En los métodos multigrid, el símbolo .φ′F←C representa la corrección aplicada en una malla fina, obtenida a partir de la corrección aplicada en la malla gruesa. En este proceso, la solución inicial previamente obtenida en la malla fina se actualiza considerando la corrección obtenida de la malla gruesa. De esta forma, se ajusta la solución de manera progresiva a medida que se avanza entre las distintas mallas.

El siguiente paso importante es la comprobación del nivel de convergencia. Después de la fase de suavizado en la malla fina, se calcula la norma L2 del residuo. Este residuo se compara con un valor umbral εtol, que se define para determinar si la solución obtenida es aceptable. Este valor del residuo, y no el correspondiente a la última actualización de la solución en la malla fina, es el que se utiliza para evitar calcular el residuo dos veces en el mismo ciclo de multigrid. Si el criterio de convergencia no se cumple, el proceso se repite, comenzando de nuevo desde la fase de suavizado en la malla fina.

El algoritmo de multigrid en general emplea una jerarquía de mallas, cada una con un nivel de refinamiento diferente. Este proceso permite una mejora significativa en la eficiencia de la resolución de sistemas de ecuaciones. Un ejemplo típico de este tipo de algoritmo es el ciclo V, que involucra tres niveles de malla. En este ciclo, las operaciones de suavizado se representan mediante cuadros sombreados, la operación de corrección se indica mediante un cuadro con una línea continua gruesa, y las operaciones de actualización de la corrección y la solución final se indican con cuadros discontinuos.

Las flechas hacia abajo indican la operación de restricción, mientras que las flechas hacia arriba muestran la operación de prolongación. A través de la restricción, el residuo obtenido de la solución parcial del sistema original se transfiere a la malla intermedia. En este punto, la ecuación en forma de corrección para la malla intermedia, .A2φ′2 = R2←1, se resuelve parcialmente y, posteriormente, se calcula el residuo correspondiente. Este residuo se transfiere a la malla gruesa. En el caso ideal, la malla gruesa permite una solución directa del sistema correspondiente, pero en la práctica, debido a las limitaciones computacionales, se realiza una solución parcial mediante un método iterativo, típicamente el utilizado en la fase de suavizado. Luego, la corrección de la malla gruesa se transfiere a la malla intermedia, y la corrección de esta malla se calcula como .φ′2 = φ′2 + φ′2←3. La corrección de la malla fina se obtiene de manera similar.

Es fundamental comprender que el número total de mallas utilizadas está determinado por los costos computacionales asociados con las operaciones de interpolación y el almacenamiento de datos para cada nivel de malla. Además del algoritmo de ciclo V, existen también el ciclo W y el algoritmo de multigrid completo, que siguen los mismos principios descritos, pero no se profundiza en su explicación en este contexto.

Un aspecto crucial a tener en cuenta en los métodos iterativos de solución de sistemas de ecuaciones es la presencia de una matriz de coeficientes con una alta relación entre los valores máximo y mínimo, lo que puede dar lugar a matrices mal condicionadas. Este fenómeno, conocido como anisotropía de los coeficientes, se produce con mayor frecuencia en mallas que presentan celdas rectangulares con altas relaciones entre las longitudes de sus lados. En estos casos, la solución avanza a velocidades diferentes según la dirección considerada, lo que puede ralentizar el proceso de resolución. Este fenómeno también puede estar relacionado con características físicas que dependen de la dirección, lo que contribuye a la anisotropía de la matriz de coeficientes, incluso en presencia de una malla computacional regular.

En este sentido, en el caso del multigrid geométrico, la geometría de la malla determina el proceso de aglomeración, mientras que en el multigrid algebraico, se utiliza la información de los elementos de la matriz de coeficientes de la malla fina para construir una malla gruesa cuya matriz de coeficientes presenta mejores características de isotropía. El método de multigrid algebraico tiene en cuenta tanto la influencia de la geometría como los fenómenos físicos sobre la isotropía de la matriz de coeficientes, lo que mejora el proceso de resolución de ecuaciones.

