МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Бийский технологический институт (филиал)

федерального государственного бюджетного образовательного

учреждения высшего профессионального образования

«Алтайский государственный технический

университет им. »

, ,

МАТЕМАТИКА

В четырёх частях

Часть вторая

Неопределенный и определенный
интегралы. Дифференциальное исчисление
функции двух переменных.

Дифференциальные уравнения.

Двойные и тройные интегралы

Методические рекомендации по проведению

практических занятий для студентов специальностей

151900 – «Конструкторско-технологическое обеспечение

машиностроительных производств», 170100 – «Боеприпасы

и взрыватели», 160700 – «Проектирование авиационных

и ракетных двигателей», 230400 – «Информационные
системы и технологии»

Бийск

Издательство Алтайского государственного технического
университета им.

 
 
2012

УДК 517

Рецензент:

, к. т.н., профессор кафедры МРСиИ
БТИ АлтГТУ

Тушкина, Т. М.

Математика. В 4 ч. Ч. 2. Неопределенный и определенный интег-ралы. Дифференциальное исчисление функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Двойные и тройные интегралы: методические рекомендации по проведению практических занятий для студентов специальностей 151900 – «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», 170100 – «Боеприпасы и взрыватели», 160700 – «Проектирование авиационных и ракетных двигателей», 230400 – «Информационные системы и технологии» / ,
, ; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2012. – 89 с.

В методических рекомендациях сформулированы цели и задачи практических занятий по курсу «Математика», приведены тематика практических занятий, краткие теоретические сведения, раскрывающие сущность изучаемых тем курса, примеры решения основных типов задач, даны рекомендации студентам по подготовке к занятиям.

УДК 517

Рассмотрены и одобрены

на заседании кафедры высшей

математики и математической физики.

Протокол № 7 от 01.01.2001 г.

© , ,

, 2012

 

© БТИ АлтГТУ, 2012

СОДЕРЖАНИЕ

1 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»…………………………………...

5

2 СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ…………………………………………..

5

2.1 Практические занятия № 1–2. Первообразная и ее свойства. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой……………………………………………………..

2.2 Практическое занятие № 3. Интегрирование простейших дробей и рациональных дробей…………………………………...

2.3 Практическое занятие № 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и гиперболические функции

2.4 Практическое занятие № 5. Интегрирование иррациональных выражений………………………………………

2.5 Практические занятия № 6–7. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и подстановкой. Несобственные интегралы………………………………………...

2.6 Практическое занятие № 8. Контрольная работа по теме «Интегралы»………………………………………………………..

2.7 Практическое занятие № 9. Вычисление площадей в декартовых и полярных координатах. Вычисление длин дуг. Вычисление объемов тел, площадей поверхностей вращения, приложения к механике……………………………………………

2.8 Практические занятия № 10–11. Частные производные функций нескольких переменных. Градиент и производная по направлению вектора. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности……………………………………………

2.9 Практическое занятие № 12. Абсолютный экстремум. Условный экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции, заданной в области и на границе……………………………………………………………...

2.10 Практическое занятие № 13. Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения…………………………….

2.11 Практическое занятие № 14. Уравнения, приводящиеся к однородным. Уравнения в полных дифференциалах………….....

2.12 Практическое занятие № 15. Интегрирование линейных уравнений. Метод вариации произвольной постоянной………...

2.13 Практическое занятие № 16. Уравнения второго порядка и их решение путем понижения степени…………………………....

2.14 Практическое занятие № 17. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение. Уравнение с правой частью в виде многочлена, экспоненты, гармоники………………………………………….….

2.15 Практическое занятие № 18. Решение систем дифференциальных уравнений…………………………………..…

2.16 Практическое занятие № 19. Контрольная работа по теме «Дифференциальные уравнения»………………………………..…

2.17 Практическое занятие № 20. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах…………………………..….

2.18 Практическое занятие № 21. Замена переменных в двойном интеграле………………………………………………..…

2.19 Практическое занятие № 22. Приложения двойного интеграла………………………………………………………..…...

2.20 Практическое занятие № 23. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах…………………………..….

