Bij het plannen van robottrajecten speelt interpolatie een centrale rol in het genereren van vloeiende en fysiek haalbare bewegingen. Het gebruik van polynomen van voldoende hoge graad maakt het mogelijk om essentiële interpolatievoorwaarden te voldoen, zoals het bereiken van specifieke posities op voorgeschreven tijdstippen, naast extra randvoorwaarden die betrekking hebben op hogere afgeleiden zoals snelheid en versnelling. Door meerdere polynomen te combineren, kan men bovendien voldoen aan limieten op deze afgeleiden, bijvoorbeeld in een trapeziumvormige snelheidsprofiel waarbij maximale snelheid en versnelling niet overschreden mogen worden. Hierdoor ontstaat een traject dat niet alleen klopt qua positie, maar ook qua dynamische eigenschappen.

Een fundamenteel kenmerk van trajectplanning is het scheiden van padgeneratie en tijdsregulatie. Dit betekent dat eerst een geometrisch pad wordt ontworpen in de configuratieruimte, waarna een tijdsafhankelijke functie wordt toegewezen die bepaalt hoe snel het pad wordt doorlopen. Deze aanpak zorgt ervoor dat alle bewegingscomponenten van de robot gelijktijdig starten en stoppen, onafhankelijk van de afgelegde afstand langs het pad. Hierdoor ontstaat een gecoördineerde en synchroon lopende beweging.

Bij het ontwerpen van dergelijke trajecten is het van groot belang om rekening te houden met verschillende eigenschappen. Offline planning biedt de mogelijkheid om kritische situaties, zoals het vermijden van singuliere configuraties of het optimaal benutten van redundantie, zorgvuldig te analyseren. Online planning daarentegen is noodzakelijk in dynamische en onvoorspelbare omgevingen waar realtime sensorinformatie het traject kan beïnvloeden, bijvoorbeeld om een plotselinge stop te initiëren wanneer een robotarm een oppervlak nadert waarvan de positie onzeker is.

Gladheid speelt een cruciale rol in de uitvoerbaarheid van een traject. Interpolaties met lineaire segmenten zorgen vaak voor abrupte veranderingen in de richtingen van paden, wat leidt tot onrealistische sprongen in de snelheid. Daarom worden hogere-orde polynoom-interpolaties toegepast om continuïteit van de raaklijnen (eerste afgeleiden) te waarborgen en soms zelfs van de kromming (tweede afgeleiden). Timingwetten worden zodanig ontworpen dat ze ten minste continu zijn in snelheid, en bij voorkeur ook in versnelling en jerk (de derde afgeleide), om trillingen en ongewenste resonanties in de mechanische structuur te voorkomen. Dit verbetert ook de nauwkeurigheid waarmee de robot zijn geplande traject kan volgen.

Nauwkeurigheid en voorspelbaarheid zijn onlosmakelijk verbonden met de keuze van interpolatiefuncties. Een pad moet de opgegeven knooppunten precies passeren zonder onnodig af te wijken, en bewegingen mogen niet overshoots bevatten die leiden tot ongewenste posities voorbij het eindpunt. Flexibiliteit van de gebruikte interpolatie is gewenst, zeker wanneer tijdens de uitvoering nieuwe knooppunten kunnen ontstaan en het traject iteratief aangepast moet worden. Efficiëntie in rekentijd en geheugengebruik vormen daarbij vaak een afweging: het opslaan van volledige trajectwaarden bij elke tijdstap vergt veel geheugen, terwijl het bewaren van alleen polynoomcoëfficiënten meer rekentijd bij evaluatie vergt.

Padplanning via interpolatie vindt plaats in de configuratieruimte van de robot, waar het pad als een continue functie van een padparameter wordt beschreven. Deze parameter varieert binnen een interval en wordt vaak zo gekozen dat de lengte van het pad gelijk is aan de kromme lengte, wat de berekening van kromming en afgeleiden vereenvoudigt. Hoewel deze booglengteparameter technisch handig is, vergt het vaak numerieke integratie, waardoor soms een genormaliseerde parameter tussen 0 en 1 wordt gebruikt. Door een geschikte tijdsafhankelijke functie toe te wijzen aan deze parameter ontstaat een traject dat zowel ruimtelijk als temporeel gecoördineerd is.