En cuanto a la generación de mallas, existen diversas estrategias para la creación de mallas en diferentes niveles de refinamiento. Por ejemplo, es posible comenzar con una malla gruesa y refinarla gradualmente, aunque esta opción implica una dependencia excesiva de la malla fina en la malla gruesa inicial. En general, se prefiere comenzar con una malla fina y obtener la malla gruesa a través de un proceso de aglomeración de celdas de la malla fina. Este proceso de aglomeración puede basarse en criterios geométricos o en los valores asumidos por los coeficientes de las ecuaciones algebraicas en las celdas de la malla fina.

En OpenFOAM®, por ejemplo, se utiliza el enfoque denominado "Geometric-Algebraic Multi-Grid" (GAMG), que es un solucionador para sistemas lineales del tipo multigrid algebraico, con un proceso de aglomeración que, dependiendo de la configuración, puede basarse tanto en criterios geométricos como en los valores de los elementos de la matriz de coeficientes.

El proceso de inicialización y suavizado en la malla fina comienza con la asignación de un valor inicial para la incógnita en cada celda del dominio computacional. Utilizando un método iterativo para resolver los sistemas lineales, se realizan un número limitado de iteraciones para obtener una solución aproximada en la malla fina. Con esta solución aproximada, se calcula el vector compuesto por los valores del residuo en cada celda del dominio computacional.

El cálculo de los residuos en la malla fina se realiza mediante la aplicación de la ecuación general de conservación lineal, en la cual cada celda se representa mediante un índice i. A partir de esta ecuación, se calcula el residuo en términos de las correcciones .φ′.

Es crucial que el lector entienda la importancia de los residuos en la evaluación de la calidad de la solución y cómo las fases de restricción, prolongación y corrección entre las mallas de diferentes niveles contribuyen a la mejora continua de la resolución. De igual forma, el proceso de aglomeración es vital para asegurar que los coeficientes de la matriz sean isotrópicos y que el algoritmo de multigrid sea eficiente y preciso en la solución del sistema de ecuaciones.

¿Cómo afectan los esquemas de discretización en OpenFOAM® al cálculo numérico?

En el mundo de la dinámica de fluidos computacional (CFD), OpenFOAM® se ha consolidado como una de las herramientas más utilizadas debido a su flexibilidad y capacidad para resolver una amplia gama de problemas en simulaciones de fluidos. Uno de los aspectos clave para obtener resultados precisos y estables en cualquier simulación numérica es la correcta elección de los esquemas de discretización, que son responsables de transformar las ecuaciones diferenciales continuas en sistemas algebraicos que pueden ser resueltos numéricamente. Este proceso de discretización debe ser cuidadosamente seleccionado, ya que una elección inapropiada puede llevar a errores en los resultados o incluso a la inestabilidad del modelo. A continuación, se abordan los aspectos más relevantes de los esquemas de discretización en OpenFOAM® y cómo afectan la precisión y estabilidad de las simulaciones.

Dentro de OpenFOAM®, los parámetros que controlan la ejecución de los procesos de resolución se encuentran en el archivo controlDict, ubicado en la carpeta system. Es en este archivo donde se definen varios aspectos clave para la simulación, como los tiempos de simulación, el tipo de solver a utilizar y los esquemas de discretización que regirán los términos de las ecuaciones. En particular, el archivo fvSchemes juega un papel fundamental, ya que contiene los esquemas de discretización de cada uno de los términos de la ecuación general de transporte.

En el archivo fvSchemes, encontramos áreas definidas por palabras clave como ddtSchemes, gradSchemes, divSchemes, laplacianSchemes, interpolationSchemes, y snGradSchemes. Cada una de estas áreas se corresponde con diferentes tipos de discretización:

  1. ddtSchemes: Aquí se define el esquema de discretización temporal, determinando cómo se tratará la evolución temporal de las variables.

  2. gradSchemes: Define cómo calcular el gradiente de la cantidad transportada en el centro de las celdas.

  3. divSchemes: Establece cómo se discretizan los términos convectivos de la ecuación de transporte.

  4. laplacianSchemes: Determina cómo se discretizan los términos difusivos de la ecuación.

  5. interpolationSchemes: Indica qué tipo de interpolación se utilizará para obtener el valor de la cantidad transportada en el centro de la cara, basándose en el valor en el centro de las celdas adyacentes.

