Объединяя постоянную при переменной х, получим общее решение .

№ 000 [5]. Решить уравнение .

Решение

Уравнение не содержит переменную , поэтому понижение порядка осуществим с помощью замены , тогда . Подставим и в уравнение, получим . Разделяя переменные, интегрируем , откуда , следовательно, , или . Интегрируя повторно, имеем:

2.13.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания № 000, 2917, 2918, 2920, 2926 [5].

2.13.4 Домашнее задание

1. Изучить теоретический материал по теме «Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение. Уравнение с правой частью в виде многочлена, экспоненты, гармоники».

2. Выполнить задания № 000, 2921, 2932, 2934, 2939 [5].

2.14 Практическое занятие № 17. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение. Уравнение с правой

частью в виде многочлена, экспоненты, гармоники

2.14.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач

Определение. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

.

Если – постоянные числа, а , то уравнение

называется линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Заменяя производные числами получим уравнение , называемое характеристическим.

1) Если корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение имеет вид .

2) Если корень имеет кратность , то слагаемых в сумме заменяют произведением вида

.

3) Если среди корней характеристического уравнения есть комплексные , то два слагаемых в сумме заменяют произведением вида .

4) Если среди корней характеристического уравнения есть
m-кратная пара сопряженных комплексных корней , то пар слагаемых в сумме заменяют произведением вида

Для уравнения , где – постоянные, рассмотрим метод неопределенных коэффициентов для нахождения частных решений:

а) если , то частное решение имеет вид , где – многочлен степени с неопределенными коэффициентами, а – кратность корня в характеристическом уравнении. Подставляя и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим частное решение;

б) если , то , где – кратность корня в характеристическом уравнении. Коэффициенты многочлена определяются по аналогии со случаем а);

в) если , то , где – кратность корня в характеристическом уравнении;

г) если , то

, где , а – крат-
ность корня в характеристическом уравнении.

Приравнивая коэффициенты слева и справа при функциях и после подстановки найдем частное решение неоднородного уравнения.

Теорема (принцип наложения решений). Если правая часть
уравнения есть сумма вида , то
частное решение этого уравнения определяется равенством , где – соответствующее частное решение уравнения

.

Метод вариации применим для нахождения решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения. Пусть определена фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, тогда общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде

,

где функции определяются из системы уравнений

Определитель системы отличен от нуля, так как он является вронскианом, составленным из фундаментальной системы решений , следовательно, система имеет единственную совокупность решений , интегрируя которую, получим искомые функции .

2.14.2 Примеры решения задач

№ 000 [5]. Найти общее решение уравнения .

Решение

Характеристическое уравнение имеет двукрат-
ный корень , следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения . Правая часть заданного
уравнения , следовательно, , так как . Дифференцируя два раза и подставляя , , в данное уравнение, получим . Сокращая на , имеем , откуда , следовательно, , а общее решение .

№ 000 [5]. Решить уравнение .

Решение

Характеристическое уравнение имеет корни , решение соответствующего однородного уравнения . Частное решение для правой части есть сумма вида .

Дифференцируя, находим:

, .

Подставляя , в исходное уравнение, получим:

Приравнивая коэффициенты у подобных членов, разрешаем систему:

Частное решение определяется равенством

, а общее решение есть сумма .

№ 000 [4]. Решить уравнение .

Решение

Соответствующее однородное уравнение имеет вид , а характеристическое уравнение имеет корни . На основании 3) общее решение исходного уравнения ищем в виде .

Система для n=2 имеет вид

следовательно,

По формулам Крамера определим

, ,

Интегрируя, имеем:

; .

Подставляя значения и в выражение

, получим общее решение неоднородного уравнения .

2.14.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания № 000–3002, 3011, 3016 [5].

2.14.4 Домашнее задание

1. Изучить теоретический материал по теме «Решение систем дифференциальных уравнений».

