Comment garantir une atténuation des perturbations dans un système dynamique ?

Dans l'étude des systèmes dynamiques non linéaires, il est essentiel de comprendre comment une perturbation, ou une entrée perturbatrice, influence la sortie d’un système. Un aspect clé dans cette analyse est la stabilité asymptotique globale et l'atténuation des perturbations. Cela revient à chercher des conditions spécifiques qui assurent que, même face à des perturbations externes, le système atteindra un état stable, avec une influence de ces perturbations qui reste contrôlable ou réduite à un minimum.

$x = f(x) + g(x)u$

où $f(x)$ et $g(x)$ sont des champs vectoriels lisses, et $h(x)$ une fonction lisse définie sur $R^n$. Supposons que le système est initialisé à $x(0) = 0$, ce qui permet d’étudier l’évolution de l’état $x(t)$ sous l’effet de l’entrée $u(t)$, qui appartient à l'ensemble $L^2$ des fonctions à variation finie. On dit que le gain L2 du système est inférieur ou égal à un certain seuil $\gamma$ si, pour chaque entrée $u(t) \in L^2$, la réponse du système, $x(t)$, reste contrôlable de manière à ce que la norme de la sortie soit bornée.

pour tous les ( x \neq 0

Comment la linéarisation exacte et les systèmes non linéaires transforment la théorie du contrôle

Les premières applications de cette approche ont été explorées par Meyer-Cicolani (1980) pour les avions, et plus récemment par Lane-Stengel (1988). Pour les bras robotisés, De Luca et al. (1985) ont étendu la théorie afin de mieux gérer la dynamique non linéaire dans un cadre industriel. D'autres travaux de grande portée ont été réalisés par Hoo-Kantor (1986) et Levine-Rouchon (1989), qui ont approfondi l'usage de cette théorie pour le contrôle des processus industriels. Dans le domaine de la linéarisation exacte des réponses entrée-sortie, Isidori et Ruberti (1984) ont proposé une approche inspirée des travaux de Silverman (1969) et Van Dooren et al. (1979), qui traitent de l'inversion des systèmes linéaires et du calcul de la structure des zéros à l'infini.

La notion de sous-variété invariante contrôlée et de distribution invariante contrôlée s'oppose, dans un cadre non linéaire, à celle d'espace invariant contrôlé. Ces deux concepts ont été introduits respectivement par Basile-Marro (1969) et Wonham-Morse (1970), mais leurs équivalences ne sont pas avérées dans un contexte non linéaire. Ces distinctions ont permis de mieux comprendre les problèmes de découplage et de contrôle non-interactif. Plus particulièrement, les distributions invariantes contrôlées, introduites par Isidori et al. (1981a), offrent une méthodologie pour définir l'analogue non linéaire du zéro de transmission, élément central pour comprendre comment un système peut être décomposé en sous-systèmes indépendants tout en maintenant un contrôle total.

En matière de régulation non linéaire, la théorie des régulateurs non linéaires a été largement développée par Isidori-Byrnes (1990) et Byrnes et al. (1994). Ces travaux se sont focalisés sur l'immersion d'un système dans un autre, avec des implications directes sur la régulation de l'erreur en présence de signaux de référence constants, comme l'ont exploré Huang-Rugh (1990) et Huang-Rugh (1992). L'approche moderne de la régulation d'output non linéaire a permis de poser des conditions suffisantes pour assurer la stabilité structurale de la régulation, tout en offrant une méthodologie d'approximation utile pour la conception de régulateurs dans des systèmes complexes.

Quelles sont les conditions pour qu’un système de contrôle soit faiblement contrôlable et quelles en sont les implications pour l’observation des états ?

Un système de contrôle est dit faiblement contrôlable sur un ouvert $N$ de l’espace d’états si, à partir de n’importe quel état initial $p^0 \in N$, l’ensemble des états atteignables sous des fonctions de commande par morceaux constantes contient au moins un ouvert de $N$. Une condition suffisante pour cette propriété repose sur la dimension de la distribution $\mathcal{A}_c(p)$, associée au système : si $\dim \mathcal{A}_c(p) = n$ pour tout $p \in N$, alors le système est faiblement contrôlable. Sous l’hypothèse que $\mathcal{A}_c$ possède la propriété des sous-variétés intégrales maximales, cette condition devient également nécessaire.