  6. snGradSchemes: Se refiere al cálculo del gradiente normal a la cara, importante para la discretización de términos difusivos.

Para conocer los valores posibles de cada parámetro, es suficiente con modificar la palabra original en el archivo (por ejemplo, cambiar backward por backward incorrectamente) y ejecutar el solver. El programa se detendrá y proporcionará una lista de los valores aceptables.

Esquemas de Discretización Temporal

Los esquemas de discretización temporal, definidos en la carpeta WM_PROJECT_DIR/src/finiteVolume/finiteVolume/ddtSchemes, son esenciales para determinar cómo se gestionan los términos temporales de las ecuaciones. Los esquemas más comunes son:

  • steadyState: Utilizado para cálculos estacionarios, donde no se considera la evolución temporal.

  • Euler: Un esquema de primer orden, utilizado para cálculos no estacionarios. Es simple y estable, pero su precisión es limitada.

  • backward: Un esquema de segundo orden, más preciso que Euler, pero puede producir oscilaciones no físicas en algunos casos.

  • Crank-Nicolson: También un esquema de segundo orden, que combina estabilidad y precisión, aunque puede provocar oscilaciones no físicas en casos donde la estabilidad es crítica.

Es importante entender que los esquemas de primer orden, como Euler, ofrecen una alta estabilidad, pero pueden ser insuficientes en términos de precisión. Por otro lado, los esquemas de segundo orden, como Crank-Nicolson, proporcionan una mayor precisión, pero a costa de estabilidad, lo que puede llevar a oscilaciones no físicas en las soluciones. En muchos casos, se busca un equilibrio adecuado entre estos dos aspectos, con valores de los factores de mezcla (como el parámetro ψ) entre 0.7 y 0.9.

Esquemas de Discretización de los Términos Convectivos

La discretización de los términos convectivos es crítica, ya que estos términos controlan el transporte de la cantidad física dentro del dominio computacional. Los esquemas más utilizados para la discretización de estos términos se encuentran en la carpeta WM_PROJECT_DIR/src/finiteVolume/interpolation/surfaceInterpolation y son los siguientes:

  • upwind: Un esquema de primer orden que es estable, pero puede introducir un error significativo en situaciones donde se requiere alta precisión.

  • linear: Un esquema de segundo orden, que proporciona mayor precisión, pero puede generar estimaciones no físicas si no se usa con cuidado.

  • limitedLinear: Es un esquema de segundo orden que incluye un limitador de flujo, lo que ayuda a reducir las oscilaciones no físicas.

  • linearUpwind: Combinación de los esquemas upwind y lineales, proporcionando un buen compromiso entre precisión y estabilidad.

Los limitadores de flujo juegan un papel importante en la reducción de oscilaciones no físicas, y los esquemas que utilizan un limitador (como el limitedLinear o Minmod) optimizan el factor de mezcla entre el esquema upwind y el esquema centrado. Esto es especialmente importante en problemas de flujos altamente no lineales, donde las oscilaciones pueden comprometer la calidad de la simulación.

Consideraciones Importantes para la Elección de Esquemas

Es fundamental comprender que la elección de los esquemas de discretización no solo depende de la precisión deseada, sino también de la estabilidad numérica de la simulación. Si bien los esquemas de segundo orden pueden ser más precisos, pueden generar oscilaciones no físicas si la solución no está bien condicionada o si los números de Reynolds son muy altos. Por lo tanto, en la práctica, es común realizar pruebas con diferentes esquemas para determinar cuál ofrece el mejor rendimiento en función de las características específicas del problema y el dominio de simulación.

Además, se debe tener en cuenta que los esquemas de discretización de los términos convectivos deben ser seleccionados cuidadosamente para evitar problemas como el artefacto numérico, que puede surgir cuando se utiliza un esquema inadecuado para la naturaleza del flujo. Es esencial considerar también el impacto de la resolución de la malla y el tipo de flujo, ya que estos factores influyen directamente en la elección del esquema más adecuado.

¿Cómo se gestionan la presión y la velocidad en simulaciones CFD mediante OpenFOAM®?

