Если заряд распределен по кольцу неравномерно, то выражения для потенциала и напряженности, определяемыми формулами (3) и (4), не изменятся, но проекции вектора напряженности электрического поля на оси и не будут равны нулю. В этом случае, чтобы найти и в точках, лежащих на оси , следует определить потенциал электрического поля в любой точке пространства, а затем дифференцированием получить выражения для проекций и . Чтобы найти эти величины в точках на оси кольца, надо в полученные выражения подставить значения и .

Ответ: , .

Задача 6. Длинный цилиндр радиусом 2 см заряжен положительным зарядом с объемной плотностью заряда 2 мкКл/м3. Найти напряженность поля в точках лежащих на расстояниях 1 см и 3 см от оси цилиндра, и разность потенциалов между этими точками. Построить графики зависимости напряженности и потенциала от расстояния от оси цилиндра.

Решение. Сделаем рисунок, соответствующей условию задачи.

Электрическое поле создано равномерно распределенным по цилиндру зарядом. Это позволяет сделать вывод о том, что поле обладает осевой симметрией: силовые линии этого поля – прямые, лежащие в плоскостях перпендикулярных оси цилиндра. Силовые линии этого поля направлены по радиусу цилиндра. Такое расположение силовых линий позволяет для решения задачи использовать теорему Остроградского – Гаусса.

Рис.7

Для того, чтобы воспользоваться этой теоремой, выберем произвольную поверхность в форме цилиндра, ось которого совпадает с осью данного заряженного цилиндра, а высота меньше высоты заряженного цилиндра. В соответствии с условиями задачи выберем две поверхности, одна из которых имеет радиус равный , а другая имеет радиус . Для каждой поверхности теорема Остроградского – Гаусса может быть записана в виде:

(1)

Так как вектор напряженности электрического поля и нормаль к основаниям цилиндров составляет угол 900, то поток через основания цилиндров равен нулю. Тогда при вычислении интеграла в формуле (1) необходимо вычислить только поток вектора напряженности электрического поля через боковую поверхность цилиндров. На боковых поверхностях цилиндров направление вектора напряженности совпадает с направлением вектора нормали к поверхности. Поэтому можно записать:

(2)

где и - радиус и высота выбранных вспомогательных цилиндров. Теперь найдем суммарный заряд, который расположен внутри этих цилиндров.

В первом случае, когда суммарный заряд определяется формулой:

. (3)

Здесь - расстояние от оси цилиндра до точки, в которой определяется напряженность электрического поля. Подставляя выражения (2) и (3) в формулу (1), получаем:

, откуда следует формула напряженности электрического поля

(4)

Если , то . Подставляем это выражение и формулу (2) в формулу (1), получаем: . Отсюда находим напряженность электрического поля в точках, в которых :

(5).

Проверяем размерность величин, полученных в формулах (4) и (5):

Теперь после проверки размерности можно подставить численные значения и получить результат:

При , а при .

Чтобы найти разность потенциалов между указанными в задаче точками воспользуемся формулой:

(6).

Для решения задачи интеграл в формуле (6) надо разбить на два интеграла: первый интеграл берется от точки до точки на поверхности заряженного цилиндра, а второй – от точки до точки :

.

При вычислении этого интеграла в первый интеграл надо подставить формулу (4), а во второй – формулу (5), тогда:

.

Проверим размерность полученной величины:

.

Теперь можно подставить численные значения и вычислить разность потенциалов: .

Для построения графика зависимости напряженности от расстояния от оси цилиндра вычислим напряженность поля на поверхности цилиндра. Это позволяет определить точку, в которой функция зависимости напряженности от расстояния изменяет вид.

.

Теперь можно построить график функции :

.

Принципиальный вид функции представлен на рисунке 8.

Рис.8

График зависимости можно построить из анализа графика функции , учитывая, что . Зависимость можно получить интегрированием последней формулы. При этом надо учесть наличие произвольной постоянной величины:

.

Чтобы определить эту постоянную величину, надо задать начальные условия. В качестве начального условия можно выбрать значение потенциала в точках на оси цилиндра. Пусть, например, .

Так как во всей области напряженность больше нуля, то, как следует из формулы для потенциала, потенциал непрерывно убывает: . Принципиальный график представлен на рисунке 9. На этом же графике пунктиром показана зависимость потенциала от расстояния при выборе другого начального условия. Этот случай соответствует начальному условию . При построении этого графика функция исследовалась на определение точки перегиба и направление вогнутости на разных участках.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13