где Nc и Nv – некоторые постоянные, mn и mp – эффективные массы для электрона и дырки соответственно.

N(E) вблизи зон проводимости и валентной имеет параболический вид (рис. 5.3). На рис. 5.3 площадь заштрихованных областей пропорциональна числу уровней в интервале энергий dE при единичном объеме.

Рис. 5.3. Распределение плотности

вероятности уровней в зоне проводимости

и валентной в зависимости от энергии

Число электронов в зоне проводимости с энергией от E до E + dE в единице объема при E >> Ef будет

dn = N(Е).Fn(E).dE. (5.8)

Число электронов во всей зоне проводимости, приходящееся на единицу объема, равно

Ґ

n = ò N(Е).Fn(E).dE, (5.9)

Еc

а число дырок в валентной зоне на единицу объема

Еv

p = ò N(Е).Fp(E).dE. (5.10)

0

Подставим (5.6) и (5.7) в (5.9) и (5.10)

Ґ

n = (4p / h3)(2mn)3 / 2ò(E – Ec)1 / 2.[1 + exp[(Е – Еf) / kT]–1.dE,

Еc

и выполнив интегрирование, получим

n = Nc.exp[– (Еc– Еf) / kT], (5.11)

где Nc = 2(2pmnkT / h2)3 / 2. Аналогично

p = Nv.exp[ – (Еf – Еv) / kT], (5.12)

где Nv = 2(2pmpkT / h2)3 / 2.

В уравнении (5.11) и (5.12) Nc и Nv характеризуют эффективную плотность квантовых состояний в зоне проводимости и валентной зоне соответственно. Они равны между собой, если равны соответствующие эффективные массы mn и mp.

Если положить, что mn = mp = mo, то

Nc = Nv = 2(2pmokT / h2)3 / 2 = 4,82.1015.T3 / 2 см–3. (5.13)

Для кремния mn = 0,26.mo и mp = 0,49.mo, поэтому Nc = = 6,36.1014.T3 / 2 см–3, Nv = 1,65.1015.T3 / 2 см–3. Используя графическое изображение F(E) и N(E), можно определить концентрацию носителей зарядов (рис. 5.4) согласно выражениям (5.9) и (5.10).

Рис. 5.4

Можно показать, что произведение n. p является функцией температуры и ширины запрещенной зоны (Еc – Ev) = Eg

n.p = Nc.Nv.exp[ – (Е c– Еv) / kT] = Nc.Nv.exp(Eg / kT). (5.14)

Ширина запрещенной зоны зависит от температуры, которая дается эмпирической формулой

Eg(T) = Eog – aT, (5.15)

где a = 2,8.10–4 эВ / К – температурный коэффициент.

Как видно из (5.14) и (5.15), правая часть уравнения (5.14) зависит только от Т и Еg и не зависит от n и p. Следовательно (5.14) справедливо как для собственных, так и для примесных полупроводников. Для собственных полупроводников n = p = ni, поэтому n. p = ni2 = pi2 – уравнение полупроводников.

Рассмотрим отношение p / n

p / n = (Nv / Nc).exp[(Ec + Ev – 2Ef) / kT], (5.16)

из которого следует

Еf = 0,5(Еc + Еv) – 0,5.kT.ln(p / n) – 0,75.kT.ln(mn / mp). (5.17)

Так как для собственного полупроводника ln(p / n) = 0, то при mp = mn

Ef = 0,5(Ec– Ev) (5.18)

Таким образом, мы получили подтверждение того, что уровень Ферми для собственного полупроводника расположен в середине запрещенной зоны.

Функция распределения Ферми – Дирака справедлива и для примесных невырожденных полупроводников. Поскольку в полупроводнике n-типа часть электронов поступает в зону проводимости не за счет образования дырок в валентной зоне, а из донорных уровней примеси, то вероятность появления электрона в зоне проводимости выше, чем вероятность появления дырки в валентной зоне. Это возможно только в том случае, если уровень Ферми будет смещен в сторону зоны проводимости и чем выше концентрация донорной примеси, тем больше это смещение. В примесном полупроводнике p-типа наоборот, смещение уровня Ферми происходит в сторону валентной зоны. Зонная структура примесных полупроводников n-типа и p-типа в сочетании с графическим представлением функции распределения Ферми – Дирака и плотности энергетических состояний в валентной зоне и зоне проводимости представлена на рис. 5.5.

