Теория вероятностей (стр. 4 )

в) при 12 выстрелах мишень поражена не более 8 раз означает, что она поражена 0,1,2,…,8 раз. Вычисление каждой из этих вероятностей и их последующее суммирование приведет к очень громоздким вычислениям. Противоположным событием будет событие, состоящее в том, что мишень поражена более 8 раз, т. е. 9, 10, 11 или 12.

Найдем Р12(9)+Р12(10)+Р12(11)+Р12(12)= +0,14189+0,06385+0,01741+

+0,002177=0,225331. Нас интересует вероятность противоположного события, т. е. искомая вероятность равна 1- (Р12(9)+Р12(10)+Р12(11)+Р12(12)).

2)Наивероятнейшее число выстрелов, которые поразят мишень при 125 сделанных выстрелах. Воспользуемся формулой : np - q m0 np + p. Подставив в формулу n=125, р=0,6, q=0,4, получим 74,6 m0 75,6. Следовательно, наивероятнейшее число попаданий будет равно 75.

Найдем Т. к. n=200 достаточно велико (условие ), применяем локальную теорему Муавра-Лапласа. Сначала определим .Тогда по формуле .

Значение найдено по табл.1 приложений.

3) Найдем вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена не менее 110, но не более 130 раз. Так как количество выстрелов и количество попаданий достаточно велико, применение формулы Бернулли будет связано с большими трудностями. Применим интегральную формулу Муавра-Лапласа. Здесь n=200, р=0,6,q=0,4, k1=110, k2=130.

.

Теперь по формуле (15) и учитывая свойства Ф(х), получим

Р200

(по таблице 2 приложений, Ф(1,44)).

4) При 200 выстрелах мишень будет поражена не более 110 раз. Ищем Р200. . Применим интегральную формулу Муавра-Лапласа. Здесь n=200, р=0,6,q=0,4, k1=0, k2=110.

.

5) Вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена не менее 115 раз будем искать, также применяя интегральную формулу Муавра-Лапласа.

Задачи в классе. Здесь n=200, р=0,6,q=0,4, k1=115, k2=200.

.

6) На стрельбы пришла Полина Александровна. Для нее вероятность попадания в мишень равна 0,04. Найти вероятность того, что из 200 выстрелов Полина Александровна попадет в мишень 10 раз.

р=0,04, q=0,96, n=200, m=10.

Т. к. n=200 достаточно велико (условие ), применяем теорему Пуассона , где . . Значение Р10(8) берем из таблицы в приложении III.

Тема 6.

Дискретные случайные величины.

Задачи 12-13.

Числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации испытания случайным образом, называется случайной величиной.

Понятие случайной величины играет весьма важную роль в теории вероятностей. Если «классическая» теория вероятностей изучала главным образом случайные события, то современная теория вероятностей преимущественно имеет дело со случайными величинами.

Сами случайные величины обозначаются прописными латинскими буквами X, Y, Z и т. д., а их возможные значения – соответствующими строчными x, y, z. Например, если случайная величина имеет три возможных значения, то будем обозначать их так: х1 ,х2 ,х3 .

Если случайная величина может принимать конечное или счетное множество значений, то она называется дискретной (дискретно распределенной).

Соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называют законом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения можно задать в виде таблицы, формулы или графически.

При табличном задании закона распределения в первой строке таблицы перечислены все значения случайной величины в порядке возрастания, а в нижней – соответствующие им вероятности.

Причем следует учитывать, что

(1).

Для наглядности ряд распределения случайной величины можно изобразить графически. Для этого в прямоугольной системе координат по оси абсцисс ОХ будем откладывать значения случайной величины, k=1, 2, …, n, а по оси ординат OY – соответствующие им вероятности р1, р2, …, рn. Полученные точки соединяются отрезками прямых.

Построенная таким образом фигура называется многоугольником или полигоном распределения вероятностей.

Многоугольник распределения, также как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину. Он является одним из форм закона распределения.

Функция распределения дискретной случайной величины.

Наиболее общей формой закона распределения является функция распределения , представляющая собой вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее, чем заданное х.

F(х)=Р{X<x} (2).

Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка Х попадет левее заданной точки х.

Дан ряд распределения случайной величины Х.

Найти значение *, найти и изобразить графически функцию распределения.

Решение: так как сумма всех вероятностей, стоящих в нижней строке есть величина равная 1, *=1-(0,4+0,3+0,1)=0,2. Т. е. вероятность того, что случайная величина Х примет значение 7, равна 0,2.

Для нахождения функции распределения будем задавать различные значения х и находить для них F(х)=Р{X<x}.

Заметим, что при подходе слева к точкам разрыва функция сохраняет свое значение, иначе говоря, функция распределения непрерывна слева.

Итак, функция распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующим возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции равна 1.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18