Cette analyse de la contrôlabilité permet d’introduire une décomposition de l’espace d’états selon des sous-variétés intégrales maximales d’une distribution $\mathcal{Q}$, construite à partir de l’étude de la relation entre l’état et la sortie du système. On considère un système défini par des équations différentielles de la forme $\dot{p} = f(p) + \sum u_i g_i(p)$, accompagné d’une fonction de sortie $y = h(p)$. Si l’annulateur $\mathcal{Q}$ de la plus petite codistribution contenant $dh_1, \ldots, dh_l$ et invariante par les champs $f, g_1, \ldots, g_m$ est non singulier, alors $\mathcal{Q}$ est involutive et admet une partition globale de $N$ en sous-variétés intégrales maximales de dimension constante.

Théoriquement, cela se formalise par le théorème suivant : si $\mathcal{Q}$ est non singulier, alors il existe une partition de $N$ en sous-variétés intégrales maximales de $\mathcal{Q}$. Soit $S_{p^0}$ la sous-variété passant par un état $p^0$, alors aucun autre point de $S_{p^0}$ ne peut être distingué de $p^0$ par des fonctions de commande par morceaux constantes. De plus, dans un voisinage ouvert de $p^0$, tout état indiscernable de $p^0$ appartient nécessairement à l’intersection de ce voisinage avec $S_{p^0}$.

Au-delà de cette structure théorique, il est essentiel que le lecteur comprenne que ces propriétés de contrôlabilité faible et d’observabilité ne sont pas purement locales mais globales : elles dépendent de la géométrie complète de l’espace d’états. L’involutivité et la non-singularité des distributions en jeu jouent un rôle central dans la possibilité d’effectuer des décompositions analytiques et d’interpréter les trajectoires du système à l’échelle globale.

Aussi, ces concepts révèlent des limitations intrinsèques dans la commande ou l’estimation de l’état d’un système, lesquelles ne peuvent être levées que par une modification structurelle du système lui-même — par exemple, en ajoutant de nouveaux capteurs (modification de $h$) ou de nouvelles entrées de contrôle (modification de la famille $g_i$). La compréhension fine de ces structures différentielles est ainsi indispensable dans la conception de systèmes robustes, tant du point de vue de la commande que de l’observation.

Comment déterminer l'accessibilité et l'observabilité dans les systèmes linéaires de contrôle ?

Dans l’étude des systèmes linéaires de contrôle, une question fondamentale concerne l'accessibilité et l'observabilité des états du système sous l'action de commandes externes. Ces deux concepts jouent un rôle crucial dans la compréhension de la dynamique et de la capacité de manipulation d’un système dynamique. L’accessibilité décrit la possibilité d'atteindre un certain état à partir d'un autre état initial, tandis que l’observabilité permet de déterminer si l'on peut déduire l’état interne du système à partir des sorties observées.

Considérons un système de contrôle linéaire, où les dynamiques du système sont gouvernées par l’équation suivante :

Dans cette formulation, $x(T)$ représente l’état du système à un instant $T$, et $u(t)$ est le vecteur de commande. L’analyse de ce système montre que les coordonnées $x_2(T)$ du vecteur d'état $x(T)$ ne dépendent pas de l'entrée $u(t)$, mais uniquement du temps $T$, ce qui implique une indépendance de certaines variables par rapport à l’entrée appliquée.

Il est démontré dans la théorie des systèmes linéaires que lorsque ce sous-espace $V$ est le plus petit qui satisfasse cette condition de contrôlabilité, alors la paire $(An, Bi)$ est dite contrôlable, ce qui signifie que tout état peut être atteint en un temps fini à partir de n'importe quel état initial, sous une commande appropriée. Ce principe établit que pour chaque état $x$, il existe un contrôle $u(t)$ tel que $x(T)$ soit atteignable.