Het begrip kromming is essentieel voor het begrijpen van de geometrische eigenschappen van het pad. Waar de tweede afgeleide nul is, is de kromming ook nul, wat betekent dat het pad daar rechtlijnig is. Een continu begrensde kromming voorkomt scherpe hoeken die moeilijk te volgen zijn voor de robot. Bovendien vermijdt het voldoen aan een regulariteitsvoorwaarde dat er singulariteiten optreden zoals cusppunten, die de uitvoering van een vloeiende beweging bemoeilijken.

Belangrijk is ook het inzicht dat hoewel het pad en de tijdsafhankelijke parametrisatie afzonderlijk worden ontworpen, ze samen een traject definiëren dat fysiek uitvoerbaar moet zijn en dat de robot in staat stelt zijn beweging nauwkeurig te volgen binnen de beperkingen van zijn mechanische en besturingssystemen.

Naast deze kernprincipes is het nuttig om aandacht te besteden aan het onderliggende wiskundige raamwerk, zoals het gebruik van polynoomklassen en hun eigenschappen, en aan de praktische implementatie in robotbesturingssystemen, waar trade-offs tussen precisie, rekensnelheid en geheugengebruik dagelijks spelen. Het begrijpen van deze balans helpt bij het ontwerpen van trajecten die niet alleen theoretisch geldig zijn, maar ook in de praktijk betrouwbaar en efficiënt werken.

Hoe dynamische parameters van robots geïdentificeerd kunnen worden: Methodes en uitdagingen

De dynamische modellen van robots spelen een cruciale rol bij de simulatie en controle van hun bewegingen. Deze modellen vereisen een gedetailleerde beschrijving van de robotstructuur, die zijn bewegingen kan voorspellen op basis van de krachten en momenten die in de robot aanwezig zijn. In veel gevallen is het noodzakelijk om de numerieke waarden van de dynamische parameters van een robot te identificeren om deze modellen effectief te gebruiken. Dit kan echter behoorlijk complex zijn.

Het verkrijgen van de dynamische parameters uit de ontwerpgegevens van de mechanische structuur is niet altijd eenvoudig. De technieken voor CAD-modellering kunnen bijvoorbeeld de inertiële parameters van de verschillende componenten (zoals de scharnieren, actuatoren en transmissies) berekenen op basis van hun geometrie en materiaaltype. Toch kunnen deze schattingen onnauwkeurig zijn vanwege de vereenvoudigingen die vaak in de geometrische beschrijving worden aangebracht. Bovendien worden andere dynamische effecten, zoals wrijvingsverliezen in de gewrichten, meestal niet in het CAD-model meegenomen.

Om de dynamische parameters van een robot nauwkeuriger te identificeren, worden identificatietechnieken gebruikt die de lineariteit van de dynamische modellen benutten. Dit proces vereist een reeks metingen die, door middel van specifieke experimenten, de kinematische en dynamische eigenschappen van de robot kunnen onthullen. In wezen wordt de parametervector π berekend met behulp van bekende toegepaste koppelwaarden (τ) en de regressormatrix Yπ, wanneer de manipulator beweegt langs zorgvuldig gekozen trajecten. Deze trajecten moeten zorgvuldig worden geselecteerd om de noodzakelijke gegevens voor een betrouwbare parameteridentificatie te verkrijgen.

De koppelwaarden kunnen worden verkregen uit de opgegeven commandowaarden die overeenkomen met de gekozen monstertrajecten. Hoewel deze waarden soms afwijken van de werkelijke koppels die door de servomotoren worden gegenereerd, is het bij voorkeur om de werkelijke waarden van de motoren te meten. Dit kan gedaan worden door koppelsensoren die direct de motorwrijvingsmomenten meten, hoewel deze metingen vaak ruis bevatten, waardoor een filtering van de output noodzakelijk is. In gevallen waar geen koppelsensoren beschikbaar zijn, kan het koppel ook indirect worden berekend uit de meetgegevens van de motorstromen, op voorwaarde dat de stroom-koppel conversiefactoren van de motor bekend zijn.