En la resolución de problemas de dinámica de fluidos mediante OpenFOAM®, la formulación de las ecuaciones para cada celda del dominio computacional requiere considerar los componentes del vector de velocidad y los gradientes de presión de manera individual. Cada componente de la velocidad se expresa como una ecuación matricial, donde los términos de presión aparecen como matrices columna que contienen las contribuciones de cada celda. Esta formulación permite simplificar la inversión de matrices diagonales, ya que el inverso de una matriz diagonal se obtiene simplemente invirtiendo cada uno de sus elementos.

El cálculo del caudal volumétrico en la interfaz de las celdas se define como el producto del área de la cara por la velocidad interpolada, y la ecuación de Poisson para la presión se obtiene a partir de la conservación de la masa, incluyendo correcciones por la no ortogonalidad de la malla. Esta corrección introduce gradientes secundarios que deben resolverse como términos fuente explícitos en cada iteración, garantizando mayor precisión y estabilidad a costa de un incremento en el costo computacional. Para problemas estacionarios se utiliza el algoritmo SIMPLE, mientras que para flujos transitorios se emplean los algoritmos PISO o PIMPLE. La configuración del número de ciclos de corrección no ortogonal se realiza en el archivo fvOptions, y es crítico mantener al menos una corrección si la malla presenta no ortogonalidad, transformando el ciclo SIMPLE en SIMPLEC.

La sub-relajación de campos y ecuaciones constituye un mecanismo central para la estabilidad de los algoritmos tipo SIMPLE. Los factores de sub-relajación aplicados a una variable controlan la velocidad de cambio entre iteraciones, donde valores altos aceleran la convergencia pero reducen la estabilidad, y valores bajos la incrementan a costa de mayor número de iteraciones. En la sub-relajación de ecuaciones, los elementos de la diagonal principal de la matriz de coeficientes se modifican para garantizar la dominancia diagonal, aumentando la estabilidad de la inversión de matrices. Esta técnica es especialmente relevante para la presión, asegurando consistencia incluso cuando el factor de sub-relajación es igual a 1, debido a la implementación específica en OpenFOAM®.

En simulaciones no estacionarias, es necesario eliminar las filas de la sección de campos en el archivo fvSolution para evitar resultados incorrectos por variaciones en los elementos de la diagonal principal, y se deben fijar los factores de sub-relajación a 1 en la sección de ecuaciones, asegurando dominancia diagonal sin necesidad de sub-relajar. Esto permite mantener la estabilidad numérica mientras se preserva la precisión de las soluciones de presión y velocidad a lo largo del tiempo.

Es importante comprender que el acoplamiento presión-velocidad no solo implica la correcta implementación de los algoritmos, sino también la interacción con la calidad de la malla y la elección adecuada de factores de sub-relajación. La no ortogonalidad y la distorsión de las celdas generan términos adicionales que afectan la precisión de los gradientes y, por lo tanto, la convergencia del sistema. La sustitución iterativa de valores de presión obtenidos en cada ciclo de corrección contribuye a reducir errores acumulativos, y la gestión cuidadosa de la sub-relajación asegura que la matriz de coeficientes permanezca estable para su inversión, evitando divergencias y mejorando la confiabilidad de la simulación.

¿Cómo se imponen correctamente las condiciones de contorno en flujos compresibles e incompresibles?

La comprensión de la correcta imposición de las condiciones de contorno en flujos compresibles requiere analizar brevemente el problema de Riemann en dinámica de gases. Este problema es un problema de valor inicial para las ecuaciones de Euler; en el caso unidimensional, la condición inicial consiste en un salto de las variables entre dos estados, con una distribución uniforme a la izquierda de la discontinuidad y otra igualmente uniforme a la derecha. La solución depende de los valores de las variables en ambos estados y, generalmente, se compone de tres ondas distintas que se propagan a velocidades específicas. En el caso de un tubo de choque, la discontinuidad inicial se transforma en tres ondas: una onda de contacto que se mueve a la velocidad local del fluido, y dos ondas que se propagan a velocidades u−cu - c y u+cu + c, siendo cc la velocidad del sonido en el fluido considerado. Cuando la velocidad local es cero, se observa una onda de rarefacción hacia la izquierda y una onda de choque hacia la derecha. Cada una de estas ondas sigue una curva característica: C0C_0 para la discontinuidad de contacto, C−C_- para la onda que se propaga a u−cu - c y C+C_+ para la que lo hace a u+cu + c.

