Данное уравнение сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки 
, где 
– новая неизвестная функция.
2.10.2 Примеры решения задач
№ 000 [5]. Решить дифференциальное уравнение
.
Решение
Поделив обе части уравнения на произведение 
,
получим уравнение с разделенными переменными
,
откуда находим общий интеграл
.
Следовательно, 
.
№ 000 [5]. Решить дифференциальное уравнение
.
Решение
Раскрывая скобки и группируя произведения, содержащие производную, получим 
. Выразим производную через дифференциалы переменных 
, умножим обе части урав-
нения на 
и разделим на произведение 
, тогда 
. Интегрируя, получим 
Выделяя из квадратного двучлена полный квадрат 
, записывая 
вместо 
и интегрируя, получим:
.
Откуда
,
причем для удобства дальнейших преобразований в качестве произвольного постоянного выбрано 
. Потенцируя, получим 
, следовательно, общее решение 
, где 
.
№ 000 [5]. Проинтегрировать дифференциальное уравнение 
.
Решение
Разрешим уравнение относительно производной 
и выполним справа почленное деление 
. Осуществим замену 
, тогда 
, а 
. Уравнение преобразует-
ся к виду 
, откуда 
. Интегрируя, имеем 
. Исключая вспомогательную переменную 
, получим 
. Следовательно, искомое общее решение 
.
№ 000 [4]. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Решение
введем замену 
2.10.3 Задачи для самостоятельного решения
Выполнить задания № 000, 2748–2750, 2771–2774 [5].
2.10.4 Домашнее задание
1. Изучить теоретический материал по теме «Уравнения, приводящиеся к однородным. Уравнения в полных дифференциалах».
2. Выполнить задания № 000, 2744, 2747, 2768, 2769 [5].
2.11 Практическое занятие № 14. Уравнения, приводящиеся
к однородным. Уравнения в полных дифференциалах
2.11.1 Теоретические сведения и методические рекомендации
по решению задач
Рассмотрим уравнение вида
.
Если 
, то уравнение однородное, так как
Если отлично от нуля по крайней мере одно из чисел 
или 
, то преобразование проводят с помощью замены 
где 
и 
– новые переменные, а 
и 
– постоянные величины преобразования. Так как 
, а 
, то уравнение примет вид
.
Постоянные и определим из системы 
а однородное уравнение 
преобразуем к стандартному виду 
.
Если главный определитель системы 
, то коэффициенты при х и y в равенстве пропорциональны, правая часть имеет вид
.
Уравнение 
приводится к уравнению с разделя-ющимися переменными с помощью замены 
. Тогда 
Подставляя, получим 
, или
.
Тогда 
, заменим переменную через 
, получим общий интеграл уравнения.
Определение. Уравнение вида
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции 
, то есть
Для того чтобы уравнение было в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнение условия
.
В этом случае 
есть общий интеграл уравнения. Функция может быть найдена из системы уравнений
Все функции, удовлетворяющие первому уравнению системы, выражаются формулой
,
где 
– произвольная функция аргумента y, не зависящая от 
.
Определим величину так, чтобы функция 
удов-
летворяла и второму уравнению системы. С этой целью равен-
ство дифференцируем по аргументу 
, приравниваем эту частную производную к функции 
и из полученного уравнения 
находим производную 
. Интегрируя, определим величину . Подставив ее в равенство 
, получим искомую функцию.
2.11.2 Примеры решения задач
№ 000 [4]. Решить уравнение 
.
Решение
, то есть 
– данное урав-нение есть уравнение в полных дифференциалах.
. Для определения функ-ции 
находим производную 
, приравниваем
ее к функции 
и из полученного уравнения 
находим 
. Интегрируя, получим 
, следовательно, 
, а общий интеграл данного уравнения 
, или 
. Обозначим 
, тогда общий интеграл уравнения определяется соотношением 
, где 
– произвольная постоянная.
№ 000 [4]. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Решение
№ 000 [4]. Решить уравнение 
.
Решение
Так как 
, осуществим замену 
Из системы 
определим 
. Поэтому 
, 
, откуда 
, 
. Подставляя в исходное уравнение, получим 
, или 
. Используя замену 
, полу-
чим 
, или 
, а после разделения
переменных 
=> 
, тогда 
. Потенцируя, найдем 
, следовательно, 
. Так как , то 
, или 
. Осуществим обратную замену 
, получим общий интеграл исходного уравнения 
. После упрощений окончательно 
.
№ 000 [4]. Решить уравнение
.
Решение
Так как коэффициенты при переменных и в выражениях 
и 
пропорциональны, то воспользуемся подстановкой 
. Отсюда имеем 
, подставляя в уравнение, получим:
, или 
.
Разделяя переменные, интегрируем 
; 
. Заменив в этом равенстве функцию через 
, получим общий интеграл исходного уравнения 
, или 
.
2.11.3 Задачи для самостоятельного решения
Выполнить задания № 000, 2777, 2802, 2804 [5].