Het identificeren van de dynamische parameters via regressiemethoden vereist ook een nauwkeurige meting van de jointposities (q), snelheden (q̇) en versnellingswaarden (q̈). Terwijl jointposities vaak met hoge precisie worden gemeten met behulp van encoders, worden snelheden en versnellingen doorgaans numeriek gereconstrueerd uit de positiegegevens die tijdens de beweging zijn vastgelegd. Aangezien deze procedure offline kan worden uitgevoerd, kunnen ook anti-causale filters worden toegepast om de eerste en tweede tijdsderivaten van de gegevens nauwkeurig te reconstrueren.

Er zijn echter enkele uitdagingen in het identificeren van de dynamische parameters van robots. Een van de belangrijke kwesties betreft de regressormatrix Yπ, die een aantal nulkolommen kan bevatten. Deze kolommen vertegenwoordigen parameters die, gezien de configuratie van de robot, niet bijdragen aan de bewegingsvergelijkingen en daarom niet geïdentificeerd kunnen worden. Dergelijke kolommen kunnen eenvoudig worden verwijderd uit de regressormatrix. Het aantal overgebleven kolommen, aangeduid als pr, is een belangrijke factor in het identificatieproces.

Een ander belangrijk probleem is de structurele afhankelijkheid van de kolommen in de regressormatrix. Dit betekent dat er een subset van kolommen bestaat die altijd lineair afhankelijk is van de andere kolommen, wat gevolgen heeft voor het identificatieproces. Als de kolommen structureel afhankelijk zijn, zal de geëncodeerde regressormatrix Yπ nooit een volledige rang pr hebben, wat de identificatie van de dynamische parameters bemoeilijkt. Deze structurele afhankelijkheid leidt ertoe dat sommige dynamische parameters altijd in hetzelfde lineaire verband met elkaar verschijnen, waardoor slechts die combinaties van parameters kunnen worden geïdentificeerd. Deze combinaties worden aangeduid als dynamische coëfficiënten.

Een belangrijke stap in het identificatieproces is daarom het vervangen van de structureel afhankelijke kolommen door een kleinere set van structureel onafhankelijke kolommen. Dit kan worden bereikt door de regressormatrix Yπ te herschikken en te splitsen in twee blokken: een blok met de structureel onafhankelijke kolommen en een ander blok met de overgebleven kolommen. De dynamische parameters kunnen vervolgens worden hergeparameteriseerd door de dynamische coëfficiënten te combineren met de regressormatrix die de kinematica van de robot vastlegt.

Dit proces kan bijvoorbeeld worden toegepast op een robotarmmodel, zoals de 2R-planararm, die is beschreven in eerdere secties van het boek. Door bepaalde parameters die geen invloed hebben op het dynamische model te elimineren, kan de regressor worden vereenvoudigd tot een kleinere set van parameters. Het resultaat is een efficiëntere parameteridentificatie die leidt tot een beter begrip van de werkelijke dynamica van de robot.

Het is belangrijk te begrijpen dat, hoewel de keuze van een maximale subset van structureel onafhankelijke kolommen niet uniek is, het aantal van deze kolommen wel vastligt. Dit aantal, aangeduid als r, is de essentie van de geoptimaliseerde regressormatrix die klaar is voor gebruik in de parameteridentificatie. Het verkleinen van de regressor tot de minimalistische set van dynamische coëfficiënten helpt bij het verkrijgen van een model dat niet alleen theoretisch is, maar ook praktisch toepasbaar bij de controle en simulatie van robots.

Hoe werkt de Newton-Euler formulering voor robotdynamica?