2. Выполнить задания № 000, 3018–3022, 2973 [5].

2.15 Практическое занятие № 18. Решение систем дифференциальных уравнений

2.15.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач

Система вида


где коэффициенты – постоянные величины , называется системой линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Частные решения системы найдем в виде

,

где – корни характеристического уравнения:

,

а определяются системой

для каждого значения .

Общее решение имеет вид

где – произвольные постоянные.

2.15.2 Примеры решения задач

№ 000 [5]. Решить систему

Решение

Дифференцируем по первое уравнение , затем исключаем и из полученного уравнения и двух данных уравнений. В результате получим одно дифференциальное уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией : . Решая его как линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами, найдем .

Вторую неизвестную функцию найдем из первого уравнения данной системы, подставив в него найденное выражение функции и ее производной:

.

Следовательно, . Совокупность двух найденных функций есть искомое общее решение данной системы.

№ 000 [5]. Решить систему

Решение

Дифференцируем по первое уравнение ,
исключаем и из полученного уравнения и двух данных урав-нений. В результате получим одно дифференциальное уравнение
второго порядка с одной неизвестной функцией : .
Интегрируя дважды, получим , следовательно, .

Вторую неизвестную функцию найдем из первого уравнения данной системы, подставив в него найденное выражение и ее производной, тогда .

Совокупность двух найденных функций , есть искомое общее решение данной системы.

2.15.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания № 000, 3086, 3089, 3090 [5].

2.15.4 Домашнее задание

1.  Подготовиться к контрольной работе.

2.  Выполнить задания № 000, 3080, 3083 [5].

2.16 Практическое занятие № 19. Контрольная работа по теме «Дифференциальные уравнения»

2.16.1 Домашнее задание

Изучить теоретический материал по теме «Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах».

2.17 Практическое занятие № 20. Вычисление двойного
интеграла в декартовых координатах

2.17.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач

Двойным интегралом от функции f(x, y) по области D называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю шага разбиения области D

.

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл существует.

Свойства двойного интеграла:

1)

2) ;

3) если D = D1 + D2, то

;

4) теорема о среднем: двойной интеграл от функции f(x, y)
равен произведению значения этой функции в некоторой точке
области интегрирования на площадь области интегрирования

.

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой облас-
ти D, ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x),
где j и y – непрерывные функции и j £ y, то

.

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = F(y), x = Y(y) (F(y) £ Y(y)), то

.

2.17.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Изменить порядок интегрирования

Решение

Построим область интегрирования на графике.

.

№ 000 [4]. Вычислить

Решение

Построим область интегрирования на графике.

№ 000 [4]. Вычислить

Решение

Построим область интегрирования на графике.

№ 000 [4]. Вычислить интеграл , если область интегрирования D ограничена линиями х = 0, х = у2, у = 2.

Решение

=.

№ 000 [4]. Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями y = 0, y = x2, x = 2.

Решение

2.17.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания № 000, 2119, 2122, 2125, 2132, 2136, 2137, 2143 [5].

2.17.4 Домашнее задание

1. Изучить теоретический материал по теме «Замена переменных в двойном интеграле».

2. Выполнить задания № 000, 2129, 2138, 2141, 2150 [5].

2.18 Практическое занятие № 21. Замена переменных в двойном интеграле

2.18.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач

Рассмотрим двойной интеграл вида , где переменная х изменяется в пределах от a до b, а переменная у – от j1(x) до j2(х). Положим х = f(u, v), y = j(u, v), тогда замена переменных осуществляется по формуле

,

выражение называется определителем Якоби, или якобианом.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах воспользуемся формулами перехода от декартовых координат к полярным

В этом случае якобиан имеет вид

,

тогда

где t – новая область значений;

2.18.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Пластинка задана ограничивающими ее кри-
выми
где – поверхностная плотность. Найти массу пластинки.

