Тема 1: Системы счисления. Двоичная система счисления. Двоичная арифметика

Тема 1: Системы счисления. Двоичная система счисления.

Двоичная арифметика

Основные понятия

Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр. Например для записи чисел 123, 45678, 1 CXL используются цифры 0, 1, 2, …, I, V, X, L, ….

Под алфавитом системы счисления понимают набор цифр системы счисления. Например, алфавит десятичной системы счисления - {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская система.

Алфавит римской системы счисления: I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев), X – 10 (две ладони), L – 50, C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille), M – 1000 (Mille).

Правила записи чисел в римской системе счисления: - обычно не ставят больше трех одинаковых цифр подряд;
- если младшая цифра стоит слева от старшей, она вычитается из суммы.

Например, в числе 353,3 первая семерка означает 3 сотен, вторая — 3 единиц, а третья — 3 десятых долей единицы.

Число 353,3 можно записать в развернутой форме:

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. 
 Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома от основания p:

N = an pn+an-1pn-1+ ... +a1p1+a0 p0+a-1p-1+a-2p-2+ ...

здесь N - число, aj - коэффициенты (цифры числа), p - основание системы счисления ( p>1).

Принято представлять числа в виде последовательности цифр:

N = anan-1 ... a1a0 . a-1a-2 ...

Например, число 11101,1 двоичной системы счисления:

11101,12=1 24+1 23+1 22+0 21+1 20+1 2-1

Замечание. Нижний индекс числа обозначает основание системы счисления. У чисел десятичной системы счисления индекс не ставится.

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления алфавит – {0, 1}, основание - 2.

Любое число N в этой системе счисления  может быть представлено в виде:

N = an 2n+an-1 2n-1+ ... +a1 21+a0 20+a-1 2-1+a-2 2-2+ ...

здесь N - число, aj - коэффициенты (цифры 0 или 1).

Перевод двоичного числа в десятичную систему счисления.

Для перевода двоичного числа в десятичную систему счисления, достаточно записать число в развернутой форме, а за тем подсчитать значение выражения в десятичной системе счисления. Например, 11011,11

Перевод целого числа десятичной системы счисления в двоичную.

Перевод целых десятичных чисел в двоичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание - 2. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего. Например,

Таким, образом 19=100112.

Перевод правильных дробей десятичной системы счисления в двоичную.

Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание системы 2. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого. Например,

Ответ: 0,375=0,0112.

Замечание. Конечной десятичной дроби в двоичной системе счисления может соответствовать бесконечная (иногда периодическая) дробь. В этом случае количество знаков в представлении дроби в новой системе берется в зависимости от требуемой точности. Например,

0,7 =0, ..=0,1(0110)2

Пример 1. Перевести 131 из десятичной в двоичную систему счисления.

131=.

Пример 2. Перевести число 012 из двоичной в десятичную систему счисления.

Пример 3. Перевести число 3,875 из десятичной в двоичную систему счисления.

Представим число в виде суммы: 3,875=3+0,875. Переведем целую часть числа:

3=112

Переведем дробную часть числа:

0,875 =0,1112

3,875=3+0,875=112+0,1112=11,1112

Задания.

1.  Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: 

а) ; б) ; в) ;

г) 0,; д) 112; е) 1101,01012

2.  Переведите числа из десятичной системы в двоичную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 12510;  б) 22910;  в) 8810;  г) 37,2510;  д) 206,12510.

Двоичная арифметика

Сложение чисел в двоичной системе счисления

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения.

Таблица сложения:

0+0=0

0+1=1

1+1=10

1+1+1=11

При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и переноса из соседнего младшего разряда, если он имеется. При этом необходимо учитывать, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий.

Вычитание чисел в двоичной системе счисления

Таблица вычитания:

0-0=0

1-0=1

10-1=0

При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из старшего разряда. Эта занимаемая 1 равна двум 1 данного разряда.

Умножение чисел в двоичной системе счисления

Таблица вычитания:

0ž0=0

1ž0=0

1ž1=1

0ž1=0

Умножение двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных с помощью таблиц двоичного умножения и сложения.

Деление чисел в двоичной системе счисления

Деление двоичных чисел производится по тем же правилам, что и для десятичных. При этом используются таблицы двоичного умножения и вычитания.

Задания.

1. Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X+Y и X-Y, если:

а) X=1101001; Y=101111;
б) X=; Y=;
в) X=; Y=101011.

2. Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X*Y и X/Y, если:

а) X=; Y=1011;
б) X=; Y=1001;
в) X=100101.011; Y=110.1;
г) X=100000.1101; Y=101.01.

3. Какие целые числа следуют за числами: 
 а) 12; б) 1012;  в) 1112;  г) 11112; д) 1010112.

4.  Какие целые числа предшествуют числам: 
 а) 102; б) 10102; в) 10002; г) 100002; д) 101002;