Para aplicar estos conceptos a la imposición de condiciones de contorno en un flujo compresible unidimensional, es necesario considerar la dirección de las características. En el ingreso, C0C_0 y C+C_+ siempre son positivas si el flujo se dirige hacia la derecha, lo que significa que transportan información desde el exterior hacia el dominio computacional. La tercera característica, C−C_-, depende del número de Mach: es positiva para flujos supersónicos en la entrada y negativa para flujos subsónicos. Esto implica que, en flujos subsónicos de entrada, la información correspondiente a C−C_- no puede especificarse a priori. De manera análoga, en la salida, no es necesario imponer condiciones sobre C+C_+ y C0C_0; para C−C_-, sí se impone condición si el flujo es subsónico, mientras que si es supersónico, no se requiere. Cada característica transporta información sobre una variable, y únicamente aquellas variables que entran al dominio definen la condición de contorno física. Las demás se determinan a partir del flujo computado mediante extrapolación desde aguas abajo (en la entrada) o aguas arriba (en la salida).

En flujos incompresibles, la situación difiere notablemente: la ecuación de presión, derivada de la conservación de masa y momentum, carece de derivadas temporales, reflejando que la velocidad del sonido es infinita. Cualquier perturbación en la presión se propaga instantáneamente a todo el dominio, y esto elimina la necesidad de discretizar el término de advección de la presión. Por esta razón, en la entrada se establece el gradiente de presión y no el valor absoluto, mientras que en la salida se fija el valor de la presión y el gradiente de las demás cantidades. En el caso de la velocidad, se imponen valores en la entrada; para paredes o simetrías, se establecen condiciones específicas de gradiente y componentes de velocidad. La imposición simultánea de valores de velocidad en entrada y salida puede provocar inestabilidad numérica, lo que resalta la importancia de un tratamiento cuidadoso de las condiciones de contorno.

El carácter relativo de la presión en flujos incompresibles exige además definir un valor de referencia en un punto del dominio. Esto evita la singularidad de la matriz de coeficientes en la resolución numérica y asegura que los valores de presión en todo el dominio sean coherentes y relativos al punto de referencia. La comprensión de estos principios es fundamental para garantizar la estabilidad y la precisión de las simulaciones computacionales de fluidos.

Es importante comprender que, más allá de la imposición de condiciones de contorno, el lector debe reconocer que la propagación de información en el dominio depende intrínsecamente de las características del flujo y de su naturaleza (subsónica o supersónica). La interacción entre ondas de presión, choques y discontinuidades de contacto define no solo la solución matemática sino también la física del fenómeno. En flujos incompresibles, la ausencia de propagación finita de perturbaciones implica que los efectos de cualquier cambio se sienten en todo el dominio de manera instantánea, lo que condiciona cómo deben tratarse numéricamente las entradas y salidas. Además, el manejo adecuado de las matrices de presión y la selección de puntos de referencia no es solo un detalle técnico, sino un requisito imprescindible para la viabilidad de cualquier simulación CFD.

¿Cómo se representa el estado de tensiones en un fluido y qué lo diferencia del comportamiento de los sólidos?

En un punto cualquiera de un fluido en movimiento actúan tensiones que no pueden describirse con un único vector, sino mediante un conjunto ordenado de vectores que representan las fuerzas sobre planos infinitesimales orientados en diferentes direcciones. Dichos vectores forman el tensor de tensiones, una entidad matemática que agrupa en sus columnas las tensiones correspondientes a las superficies perpendiculares a los ejes coordenados. Cada elemento de este tensor, identificado como pijp_{ij}, describe la componente de la tensión en la dirección ii sobre un plano cuya normal está orientada en la dirección jj. Así, el estado de tensiones en un punto de un fluido se define de modo completo a través de este tensor, que depende del sistema de referencia elegido.

Aunque en la práctica las tensiones son medibles sobre superficies reales, el análisis fluido-mecánico requiere considerar superficies virtuales interiores al campo de flujo, sobre las cuales se definen los vectores de tensión. Cada orientación de esa superficie da lugar a un vector de tensión distinto, de manera que el tensor permite una representación única y general del estado de tensiones, independientemente de la orientación del plano considerado.