Les conditions d’observabilité sont satisfaites lorsque la matrice $C$ et les puissances de $A$ génèrent une image qui permet de distinguer ces états. En termes simples, l’observabilité assure qu’il est possible de déduire l’état interne du système à partir des mesures externes, même en l’absence de contrôle actif.

Ces idées sont généralement utilisées pour décomposer un espace d'état en sous-espaces invariants qui correspondent à des parties du système que l'on peut manipuler ou observer indépendamment. Cette décomposition permet une meilleure compréhension de la dynamique du système et de la manière dont les différentes parties interagissent sous l'influence de l'entrée. L'espace d'état $\mathbb{R}^n$ peut alors être divisé en sous-espaces parallèles à ces sous-espaces $V$ et $W$, facilitant ainsi le contrôle et l'observation.

Les lecteurs doivent également garder à l’esprit que ces propriétés ne sont pas toujours indépendantes des hypothèses de départ. La validité de ces conditions dépend largement des propriétés spécifiques des matrices $A$, $B$ et $C$ du système étudié. La compréhension de ces notions doit être accompagnée d'une analyse détaillée de la structure du système et de son modèle mathématique afin de garantir que les hypothèses sous-jacentes sont satisfaites et que les conditions de contrôlabilité et d'observabilité sont remplies de manière optimale.

Comment les rétroactions non linéaires peuvent linéariser la réponse d'un système multi-entrées multi-sorties

Dans le cadre des systèmes multi-entrées multi-sorties (MIMO), la linéarisation exacte de la réponse entrée-sortie constitue un problème fondamental. Ce processus, bien que complexe, peut être abordé efficacement par l'utilisation de rétroactions non linéaires adaptées, permettant ainsi de transformer un système dynamique non linéaire en un système linéaire à partir du point de vue de la relation entre l'entrée et la sortie.

Une première étape cruciale dans ce processus est de définir un feedback approprié. En utilisant un feedback de la forme $u(x) = \alpha(x) + \beta(x) v$, où $v$ est une nouvelle entrée auxiliaire, on peut analyser la manière dont ce feedback affecte la dynamique du système. L'un des critères importants ici est la nécessité d'une condition d'indépendance par rapport à $x$ des matrices associées aux dérivées successives de la fonction $h(x)$ après application des opérateurs de contrôle.

L'une des techniques de base pour vérifier la linéarisation est l'utilisation d'une série de matrices et d'opérateurs qui permettent de garantir la satisfaction des conditions nécessaires et suffisantes pour la linéarisation exacte. Ces matrices sont définies à chaque étape du processus, et l'algorithme de structure permet de vérifier si une rétroaction donnée conduit à un système linéaire à la sortie.

Lorsqu'on considère la rétroaction dans un cadre général, il est essentiel de s'assurer que les conditions de régularité, telles que la non-singularité des matrices associées au problème de rétroaction, sont remplies. Cela implique qu'à chaque étape de l'algorithme, les matrices doivent être manipulées de manière à garantir qu'elles restent inversibles, ce qui permet de s'assurer que le système reste bien défini et linéarisable.

Un autre aspect essentiel à prendre en compte est que la linéarisation exacte ne signifie pas nécessairement que le système perd toutes ses caractéristiques non linéaires dans d'autres dimensions du système. En effet, ce processus est souvent limité à la réponse entrée-sortie et peut ne pas s'étendre aux dynamiques internes du système, qui peuvent rester non linéaires. Ainsi, bien que la linéarisation apporte une simplification significative du comportement du système, elle n'élimine pas nécessairement toute la complexité inhérente à ses dynamiques internes.

Enfin, il convient de noter que cette approche de rétroaction non linéaire s'applique principalement à des systèmes pour lesquels les conditions de régularité sont satisfaites, c'est-à-dire ceux qui peuvent être représentés par une distribution contrôlée et qui possèdent une structure géométrique adéquate. Si ces conditions ne sont pas remplies, d'autres techniques doivent être envisagées pour traiter la non-linéarité du système, par exemple en utilisant des transformations coordonnées ou des méthodes de contrôle basées sur des approximations.