2.21 Практическое занятие № 24. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты……..….

2.22 Практическое занятие № 25. Приложения тройного интеграла…………………………………………………………….

7

11

16

22

27

35

36

40

45

48

52

57

61

63

68

70

70

74

77

80

82

85

3 ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЙ……………………………...

88

ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………….….

88

1 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
ПО дисциплине «Математика»

Во втором семестре студенты вышеуказанных специальностей изучают следующие разделы математики: «Неопределенный и определенный интеграл», «Дифференциальное исчисление функции двух переменных», «Дифференциальные уравнения», «Двойные и тройные интегралы».

Практические занятия способствуют закреплению теоретических знаний и приобретению навыков решения задач математического анализа. Целью практических занятий является развитие творческого потенциала, познавательной деятельности и самостоятельности мышления студентов при изучении дисциплины «Математика».

Задачами практических занятий являются:

·  закрепление знаний студентов по дисциплине для использования в инженерной практике и обоснования используемых на практике алгоритмов;

·  обучение студентов основным методам дисциплины;

·  приобретение студентами умений и навыков математического исследования прикладных вопросов;

·  изучение и анализ литературных источников по дисциплине «Математика».

2 СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ

В таблице 1 представлены темы практических занятий и их объем.

Таблица 1 – Темы практических занятий

Темы практических занятий

Объем, ч

1

2

1–2 Первообразная и ее свойства. Непосредственное

интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой

4

3 Интегрирование простейших дробей и рациональных

дробей

2

4 Интегрирование выражений, содержащих

тригонометрические и гиперболические функции

2

5 Интегрирование иррациональных выражений

2

6–7 Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и подстановкой. Несобственные интегралы

4

8 Контрольная работа по теме «Интегралы»

2

Продолжение таблицы 1

1

2

9 Вычисление площадей в декартовых и полярных

координатах. Вычисление длин дуг. Вычисление объемов тел, площадей поверхностей вращения, приложения к механике

2

10–11 Частные производные функций нескольких переменных. Градиент и производная по направлению вектора.

Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

4

12 Абсолютный экстремум. Условный экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение

функции, заданной в области и на границе

2

13 Уравнения с разделяющимися переменными, одно­родные уравнения

2

14 Уравнения, приводящиеся к однородным. Уравнения в полных дифференциалах

2

15 Интегрирование линейных уравнений. Метод вариации произвольной постоянной

2

16 Уравнения второго порядка и их решение путем

понижения степени

2

17 Линейные однородные уравнения с постоянными

коэффициентами, характеристическое уравнение.

Уравнение с правой частью в виде многочлена, экспоненты, гармоники

2

18 Метод вариации произвольных постоянных. Решение

систем дифференциальных уравнений

2

19 Контрольная работа по теме «Дифференциальные

уравнения»

2

20 Вычисление двой­ного интеграла в декартовых

координатах

2

21 Замена переменных в двойном интеграле

2

22 Приложения двойного интеграла

2

23 Вычисление трой­ного интеграла в декартовых

координатах

2

24 Замена переменных в тройном интеграле.

Цилиндрические и сферические координаты

2

25 Приложения тройного интеграла

2

2.1 Практические занятия № 1–2. Первообразная и ее свойства. Непосредственное интегрирование.

Интегрирование по частям и подстановкой

2.1.1 Теоретические сведения и методические рекомендации
по решению задач

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство F¢(x) = f(x).

Определение. Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением F(x) + C. Записывают:

Свойства:

1)

2)

3)

4) где u, v, w – некоторые функции от х;

5)

В таблице 2 представлены основные значения неопределённых интегралов.

Таблица 2 – Таблица неопределённых интегралов

Интеграл

Значение

Интеграл

Значение

1

-ln½cosx½+C

11

ex + C

2

ln½sinx½+ C

12

sin x + C

3

13

-cos x + C

4

14

tg x + C

5

15

-ctg x + C

Продолжение таблицы 2

Интеграл

Значение

Интеграл

Значение

6

16

+ C

7

17

8

18

9

19

10

20

Теорема. Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получим

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5