Решение

В полярной системе координат

№ 000 [4]. Пластинка задана ограничивающими ее кривыми

где – поверхностная плотность. Найти массу пластинки.

Решение

Обобщенная полярная система координат

Найдем якобиан перехода

2.18.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания № 000–2170 [5].

2.18.4 Домашнее задание

1. Изучить теоретический материал по теме «Приложения двойного интеграла».

2. Выполнить задания № 000, 2164, 2165, 2181 [5].

2.19 Практическое занятие № 22. Приложения двойного

интеграла

2.19.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач

Рассмотрим геометрические и физические приложения кратных интегралов.

2.19.1.1 Вычисление площадей в декартовых координатах

.

2.19.1.2 Вычисление площадей в полярных координатах

.

2.19.1.3 Вычисление объемов тел

Пусть тело ограничено снизу плоскостью Оху, сверху – поверхностью z = f(x, y), а с боков – цилиндрической поверхностью, тогда объем определяется формулой

.

2.19.1.4 Вычисление площади кривой поверхности

Если поверхность задана уравнением z = j(x, y), то площадь поверхности вычисляется по формуле

.

2.19.1.5 Вычисление моментов инерции площадей плоских фигур

Пусть площадь плоской фигуры (область D) ограничена линией, уравнение которой f(x, y) = 0. Тогда моменты инерции этой фигуры находятся по формулам

, , .

2.19.1.6 Вычисление центров тяжести площадей плоских фигур

где w – поверхностная плотность.

2.19.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x + 4, x + y – 2 = 0.

Решение

Построим графики заданных функций.

Линии пересекаются в двух точках (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от до х = 2 – у, а по оси Оу от (-6) до 2. Тогда искомая площадь равна

№ 000 [4]. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение

Построим область интегрирования на графике.

№ 000 [4]. Вычислить объем, ограниченный поверхностями

x2 + y2 = 1, x + y + z =3 и плоскостью ХОY.

Решение

Пределы интегрирования

x1 = -1; x2 = 1.

2.19.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания № 000, 2186, 2194, 2201, 2215, 2227,
2230 [5].

2.19.4 Домашнее задание

1. Изучить теоретический материал по теме «Вычисление трой­ного интеграла в декартовых координатах».

2. Выполнить задания № 000, 2195, 2199, 2218, 2231 [5].

2.20 Практическое занятие № 23. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

2.20.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач

Определение. Тройным интегралом называется предел вида

,

где суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой поверхностью j(x, y, z) = 0.

,

где х1 и х2 – постоянные величины; у1 и у2 могут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами; z1 и z2 могут быть функциями от х и у или постоянными величинами.

2.20.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Вычислить интеграл .

Решение

№ 000 [4]. Вычислить

V:

Решение

№ 000 [4]. Вычислить

Решение

2.20.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания № 000, 2244, 2247, 2249, 2250 [5].

2.20.4 Домашнее задание

1. Изучить теоретический материал по теме «Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты».

2. Выполнить задания № 000, 2243, 2248, 2251 [5].

2.21 Практическое занятие № 24. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты

2.21.1 Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач

Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответствующей операции для двойного интеграла

.

Связь координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам

Формула перехода

.

Связь координат произвольной точки Р пространства в сферической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам

Сферические координаты принято называть соответственно –широтой, – долготой, – радиус-вектором.

Для представления тройного интеграла в сферических координатах вычислим якобиан

Формула перехода

.

2.21.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

Решение

Построим проекцию тела на плоскость ХОY.

Цилиндрические координаты

№ 000 [4]. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

Решение

Цилиндрические координаты

№ 000 [4]. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

Решение

В сферической системе координат

2.21.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания № 000, 2256, 2257, 2258 [5].

2.21.4 Домашнее задание

1. Изучить теоретический материал по теме «Приложения тройного интеграла».

2. Выполнить задания № 000, 2253, 2255 [5].