En los sólidos, las ecuaciones constitutivas expresan la relación entre las tensiones y las deformaciones respecto a la configuración no deformada. En los fluidos, en cambio, dichas ecuaciones vinculan las componentes del tensor de tensiones con las componentes del tensor de tasa de deformación, definido por las derivadas espaciales de la velocidad. La diferencia esencial radica en que, para un fluido en reposo, las tensiones tangenciales (de cizalla) son nulas, mientras que las tensiones normales pueden permanecer distintas de cero. Esta dualidad lleva a descomponer el tensor total de tensiones en dos partes: una esférica, asociada a la presión termodinámica, y otra deviatoria, ligada a las tensiones viscosas que aparecen por efecto del movimiento.

La presión termodinámica pp se define como el valor negativo del promedio de las tensiones normales sobre los tres ejes coordenados:

p=−pkk3p = -\frac{p_{kk}}{3}

El signo negativo responde a una convención física: se considera positiva una presión compresiva (dirigida hacia el interior) y positiva una tensión normal extensiva (dirigida hacia el exterior). Así, la ecuación tensorial que describe la descomposición del estado tensional se expresa como:

pij=−pδij+τijp_{ij} = -p\delta_{ij} + \tau_{ij}

donde τij\tau_{ij} es el tensor de tensiones viscosas, caracterizado por tener traza nula (τii=0\tau_{ii} = 0) y representar únicamente las contribuciones relacionadas con el movimiento del fluido.

Para los fluidos newtonianos, la hipótesis de Stokes establece que la parte deviatoria del tensor de tensiones es proporcional a la parte deviatoria del tensor de tasa de deformación, con una constante de proporcionalidad μ\mu, conocida como viscosidad dinámica. En notación tensorial:

τij=2μDij\tau_{ij} = 2\mu D_{ij}

donde DijD_{ij} es el tensor de deformación, definido a partir de los gradientes de velocidad. Si el flujo es incompresible, esta relación se simplifica a:

τij=μ(∂vi∂xj+∂vj∂xi)\tau_{ij} = \mu \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} \right)

Esta es la generalización tridimensional de la ley de la viscosidad de Newton, que, en su forma más elemental, se expresa como τ=μ∂u∂y\tau = \mu \frac{\partial u}{\partial y}, relacionando la tensión de cizalla con el gradiente de velocidad en la dirección perpendicular al movimiento.

El análisis de estas relaciones muestra que las tensiones viscosas no sólo actúan en direcciones tangenciales, sino que también pueden manifestarse en forma de tensiones normales de origen viscoso, especialmente en regímenes donde el flujo presenta variaciones espaciales significativas. Aunque a menudo se asume que estas componentes son despreciables, en determinadas condiciones pueden adquirir magnitudes comparables a las de la presión estática, afectando así la distribución de esfuerzos internos y el transporte de cantidad de movimiento.

Comprender la estructura y el significado físico del tensor de tensiones en los fluidos es esencial para la formulación de las ecuaciones constitutivas y, por extensión, para el desarrollo de las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento. En ellas, las derivadas parciales de las variables de campo (velocidad, presión, temperatura) expresan las interacciones entre los mecanismos de transporte y las fuerzas que actúan localmente en el fluido. La precisión con la que se define el tensor de tensiones condiciona la exactitud con que pueden predecirse fenómenos como la difusión viscosa, la propagación de ondas o la disipación de energía.

Es importante que el lector entienda que el concepto de tensión en los fluidos no es una simple extensión del utilizado en los sólidos, sino una representación más compleja que surge de la naturaleza continua y deformable del medio. La presión, lejos de ser un parámetro uniforme, constituye una medida macroscópica del equilibrio interno entre las fuerzas microscópicas del fluido. La viscosidad, por su parte, no sólo cuantifica la resistencia al movimiento relativo de las capas, sino que también refleja la capacidad del fluido para disipar energía mecánica en forma de calor. Reconocer esta doble dimensión —mecánica y termodinámica— resulta imprescindible para abordar de manera rigurosa la dinámica de los fluidos reales.

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