Металлическая пластина является эквипотенциальной поверхностью. Поэтому силовые линии электрического поля перпендикулярны плоскости пластины. Тогда результирующее поле, созданное зарядом и индуцированным зарядом пластины, можно смоделировать и заменить электрическим полем, которой создается двумя точечными зарядами, один из которых заряд , а второй – заряд противоположного знака, расположенный симметрично относительно пластины. Теперь рассмотрим решение отдельных условий задачи,

1. В любой точке справа от пластины напряженность и потенциал электрического поля можно найти по формулам:

, (1)

В точке потенциал, созданный зарядом , определяется по формуле потенциала поля точечного заряда:

.

Потенциал, созданный зарядом , в этой же точке определяется по формуле:

.

Теперь эти формулы подставим в формулу (1) и найдем потенциал в точке :

. (2)

Размерность полученной величины можно проверить устно, так как известна формула потенциала точечного заряда. Теперь в последнюю формулу можно подставить численные значения и вычислить потенциал в точке : .

Так как пластина заземлена, то напряженность поля слева от пластины равна нулю, следовательно, потенциал в этих точках также будет равен нулю. Тогда .

Рис.14

2. Чтобы определить поверхностную плотность в точке , надо определить напряженность поля в точке, близко подходящей к точке , справа. Напряженность электрического поля в этой точке создается уже известными зарядами и . В силу симметричного расположения этих зарядов относительно металлической пластины и точки , для искомых напряженностей можно записать формулы:

. (3)

Результирующий вектор напряженности должен быть направлен перпендикулярно металлической пластине. Тогда по правилу сложения векторов с учетом последнего выражения получим формулу для напряженности электрического поля в точке :

.

Из теоремы Остроградского - Гаусса известно, что напряженность электрического поля у поверхности проводника определяется формулой:

, где - поверхностная плотность индуцированных зарядов.

Теперь из последних двух формул можно определить поверхностную плотность индуцированных зарядов в точке на пластине:

. (4)

Размерность полученной величины легко проверяется устно. Тогда можно подставить численные значения и вычислить поверхностную плотность заряда в точке : .

3. Из формулы поверхностной плотности заряда на пластине видно, что она зависит от расстояния от заряда . Чтобы найти эту зависимость, из заряда проведем перпендикуляр к поверхности пластины. Точку пересечения этого перпендикуляра с поверхностью выберем как центр окружности радиуса . Такая окружность будет множеством точек, равноудаленных от заряда . Эта ситуация изображена на рисунке 15.

Точки этой окружности имеют одинаковую поверхностную плотность заряда. Тогда чтобы найти суммарный индуцированный на пластине заряд, необходимо выделить элементарную площадку , в пределах которой поверхностную плотность заряда можно считать постоянной. Такой площадкой будет кольцо с радиусами и . Площадь такой площадки равна , а расстояние от заряда до точек этой площадки равно . Теперь используем формулу (4) и получим:

.

Тогда заряд площадки площадью равен: . Теперь чтобы найти величину заряда, необходимо проинтегрировать последнее выражение с учетом, что изменяется от нуля до .

.

Рис.15

Таким образом, на пластине индуцирован заряд равный заряду , но противоположный по знаку.

Ответ: 1. ; ; 2. ; 3. .

Задача 12. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 6 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом 300 к направлению поля и начинает двигаться по спирали. Индукция магнитного поля равна В =.Найти радиус витка и шаг спирали.

Дано:

Рис.4

Найти:

R, h.

Решение: Скорость электрона найдем из условия, что работа сил электрического поля затрачивается на изменение кинетической энергии электрона:

А = ΔW. Работа в электрическом поле равна произведению заряда на разность потенциалов: А = qU. Начальная кинетическая энергия равна нулю, поэтому ΔW = W. Следовательно:

отсюда . (1)

Разложим скорость электрона, влетающего в магнитное поле, на две составляющие: - составляющая скорости, направленная вдоль силовых линий поля и - составляющая скорости, направленная перпендикулярно силовым линиям поля. Из рис. 4:

Проекция траектории электрона на плоскость, перпендикулярную к вектору , представляет собой окружность, следовательно, сила Лоренца сообщает частице нормальное (центростремительное) ускорение. Сила Лоренца равна:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13