2.22 Практическое занятие № 25. Приложения тройного интеграла

2.22.1 Теоретические сведения и методические рекомендации
по решению задач

Если поверхность тела описывается уравнением f(x, y, z) = 0, то объем тела может быть найден по формуле

.

Координаты центра тяжести тела определяются равенствами

Моменты инерции тела относительно осей координат определяются по формулам

Момент инерции тела относительно начала координат

В приведенных формулах w – плотность тела в точке (х, у, z),
dv – элемент объема.

Масса неоднородного тела определяется формулой

где плотность w – величина переменная.

2.22.2 Примеры решения задач

№ 000 [4]. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

Решение

Построим проекцию тела на плоскость ХОY.

№ 000 [4]. Тело задано ограничивающими его поверхностями

где μ –плотность. Найти массу тела.

Решение

Цилиндрическая система координат

№ 000 [4]. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями

Решение

Проекция на XOY представлена на рисунке.

2.22.3 Задачи для самостоятельного решения

Выполнить задания № 000, 2262, 2263, 2266, 2267 [5].

2.22.4 Домашнее задание

1. Изучить теоретический материал по теме «Сходимость числовых рядов. Функциональные ряды».

2. Выполнить задания № 000, 2261, 2265, 2268 [5].

3 ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЙ

Занятия № 1–7, 9–18, 20–25 проходят в следующем порядке:

1) формулируется тема занятия, поясняется связь темы с другими темами учебной дисциплины;

2) проверяется готовность студентов к занятию;

3) занятие проводится согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины.

На занятиях № 8, 19 студентам предлагается решить контрольные работы.

ЛИТЕРАТУРА

1.  Бугров, и интегральное исчисления / , . – М.: Наука, 1999.

2.  Бугров, уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функция комплексного переменного / , . – М.: Наука, 1985.

3.  Пискунов, и интегральное исчисления: в 2 т. / . – М.: Наука, 1985.

4.  Задачи и упражнения по математическому анализу / под ред. . – М.: Наука, 1985.

5.  Задачи и упражнения по математическому анализу / под ред. . – М.: Наука, 1985.

6.  Кудрявцев, математического анализа / . – М.: Наука, 1985.

Учебное издание

Тушкина Татьяна Михайловна

Ростова Ольга Дмитриевна

Кувшинова Лидия Павловна

МАТЕМАТИКА

В четырёх частях

Часть вторая

Неопределенный и определенный

интегралы. Дифференциальное исчисление
функции двух переменных.

Дифференциальные уравнения.

Двойные и тройные интегралы

Методические рекомендации по проведению

практических занятий для студентов специальностей

151900 – «Конструкторско-технологическое обеспечение

машиностроительных производств», 170100 – «Боеприпасы

и взрыватели», 160700 – «Проектирование авиационных

и ракетных двигателей», 230400 – «Информационные
системы и технологии»

Редактор

Технический редактор

Подписано в печать 17.02.12. Формат 60´84 1/16

Усл. п. л. 5,17. Уч.-изд. л. 5,56

Печать – ризография,

множительно-копировальный аппарат «RISO ЕZ300»

Тираж 54 экз. Заказ 2012-19

Издательство Алтайского государственного

технического университета

г. Барна

Оригинал-макет подготовлен ИИО БТИ АлтГТУ

Отпечатано в ИИО БТИ АлтГТУ

7

 
 


МАТЕМАТИКА. В четырёх частях

 

Часть 2

Неопределенный и определенный
интегралы. Дифференциальное исчисление
функции двух переменных.

Дифференциальные уравнения.

Двойные и тройные интегралы

Методические рекомендации по проведению
практических занятий для студентов специальностей

151900 – «Конструкторско-технологическое обеспечение

машиностроительных производств», 170100 – «Боеприпасы
и взрыватели», 160700 – «Проектирование авиационных
и ракетных двигателей», 230400 – «Информационные
системы и технологии»

Бийскö2012

 
 

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5