5 млн. руб. с доверительной вероятностью 95%. Как можно интерпретировать данную информацию?
Ответ.
а) Вероятность юго, что в течение следующих 24 часов доход инвестора составит меньше 5 млн. руб. равна 95%.
6") Вероятность тот, что в течение следующих 24 часов его доход превысит 5 млн. руб. равна 5%.
в) Инвестор вправе ожидать, что в среднем его Доход в течение 95 дней из каждых 100 дней не превысит 5 млн. руб.. или что он окажется больше 5 млн, руб. в течение 5 дней из каждых 100 дней.
Задача 8.52.
Определить однодневный EaR с доверительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 10 млн. руб., в который входят акции только одной компании. Стандартное отклонение доходности акции в расчете на. день равно 1.5%. Доходность акций распределена нормально.
Решение.
EaR портфеля равен:
EaRp = 1Ом. ш. - 0,015 • 1.65 = 247, бтыс. руб.
Задача 8.53.
()||рсделить однодневный EaR с доверительной вероятностью 95% для портфеля стоимостью 10 млн. руб.. в который входят акции двух компании. Уд. вес первой акции в стоимости портфеля составляет 60%, второй - 40%. Стандартное oi клопенис доходности первой акции в расчете на один день равно 1,58%. второй - 1,9%. коэффициент корреляции доходностей акций равен 0,8. Решение.
Определяем стандартное отклонение доходности портфеля:
1 а =(0,6:-1.582+0,4;-1,9: + 2-0.6-0.4-1,58-1.9-0,8)2=1,62%.
EaR портфеля равен:
EaR., - Юли*.• 0,0162 -1,65 = 2Ы^тЫС. руб.
8.3. Историческое моделирование. Вектор дельта-VaR. Приростный VaR
Задача 8.54.
Портфель состоит только из обыкновенных акций компании Л. Стоимость портфеля равна 1 млн. руб. Определить однодневный VaR портфеля с доверительной вероятностью 90% на основе исторического моделирования. Для моделирования выбран период за предыдущие 11 дней. Цены акции при закрытии за лот период представлены в таблице 8.1. (Десятый день это день. предшествующий расчету VaR).
Таблица 8.1. Курсовая стоимость акции на конец каждого дня (руб.) " Дни
8И7а10 J о10
Решение.
Определяем доходность акции компании Л в расчете па лень за предыдущий десятидневный период по формуле:
г =
S, a
Данные представлены в таблице 8.2.
Таблица 8.2. Доходность акции в расчете па лень (в десятичных значениях)
Дни 1 4 5
Доходность - ОЛП -0,125 0,143 0,125 ОЛП
Дни
9 10
Доходность ОЛП
(Например, доходность за десятый день равна: 10/11 -1 =-0,091.) Изменение стоимости портфеля для конъюнктуры первого дня наблюдений равно:
1000тыс.-(-0.П1) = -11 Шысруб.
Изменение стоимости портфеля ддя конъюнктуры второго дня наблюдений составляет:
1000тыс.{-0Л25)=-\25тыс. руб. и 1.д. Изменение стоимости портфеля для всего периода представлено в таблице 8.3.
Таблица 8.3. Изменение стоимекм и портфеля за каждый день (тыс. руб.)
Дни
1
Изменение стоимости - ш
Дли
Изменение стоимости -91
Расположим результаты в порядке возрастания:
-182;-125;-111:-91; 100; 100; 111; 111; 125; 143
и найдем значение дохода, соответствующее персентилю 10%. (Доверительной всрояшоети 90% соответствует персентиль 10%).
Для дискретной случайной величины зиачс1шс равное искомому персентилю рассчитывается по формуле:
На практике доходности бумаг можно считать на основе логарифмической доходности, т. е. по формуле 1п6',(1
/- _In 5.
персентиль р% {значение)
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
