Come Risolvere Equazioni Differenziali: Soluzioni Implicite, Esplicite e Famiglie di Soluzioni

L'implementazione formale di un metodo di soluzione porta a una relazione G(x, y) = 0. In questo caso, esiste almeno una funzione ϕ che soddisfa sia la relazione (ovvero, G(x, ϕ(x)) = 0) sia l'equazione differenziale su un intervallo I. Se la soluzione implicita G(x, y) = 0 è abbastanza semplice, possiamo essere in grado di risolvere per y in termini di x e ottenere una o più soluzioni esplicite. Ad esempio, la relazione x² + y² = 25 è una soluzione implicita dell'equazione differenziale non lineare sull'intervallo definito da −5 < x < 5. Per verificarla, effettuiamo una derivata implicita e otteniamo (9). Risolvendo quest'ultima equazione per il simbolo dy/dx otteniamo (8). Inoltre, risolvendo x² + y² = 25 per y in termini di x otteniamo y = ±√(25 - x²). Le due funzioni y = √(25 - x²) e y = −√(25 - x²) soddisfano la relazione (ovvero, x² + y² = 25) e sono soluzioni esplicite definite sull'intervallo (−5, 5). Le curve di soluzione sono rappresentate nelle figure come segmenti del grafico della soluzione implicita.

In generale, ogni relazione del tipo x² + y² − c = 0 soddisfa formalmente l'equazione differenziale per ogni costante c. Tuttavia, è importante che la relazione abbia sempre un senso all'interno del sistema dei numeri reali; per esempio, non possiamo dire che x² + y² + 25 = 0 sia una soluzione implicita dell'equazione, perché questa relazione non ha soluzioni reali. La distinzione tra soluzione esplicita e implicita dovrebbe essere intuitivamente chiara.

Ad esempio, per l'equazione differenziale lineare di primo ordine, la famiglia di soluzioni esplicite y = c*e^x è una famiglia a un parametro. Le curve di soluzione di alcune scelte particolari di c sono rappresentate nelle figure. La curva rossa in particolare è una soluzione particolare corrispondente a c = 1. In modo analogo, per un'equazione differenziale lineare di secondo ordine, come nel caso della famiglia x = c₁ cos(4t) + c₂ sin(4t), otteniamo una famiglia a due parametri di soluzioni. Le curve di soluzione specifiche per particolari scelte di c₁ e c₂ sono mostrate nelle figure.

Talvolta, però, un'equazione differenziale di ordine n possiede una soluzione che non appartiene a nessuna delle famiglie di soluzioni parametriche. Questa soluzione viene definita soluzione singolare. Un esempio tipico di soluzione singolare si verifica quando l'equazione differenziale ammette la soluzione triviale y = 0, che non può essere ottenuta attraverso nessuna scelta dei parametri nella famiglia di soluzioni.

A volte, la soluzione di un'equazione differenziale può essere una funzione definita a tratti. Un esempio è la famiglia y = cx⁴, che rappresenta una famiglia di soluzioni dell'equazione differenziale xy' − 4y = 0 sull'intervallo (−∞, ∞). Tuttavia, una soluzione definita a tratti può essere costruita selezionando costanti differenti in intervalli diversi, come nel caso della funzione y = cx⁴ definita da c = −1 per x < 0 e c = 1 per x ≥ 0.

Quando si risolvono equazioni differenziali, è fondamentale comprendere che la distinzione tra soluzioni esplicite e implicite non è sempre immediata. La soluzione implicita, infatti, rappresenta una relazione che non è immediatamente risolta per una delle variabili, mentre la soluzione esplicita permette di esprimere chiaramente la variabile dipendente in funzione della variabile indipendente. Inoltre, l'esistenza di famiglie di soluzioni ci fornisce una visione più completa delle possibili risposte che un'equazione può ammettere, specialmente quando si considerano condizioni iniziali o al contorno che specificano ulteriormente la soluzione tra le infinite possibili.

Come Risolvere le Equazioni Differenziali Lineari con Trasformate di Laplace

Nel caso delle equazioni differenziali lineari di secondo ordine, come quelle viste nei problemi 49-58, la trasformata di Laplace è uno strumento fondamentale. Essa consente di trasformare l'equazione differenziale in un'equazione algebrica, che può essere più facilmente risolta, e poi di riportare la soluzione al dominio del tempo tramite l'inversa della trasformata.

Prendiamo ad esempio il problema 49, che descrive un sistema dinamico con equazione:

La procedura per risolvere questa equazione mediante la trasformata di Laplace inizia con l'applicazione della trasformata a ciascun termine. L'applicazione della trasformata di Laplace al termine $y''$, $y'$, e $y$ produce:

Sostituendo le condizioni iniziali $y(0) = 0$ e $y'(0) = 5$, otteniamo l'equazione algebrica nel dominio di Laplace:

Risolvendo per $Y(s)$, otteniamo la funzione di trasferimento nel dominio di Laplace, da cui è possibile calcolare la soluzione nel dominio del tempo mediante l'inversa della trasformata di Laplace. La procedura si applica analogamente agli altri problemi, come il 50, che coinvolge un termine $tet$, o il 51, che include una combinazione di termini lineari.

Una volta ottenuta la soluzione nel dominio di Laplace, l'ultima fase consiste nel calcolare l'inversa della trasformata per ritornare al dominio del tempo. Spesso, questo richiede l'uso di tabelle delle trasformate di Laplace o l'applicazione di tecniche di decomposizione in frazioni parziali. L'analisi dei polinomi nel dominio di Laplace permette anche di identificare le radici del polinomio caratteristico e di determinare il comportamento asintotico della soluzione.

Oltre alla risoluzione diretta delle equazioni differenziali, la trasformata di Laplace è estremamente utile per analizzare circuiti elettrici, come evidenziato nei problemi 61 e 62, dove vengono utilizzate per calcolare il comportamento di correnti in circuiti RC o in circuiti RLC. La trasformata consente di trattare le equazioni differenziali derivanti dalla legge di Kirchhoff in modo più semplice e rapido.

Per i lettori, è importante sottolineare che la padronanza della trasformata di Laplace non si limita alla risoluzione di equazioni differenziali ma estende la comprensione del comportamento dinamico di sistemi fisici complessi, come quelli elettronici e meccanici. Inoltre, l'applicazione della trasformata di Laplace offre un'opportunità di studiare soluzioni con diverse condizioni iniziali, che possono rappresentare condizioni di carico variabili o modifiche nei parametri del sistema.