Процесс рождения и гибели – это такой процесс, когда из состояния i возможно переход только на соседнее состояние (i + 1 и i – 1), либо система остаётся в состоянии i. При этом вероятность того, что за время τ → 0 произойдёт более одного изменения состояния, равно 0(τ).
При использовании процесса рождения и гибели значения вероятности Pi определяется в следующем порядке:
1. Составляется диаграмма переходов.
2. Анализируя каждую вершину диаграммы переходов составляется уравнения для вероятностного состояния.
-λP0 + βP1 = 0
λP0 – (λ + β)P1 + 2βP2 = 0
λPV-1 - VβPV = 0
В момент t пучок находится в состоянии (i – 1) Pi-1 (t) и за время τ на обслуживание поступит точно один вызов Pi(τ). Тогда вероятность перехода пучка за промежуток времени (t, t + τ) из состояния i – 1 в состояния i составляет Pi-1, i (τ) = Pi-1 (t) Pi (τ). При этом вероятность Pi (τ) является условной. Она определяется с учётом того, что в момент t пучок находился в состоянии i – 1. В момент t пучок находится в состоянии i + 1 Pi+1 (t) и за время τ освободится точно одна из i + 1 занятых линий Pi+1 (τ). Вероятность перехода пучка за промежуток времени [t, t + τ) из состояния i + 1 в состояние i составляет Pi+1,i (τ) = Pi+1 (t) Pi+1 (τ). В момент t пучок находится в состоянии i Pi (t). За время τ пучок не изменяет своего состояния, он остаётся в состоянии i, т. е. на пучок не поступает вызов и в нём не освобождается ни одна из занятых линий, вероятность этого события (1 Pi (τ) – Pос i (τ)]. Вероятность перехода пучка из состояния i в состояние i:
Pii (τ) = Pi (t) [(1 – Pi (τ) – Poci (τ)]
4. За время [t, t+τ] в пучке происходят два и более переходов в результате поступления двух и более вызовов, либо освобождение двух и более линий, либо поступления одного и более вызовов и одновременно освобождение одной и более линий. Вероятность таких событий составляет 0 (τ).
Рассмотрим пример расчёта:
У = 2 Эрл Po = = =
V = 3
Pi = ? = ≈ 0,35
P1 = = 0,25 P2 = … 0,25
Для расчёта Pi целесообразно использовать рекуретную формулу.
= =
Pi = У / i * Pi-1
Определяем среднее число занятых линий.
M (i) = ∑ i Pi = ∑ i = У =
= = У (1 – PV)
Определяем характеристики качества обслуживаний вызовов.
Вероятность потери по времени равно численно вероятности занятости всех V линий.
Pt = PV =
Определяем вероятность потерь по вызовам.
Pb = MП / М – интенсивность потерь потока вызовов
μ = λРV - интенсивность поступившего потока вызовов
МП = ∑ λPi = λ
РВ = МП / М = λРV / λ = PV
Определяем вероятность потерь по нагрузке.
PH = УП / У = = = PV
У0 = М(i) = У (1 – РV)
РВ = РН = Рt = РV
P = - первая формула Эрланга
Для облегчения практических расчётов формула Эрланга табулирована. Эта таблица называется таблицей Пальма. Очень часто используется символическая запись распределения Эрланга и первой формулы Эрланга.
Pi = EV, i (У) =
P = EVV (У) =
Произведём логический анализ первой формулы Эрланга.
При этом учтём, что
Если P = Ey (V) при у = const.= = У/V [1 – EV (У)]
EV (У) [1 + (У/V) * EV-1 (У)] = У/V EV-1 (У)
EV (У) = - рекуретная формула Эрланга
Рассмотрим пример расчёта.
1) У = 3 Эрл P = EV (У) = У4 (3) = (3/4) / ∑ 34/4! = 0,35
V = 4
P = ?
2) V = 15 лин Р = EV (У) 0,005 = E15 (У)
Р = 5 %
У = ? У = 8 Эрл
Лекция 10.
Тема: Обслуживания вызовов примитивным потоком.
Симметричным потоком называется поток с простым последействием, параметр которого λs(t) в любой момент времени t зависит только от числа i обслуживаемых в этот момент вызовов и не зависит от других характеристик, определяющих состояние S(t) коммуникационной системы.
Примитивным называется такой симметричный поток, параметр которого λi прямо пропорционален числу свободных в данных момент источников:
λi = (n – i)α
где n – общее число источников вызова;
i – число занятых источников, α - параметр потока источника в свободном состоянии.
λ = ∑ λi Pi
Pi – вероятность того, что в системе занято i источников. Заметим, что в обслуживающей примитивный поток КС не требуется соединительных устройств более n, так как занятый источник не может производить вызовы.
Пусть имеется однозвенная КС. На вход этой КС поступает вызов от примитивного потока с параметром λi.
На входе КС полнодоступно включено V линий. Вызовы обслуживаются по дисциплине обслуживания вызова с явными потерями. Время обслуживания вызова является случайной величиной распределённой по экспоненциальному закону с параметром β. Требуется определить характеристику обслуживания вызовов.
Рассмотрим возможное состояние системы. Под состоянием системы будем понимать число занятых линий и составляем диаграмму переходов.
- λ0 P0 + P1 = 0
λi-1 Pi-1 – (λi + i)Pi + (i + 1) Pi+1 = 0
λ V-i PV-1 – VPV = 0
Pi = * P0 -> вероятность того, что этот пучок находится в
состоянии i.
Pi = * P0 = * P0 = Cin αi – P0
Cin = =
C210 = = 45
С учётом условия нормировки ∑ Рi = 1 имеем ∑ Сin αi P0 = 1
P0 = Pi =
Эта формула называется распределением Энгсета.
Необходимо отметить что, простейший поток можно рассматривать как предельный частный случай примитивного потока, отсюда формула Энгсета является более общей, чем формула Эрланга, и формулу Эрланга можно получить из формулы Энгсета. Для этого и одновременно λ-0 параметр одного свободного источника. При этом λ вызовов всех свободных источников сохраняем const.
lim Cin αi = lim αi = lim ni*αi / i! = λi / i!
lim Pi = lim =
Для практических расчётов целесообразно использовать не параметр потока от данного источника α, а нагрузку поступающую от одного источника.
Нагрузка поступающая от одного источника обозначим через а.
0 ≤ a ≤ 1
Для определения величины а рассмотрим систему содержащую один источник и одну линию.
n = V = 1, т. е. систему в которой число линий равно числу источников.
P0 = 1 / (1 + α) P1 = α / (α + 1) P1 = a = α / (1 + α)
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 |