De Newton-Euler formulering voor robotdynamica berust op het recursief berekenen van hoeksnelheden, hoeksversnellingen, en lineaire versnellingen van de robotarmen, waarbij zowel de kinetische als dynamische grootheden systematisch in een vaste basis worden uitgedrukt. Het fundament wordt gelegd door de hoeksnelheid van het i-de gewricht, die zich volgens de relatie

z˙i−1=ωi−1×zi−1\dot{z}_{i-1} = \omega_{i-1} \times z_{i-1}

ontwikkelt. Deze vectoriële relatie leidt tot de recursieve uitdrukking voor de hoeksversnelling:

ω˙i=ω˙i−1+(1−σi)(q¨izi−1+ωi−1×q˙izi−1),\dot{\omega}_i = \dot{\omega}_{i-1} + (1 - \sigma_i) \left( \ddot{q}_i z_{i-1} + \omega_{i-1} \times \dot{q}_i z_{i-1} \right),

waarbij σi\sigma_i het type gewricht aanduidt (prismatisch of revolutief).

De differentiaal van de lineaire snelheid wordt op soortgelijke wijze geformuleerd en resulteert in:

v˙i=v˙i−1+ω˙i×ri−1,i+ωi×(ωi×ri−1,i)+σi(q¨izi−1+2ωi×q˙izi−1),\dot{v}_i = \dot{v}_{i-1} + \dot{\omega}_i \times r_{i-1,i} + \omega_i \times (\omega_i \times r_{i-1,i}) + \sigma_i \left( \ddot{q}_i z_{i-1} + 2 \omega_i \times \dot{q}_i z_{i-1} \right),

waarbij de relatieve positie tussen scharnieren, ri−1,ir_{i-1,i}, en de hoeksnelheden en -versnellingen bijdragen aan de totale lineaire versnelling. Voor vaste basismanipulatoren worden deze recursies geïnitieerd met ω˙0=v˙0=0\dot{\omega}_0 = \dot{v}_0 = 0.

De krachten en momenten op elk segment worden vervolgens berekend aan de hand van de Newton- en Euler-vergelijkingen. De translatie-energiebalans wordt geschreven als:

fi−fi+1+mig0=miv˙ci,f_i - f_{i+1} + m_i g_0 = m_i \dot{v}_{c_i},

waar fif_i de kracht is die op link ii werkt, en v˙ci\dot{v}_{c_i} de versnelling van het zwaartepunt. Voor de rotatie geldt:

μi+fi×ri−1,ci−μi+1−fi+1×ri,ci=ddt(Iiωi),\mu_i + f_i \times r_{i-1,c_i} - \mu_{i+1} - f_{i+1} \times r_{i,c_i} = \frac{d}{dt}(I_i \omega_i),

waarbij μi\mu_i het moment is en IiI_i de traagheidstensor van het segment in zijn lokale frame. De tijdsafgeleide van het moment uitgedrukt in het bewegende frame omvat een gyroscopisch koppel, voortkomend uit de afhankelijkheid van de traagheidstensor van de oriëntatie:

ddt(Iiωi)=Iiω˙i+ωi×(Iiωi).\frac{d}{dt}(I_i \omega_i) = I_i \dot{\omega}_i + \omega_i \times (I_i \omega_i).

De Newton-Euler vergelijking wordt in een terugwaartse recursie geherformuleerd voor krachten en momenten:

fi=fi+1+mi(v˙i−g0)+ω˙i×miri,ci+ωi×(ωi×miri,ci),f_i = f_{i+1} + m_i(\dot{v}_i - g_0) + \dot{\omega}_i \times m_i r_{i,c_i} + \omega_i \times (\omega_i \times m_i r_{i,c_i}),

en

μi=−fi×ri−1,ci+μi+1+fi+1×ri,ci+Iiω˙i+ωi×Iiωi.\mu_i = -f_i \times r_{i-1,c_i} + \mu_{i+1} + f_{i+1} \times r_{i,c_i} + I_i \dot{\omega}_i + \omega_i \times I_i \omega_i.