2.11.4 Домашнее задание
1. Изучить теоретический материал по теме «Интегрирование линейных уравнений. Метод вариации произвольной постоянной».
2. Выполнить задания № 000, 2803, 2805, 2806 [ 5].
2.12 Практическое занятие № 15. Интегрирование линейных уравнений. Метод вариации произвольной постоянной
2.12.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач
Определение. Уравнение вида 
, где 
и
– непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Если 
, то данное уравнение называется линейным однородным уравнением, при 
уравнение – линейное неоднородное.
Для нахождения общего решения данного уравнения применим метод вариации постоянной.
Найдем на первом этапе общее решение линейного однородного уравнения 
, соответствующего исходному неоднородному. Разделяя переменные и интегрируя, получим 
, 
. Потенцируя, находим общее решение однородного уравнения 
.
На втором этапе найдем общее решение исходного уравнения, считая функцией аргумента . Для определения величины 
подставим в исходное уравнение. Получим 
, или 
.
Интегрируя, находим 
. Подставляя найденное выражение в , получим общее решение исходного линейного уравнения
.
Для решения линейного неоднородного уравнения можно также использовать метод Бернулли. Искомую функцию определим как произведение 
, тогда 
. Подставляя и 
в исходное уравнение, получим 
, или 
. В качестве выберем такую функцию, для которой выражение, заключенное в квадратные скобки, равно
нулю. Тогда в равенстве возможно
разделение переменных. Разрешим относительно равенство 
, 
, или 
. Тогда полу-
чим уравнение для искомой функции : 
, или 
, откуда 
. Следовательно, общее решение исходного уравнения определится равенством
.
2.12.2 Примеры решения задач
№ 000 [5]. Найти общий интеграл уравнения 
.
Решение
Применим метод вариации, для этого разрешим однородное уравнение 
. Разделив переменные, получим 
, 
. Потенцируя, выразим общее решение однородного уравнения 
. Дифференцируя, находим 
. Подставляя в исходное уравнение и , получим 
, или 
, откуда 
. Следовательно, общее решение имеет вид 
, или 
.
№ 000 [5]. Найти частное решение уравнения
, удовлетворяющее начальному условию 
при 
.
Решение
Используя метод Бернулли, найдем общее решение 
в два этапа.
, откуда:
а)
,
тогда 
, или 
;
б)
, откуда 
. Осуществим замену 
, тогда 
.
Возвращаясь к переменной , получим 
, в результате общее решение 
.
Используя начальное условие, определим значение :
.
Частное решение имеет вид 
.
№ 000 [4]. Найти частное решение уравнения 
0,
удовлетворяющее начальному условию 
Решение
Пусть 
Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции 
, находим:
1) 
2) 
– общее решение.
– частное решение.
2.12.3 Задачи для самостоятельного решения
Выполнить задания № 000, 2787, 2789, 2792, 2837, 2854 [5].
2.12.4 Домашнее задание
1. Изучить теоретический материал по теме «Уравнения второго порядка и их решение путем понижения степени».
2. Выполнить задания № 000, 2791, 2793, 2836 [5].
2.13 Практическое занятие № 16. Уравнения второго порядка и их решение путем понижения степени
2.13.1 Теоретические сведения и методические рекомендации
по решению задач
Определение. Уравнение вида 
, где – независимая переменная, – искомая функция, и 
– ее производные, называется дифференциальным уравнением второго порядка.
Если уравнение представимо в виде 
то его называют разрешенным относительно второй производной.
Отметим три частных вида уравнения в которых решение его с помощью замены переменной сводится к решению уравнения первого порядка. Такое преобразование уравнения называется понижением порядка:
а) уравнение вида 
. Так как уравнение не содержит функций и , воспользуемся заменой 
, тогда 
. Уравнение примет вид 
. Решая его, находим 
. Так как 
, 
. Интегрируя повторно, получим искомое решение 
, где и – произвольные постоянные;
б) уравнение вида 
. Так как уравнение не содержит искомую функцию , то воспользуемся, как и в предыдущем случае, заменой , тогда . Уравнение преобразуется следующим образом: 
. Решив его, находим 
. Так как , 
. Отсюда, интегрируя повторно, получим искомое решение 
, где 
и 
– произвольные постоянные;
в) уравнение вида 
. Уравнение не содержит переменную , поэтому понижение порядка осуществим с помощью замены 
. По правилу дифференцирования сложной функции найдем
.
Подставим 
и 
в уравнение, получим 
. Решив его, находим 
. Так как 
, 
. Отсюда 
. Интегрируя, найдем общее решение данного уравнения 
, где и – произвольные постоянные.
2.13.2 Примеры решения задач
№ 000 [5]. Решить уравнение 
.
Решение
Так как уравнение не содержит функций и 
воспользуемся заменой , тогда . Уравнение примет вид 
, следовательно, 
. После замены имеем 
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
