б) ; ; ; .

Тема 2

Классическое определение вероятности. Алгебра событий

Задачи 5 и 6.

Случайным событием ( или просто событием) в теории вероятности называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти. Событие – это не какое-нибудь происшествие, а лишь возможный исход, результат испытания.

Под испытанием (опытом, экспериментом) понимается выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.

События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, . . . .

Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате данного опыта, обозначается через Ω.

Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта. Обозначается Ø.

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте, т. е. они не смогут произойти вместе в одном опыте. В противном случае события называются совместными.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие, т. е. все события имеют равные шансы.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта появится хотя бы одно из них.

Суммой событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т. е. или А, или В, или А и В одновременно).

Произведением событий А и В называется событие С=А·В, состоящее в совместном наступлении этих событий (т. е. и А, и В одновременно).

Разностью событий A и B называется событие C=А-В, состоящее из всех элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B.

Событие называется противоположным событию A, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А (т. е. означает, что событие А не наступило ).

Событие А влечет событие В (или А является частным случаем В), если из того, что происходит событие А следует, что происходит событие В; записывают АВ. Если АВ и ВА, то события А и В называют равными; записывают А=В.

Примеры решения задач.

1.Пусть событие А заключается в том, что первый стрелок попал в мишень,

а событие В заключается в том, что второй стрелок попал в мишень. Тогда событие С=А+В будет заключаться в следующем: или первый стрелок попал в мишень, или второй стрелок попал в мишень, или оба стрелка попали в мишень – иными словами в мишень попал хотя бы один из стрелков.

Событие Д=АВ будет заключаться в том, что в мишень попали оба стрелка.

2.На предприятии выпускают изделия трех сортов. Событие А заключается в том, что выбранное изделие - 1 сорта, событие В заключается в том, что изделие 2 сорта, событие С заключается в том, что изделие третьего сорта.

Тогда событие А+В означает, что выбранное изделие либо 1, либо 2 сорта.

Событие А·В – невозможное событие; событие означает, что выбранное изделие 2 сорта; событие А·В+С означает, что выбранное изделие третьего сорта.

3. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье - 0,8. Найти вероятность того, что только одно отделение получит газеты вовремя;

Решение: Введем события

А1 = (газеты доставлены своевременно в первое отделение),

А2 = (газеты доставлены своевременно во второе отделение),

А3 = (газеты доставлены своевременно в третье отделение),

по условию P(A1)=0,95; P(A2) = 0,9; P(A3)=0,8.

Найдем вероятность события Х = (только одно отделение получит газеты вовремя). Событие Х произойдет, если

или газеты доставлены своевременно в 1 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 3,

или газеты доставлены своевременно в 2 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 3,

или газеты доставлены своевременно в 3 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 1.

Таким образом так как события А1, А2, А3 - независимые, по теоремам сложения и умножения получаем, P(X)=P(A1Ā2A3 + Ā1A2 A3 + A1A2 Ā3)=0,95=0,32

4. На рисунке приведена схема электрической цепи.

События: ={элемент k работает}; С={ в цепи нет разрыва}. Выразить события и через события и .

Решение: С= или, что гораздо проще

С=(А1+А2)(А3+А4). Тогда =A1A2+A3A4.

Тема 3

Геометрическая вероятность.

Задача 7.

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости или пространства).

Обозначим меру (длину, площадь, объем) области через m(Ω). При этом вероятность попадания точки, брошенной наудачу в область A - часть области Ω, равна отношению мер областей A и Ω, соответственно равные m(A) и m(Ω).

Формула геометрической вероятности имеет вид: .

Решение задач.

Задача о встрече

Пьеро и Буратино условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Они договорись, что тот, кто придет первым, ждет другого в течении 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если каждый из друзей может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?

Решение.  Будем считать интервал с 14 до 15 часов дня отрезком [0,1] длиной 1 час. Пусть х и у  —  моменты прихода Пьеро и Буратино (они являются точками отрезка [0,1]). Все возможные результаты эксперимента  –  множество точек квадрата со стороной 1:  .

$\textstyle\parbox{4.6cm}{\hfill \unitlength 0.9mm \linethickness{0.4pt} \begin{... ...ox(0,0)[cc]{1}} \put(11.00,2.00){\makebox(0,0)[cc]{1/6}}\end{picture}\hfill }$

Можно считать, что эксперимент сводится к бросанию точки наудачу в квадрат. При этом благоприятными исходами являются точки множества (10 минут = 1/6 часа). То есть попадание в множество А наудачу брошенной в квадрат точки означает, что Буратино и Пьеро встретятся. Тогда вероятность встречи равна .

2. В прямоугольник 5*4 см2 вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?

Решение: По определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т. е.0353.

3. В треугольник с вершинами в точках (−1 ,0 ) ; (0, 1) ; (3,0) наудачу брошена точка (х, у ) . Найти вероятность того, что координаты точки удовлетворяют неравенству

2x + y ≤ 0.

Решение: Сделать чертеж. Закрасить область, удовлетворяющую условию задачи. P=1/6.

Тема 4

Полная вероятность. Формула Байеса.

Задача 8.

Пусть событие А может произойти в результате осуществления одного события из

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18