Из приведенных графиков рис. 5.5 видно, что в примесном полупроводнике n-типа преобладает электронная проводимость, главным образом, за счет донорной примеси, которая уже при комнатной температуре полностью ионизована. Электроны в данном случае считаются основными носителями, которых значительно больше, чем неосновных (дырок), что согласуется с аналитическим выражением для концентрации электронов в примесном полупроводнике. В примесном полупроводнике p-типа преобладает дырочная проводимость.

Рис. 5.5

Если полупроводник одновременно легирован донорной и акцепторной примесью, то тип проводимости будет определяться соотношением концентраций соответствующих примесей.

Как указывалось выше, в сильно легированном полупроводнике наступает вырождение. В этом случае уровень Ферми в полупроводнике n-типа близок ко дну зоны проводимости или даже заходит в нее, а в полупроводнике p-типа соответственно приближается к потолку валентной зоны. В более строгом смысле вырожденный полупроводник характеризуется неравенством

Ec – Ef < 3kT. (5.19)

При повышении температуры уровень Ферми в примесных полупроводниках смещается к середине запрещенной зоны, т. к. собственная проводимость при этом возрастает и может превысить примесную.

5.3. Вырожденные полупроводники

Общепринятым критерием невырожденности полупроводника является значение функции Ферми – Дирака F << 1. Вырождение наступает при увеличении концентрации примеси. Определим ту предельную концентрацию, при которой полупроводник переходит в состояние вырождения. Для этого проанализируем уравнения (5.11) и (5.12), определяющие концентрацию носителей зарядов в невырожденных полупроводниках. При Ef = Ec, n = Nc и при Ef = Ev, p = Nv. Nc и Nv представляют собой максимально возможную концентрацию подвижных электронов и дырок в зоне проводимости и валентной зоне соответственно невырожденного полупроводника.

В вырожденном полупроводнике уровень Ферми может располагаться выше дна зоны проводимости и ниже потолка валентной зоны. Переход от невырожденного состояния в вырожденное может произойти при любой температуре по мере увеличения концентрации примеси. Предельная концентрация перехода от невырожденного состояния к вырожденному составляет N > 10–18 см–3.

6. КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ МИКРОСТРУКТУРАХ

Под кинетическими явлениями понимают процессы переноса зарядов (электронов дырок) в полупроводниках. Учитывая малые линейные размеры микроэлектронных структур, специфика переноса зарядов имеет ряд особенностей, как то: большие локальные напряженности электрического поля, большие градиенты концентрации носителей зарядов (резкие полупроводниковые переходы), взаимное влияние элементов ИС и др. Учесть все эти особенности весьма трудно, поэтому в качестве первого приближения используют аналитические выражения, полученные при l << L, где L – линейные размеры структуры, а l – длина свободного пробега электрона. Эти вопросы подробно изложены в [1, 9, 11].

На движение заряженных частиц влияют четыре основных фактора: температура, электрические и магнитные поля и градиент концентрации.

Тепловое движение частиц в силу его хаотичности обуславливает лишь рассеяние потока частиц, однако на направленное движение не влияет.

Рассмотрим процесс переноса электронов и дырок в условиях стационарной неравновесности при отсутствии магнитного поля. Перемещение зарядов под действием электрического поля называется дрейфом частиц, характеризующимся дрейфовой скоростью vnE = mnE – для электронов и vpE = mp.E – для дырок, где m – дрейфовая подвижность.

Плотность тока для электронов и дырок запишется

jnE = envnE = enmnE, jpE = epvpE = epmpE. (6.1)

Суммарная подвижность дрейфового тока равна

jnE + jpE =e(nmn + pmp)E = sE, (6.2)

где s – удельная электропроводность.

Дрейфовые скорости vnE и vpE направлены противоположно, однако плотности токов складываются, т. к. их сумма характеризует общую сумму переноса зарядов (рис. 6.1).