De kracht- en momentrecursies zijn afhankelijk van de voortgaande berekeningen van hoeksnelheden en versnellingen in de voorwaartse fase, waardoor dynamica en kinematica nauw met elkaar verweven zijn. De resulterende krachten en momenten worden geprojecteerd op de gewrichtsas om de generalized forces τqi\tau_{q_i} te verkrijgen:

τqi={μiTzi−1,voor een revolutief gewricht,fiTzi−1,voor een prismatisch gewricht.\tau_{q_i} = \begin{cases} \mu_i^T z_{i-1}, & \text{voor een revolutief gewricht}, \\ f_i^T z_{i-1}, & \text{voor een prismatisch gewricht}.
\end{cases}

Naast de linkdynamica moet rekening gehouden worden met de inertie van de motorrotor en dissipatieve krachten zoals wrijving, die resulteren in een dynamische vergelijking van de vorm:

τqi+Imini2riq¨i=τi+τBi,\tau_{q_i} + I_{m_i} n_i^2 r_i \ddot{q}_i = \tau_i + \tau_{B_i},

waar τi\tau_i het motorkoppel en τBi\tau_{B_i} de wrijvingskoppel is.

Hoewel de Newton-Euler vergelijkingen een gekoppeld systeem vormen dat niet direct een gesloten vorm biedt, kunnen door substitutie en het toepassen van recursies gesloten dynamische modellen afgeleid worden die equivalent zijn aan die van de Lagrange-Euler formulering. Voor praktische doeleinden en computational efficiency worden de vergelijkingen in bewegende frames herschreven, waardoor vectoren in lokale frames worden uitgedrukt en de rotatiematrices het mogelijk maken om recursies efficiënt te implementeren. Dit maakt onderscheid tussen de voorwaartse kinematische en de achterwaartse dynamische recursies, waarbij telkens tussen lokale frames en het basisframe wordt geconverteerd.

Het inzicht in deze recursieve Newton-Euler formulering is essentieel om geavanceerde robotdynamica te beheersen, vooral bij het ontwerpen van algoritmen voor real-time besturing en simulatie. Het correct begrijpen van het onderscheid tussen kinematische en dynamische grootheden, de rol van traagheidstensoren en gyroscopische krachten, en de wijze van projectie van krachten en momenten op de gewrichtsassen vormt een fundament dat onmisbaar is voor iedere specialist in robotica.

Van belang is te beseffen dat deze formulering, hoewel krachtig, de fysieke samenhang tussen links in stand houdt via kinematische koppelingen en dynamische interacties. Hierdoor ontstaan niet alleen computationele uitdagingen, maar ook mogelijkheden om via slimme recursieve algoritmen de complexe dynamiek van manipulators met veel vrijheidsgraden efficiënt te modelleren en te simuleren. Tevens wordt duidelijk dat de Newton-Euler methode, door zijn gestructureerde aanpak van krachten en momenten, een natuurlijke basis vormt voor het integreren van externe krachten en contactinteracties, cruciaal in praktische toepassingen zoals manipulatie en robotinteractie met de omgeving.

Wat zijn de wiskundige fundamenten van machine learning?
Hoe kan real-time optimalisatie de prestaties van TBM verbeteren?
Hoe de Structuur van Bent-Core Moleculen de Fasegedragingen van Vloeibare Kristallen Beïnvloedt
Hoe Evalueer je Kandidaten en Maak je de Juiste Keuze?
Hoe kan rateless coding de betrouwbaarheid en energie-efficiëntie van LoRa-gebaseerde IoT-netwerken verbeteren?
Hoe beïnvloeden nanodeeltjes de gezondheid en het milieu?
Annotaties bij de onderwijsprogramma's voor het vak: "Informatica en ICT"
Lesplanning voor Chemie in de 8B,M Klasse
Verkeersveiligheid: Een gids voor ouders
Lesprogramma voor Chemie: Thema's, Typen en Evaluatie Methoden
Herdenkingslessen over militaire geschiedenis van Rusland en verkeersveiligheid op school