Для описания многих практически важных свойств случайной величины необходимо знание не только ее математического ожидания, но и отклонения возможных ее значений от среднего значения.
Дисперсия случайной величины — мера разброса случайной величины, равная математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
.
Принимая во внимание свойства математического ожидания, легко показать что
Казалось бы естественным рассматривать не квадрат отклонения случайной величины от ее математического ожидания, а просто отклонение. Однако математическое ожидание этого отклонения равно нулю. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, другие отрицательны, и в результате их взаимного погашения получается ноль. Можно было бы принять за меру рассеяния математическое ожидание модуля отклонения случайной величины от ее математического ожидания, но как правило, действия связанные с абсолютными величинами, приводят к громоздким вычислениям.
Свойства дисперсии:
1. Дисперсия постоянной равна нулю.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.
3. Если x и y независимые случайные величины, то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий.
Средним квадратическим отклонением случайной величины (иногда применяется термин «стандартное отклонение случайной величины») называется число равное 
.
Среднее квадратическое отклонение, является, как и дисперсия, мерой рассеяния распределения, но измеряется, в отличие от дисперсии, в тех же единицах, которые используют для измерения значений случайной величины.
Решение задач:
1) Дана случайная величина Х:
xi | -3 | -2 | 0 | 1 | 2 |
pi | 0,1 | 0,2 | 0,05 | 0,3 | 0,35 |
Найти М(х), D(X).
Решение:
.
=9
=2,31.
.
2) Известно, что М(Х)=5, М(Y)=2. Найти математическое ожидание случайной величины Z=6X-2Y+9-XY.
Решение: М(Z)=6М(Х)-2М(Y)+9-M(X)M(Y)=30-4+9-10=25.
Пример: Известно, что D(Х)=5, D(Y)=2. Найти математическое ожидание случайной величины Z=6X-2Y+9.
Решение: D(Z)=62 D(Х)-22 D(Y)+0=180-8=172.
Тема 7.
Непрерывные случайные величины
Задача 14
Случайная величина, значения которой заполняют некоторый промежуток, называется непрерывной.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).
Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.
Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу.
Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b.
Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле:
Свойства плотности распределения.
1) Плотность распределения – неотрицательная функция.
2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - ¥ до ¥ равен единице.
Решение задач.
1. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью:
Требуется найти коэффициент а, определить вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от 0 до 
.
Решение:
Для нахождения коэффициента а воспользуемся свойством 
.
2 .Задана непрерывная случайная величина х своей функцией распределения f(x).
Требуется определить коэффициент А, найти функцию распределения, определить вероятность того, что случайная величина х попадет в интервал 
.
Решение:
Найдем коэффициент А.
Найдем функцию распределения:
1) На участке 
: 
2) На участке 
3) На участке 
Итого: 
Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал .
Ту же самую вероятность можно искать и другим способом:
Вариант 1
А). Сколько перестановок можно получить из букв слова ВАЛЕТ ?Б). Сколько перестановок будет заканчиваться на гласную букву для четных вариантов, на согласную букву – для не четных вариантов? А). Сколько перестановок можно получить из цифр числа 125367266?
Б). Сколько перестановок будет начинаться с четной цифры для четных вариантов, с нечетной цифры – для нечетных вариантов? Из букв слова ПРОГУЛКА составляются пятибуквенные слова.
А).Сколько таких слов можно получить?
Б) Сколько таких слов начинается с буквы П?
В) А если слова содержат не менее 5 букв?
Решить уравнение
5. | На рисунке приведена схема электрической цепи. События: |
|
={элемент k работает}; С={ в цепи нет разрыва}. Выразить события 
и 
через события 
.
а)Найти значение *;
б) изобразить полигон распределения;
в) найти и изобразить графически функцию распределения;
г )найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале
[3,5; 7,5);
д) Найти вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал [3,5; 7,5);
е) найти математическое ожидание случайной величины Х;
ж) найти дисперсию случайной величины Х;
xi | 2 | 4 | 6 | 7 |
pi | 0,4 | 0,3 | 0,1 | * |
Найти закон распределения случайных величин а )Z=2X+Y; б)U=XY.
xi | -1 | 0 | 1 | 2 |
pi | 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,4 |
yi | -2 | 0 | 1 | 2 |
pi | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,6 |
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 |