E vnE jnE

n –––––® ––––– –––––®

E vpE jpE

p –––––® –––––® –––––®

Рис. 6.1

При наличии градиента концентрации носителей зарядов возникает диффузионная составляющая плотности тока:

JnD = eDn(dn / dx), JpD = – eDp(dp / dx). (6.3)

Отрицательный знак означает тот факт, что вектор плотности диффузионного тока направлен в сторону, противоположную градиенту концентрации дырок (рис. 6.2).

dn / dx n JpD

n –––––® ––––– –––––®

dp / dx p JnD

p –––––® ––––– –––––

Рис. 6.2

Если явления дрейфа и диффузии наблюдаются одновременно, то в этом случае для одномерной модели можно записать следующие соотношения для плотности электронного и дырочного тока:

Jn = jnE + jnD = enmnE + eDn(dn / dx), (6.4)

jp = jpE + jpD = epmpE – eDp(dp / dx). (6.5)

Между явлениями дрейфа и диффузии существует некоторая связь, которая количественно определяется соотношением Альберта Эйнштейна [9].

6.1. Эффект Холла

Как известно, эффект Холла возникает в полупроводнике, находящемся в постоянном магнитном поле, индукция которого B перпендикулярна направлению протекающего через образец постоянного тока I. При этом в полупроводнике возникает электрическое поле (э. д. с. Холла), вектор напряженности которого Eх нормален плоскости B.I (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Полупроводниковый образец,

в котором наблюдается эффект Холла

Этот эффект позволяет экспериментально определить тип электропроводности полупроводника, концентрацию носителей и их подвижность, используя выражение для э. д. с. Холла (Eх):

Ex = Rx.I.B / d, (6.6)

где Rx = Rxn = – An / ne – постоянная Холла для электронного полупроводника или Rx = Rxp = Ap / pe – для дырочного полупроводника (n и p – концентрация электронов и дырок соответственно), d – толщина образца, An и Ap – коэффициенты, величина которых зависит от образцов и изменяется в пределах от 0,5 до 2,0. В сильных магнитных полях для вырожденных полупроводников А = В = 1,0. Из формулы (6.6) видно, что э. д. с. Холла тем выше, чем тоньше образец полупроводника. С позиции микроэлектронных структур, в которых используются тонкие полупроводниковые слои, эффект Холла может существенно влиять на работу микроэлектронных изделий, подвергающихся воздействию сильных магнитных полей.

6.2. Генерация и рекомбинация носителей зарядов

Кроме дрейфа и диффузии, в полупроводниковых материалах может происходить генерация дополнительных носителей зарядов, а также их рекомбинация. Эти явления бывают двух типов – прямые (межзонные) и промежуточные (ступенчатые), обусловленные наличием промежуточных уровней (рис. 6.4).

__________ Ec __________ Ec

­G ½ _ _­ _¯_ _Ei

½ ¯R Ev ­ ¯ Ev

Рис. 6.4

Кроме того, следует учитывать поверхностные явления, которые трактуются как уровни Тамма – Шокли, эквивалентные появлению в запрещенной зоне дополнительных уровней, центров рекомбинации. Наконец, неоднородное распределение носителей зарядов в полупроводнике создает внутренние локальные неоднородные электрические поля, которые тоже следует учитывать при определении плотности суммарного тока.

С учетом вышесказанного, генерация и рекомбинация носителей зарядов приводит к нарушению термодинамического равновесия, и прежние соотношения для концентрации электронов и дырок несправедливы. В этом случае, вместо уровня Ферми Еf, вводятся две величины Efn и Efp, и уравнения (5.11) и (5.12) примут вид

n = Nc.exp[ – (Еc – Еfn) / kT], (6.7)

p = Nv.exp[ – (Еfp – Еv) / kT], (6.8)

где Еfn и Еfp трактуются как квазиуровни Ферми для электронов и дырок соответственно.

Выполнив подстановки Yn = – Efn / e, Yp = – Efp / e, Y = – Ei / e, преобразуем формулы (6.7) и (6.8) к виду

n = ni. exp[(Y – Yn) / UT], (6.9)

p = ni. exp[(Yp – Y) / UT], (6.10)

где Yn и Yp – так называемые потенциалы Ферми, Y – электро-статический потенциал, UT = kT / e – температурный потенциал.

6.3. Явления переноса в динамически неравновесном состоянии;

уравнение непрерывности

С учетом явлений дрейфа и диффузии носителей зарядов, а также процессов генерации и рекомбинации, можно составить фундаментальные уравнения, описывающие изменения во времени избыточных носителей зарядов (электронов и дырок) в полупроводниковых материалах.

Идея, лежащая в основе вывода этих уравнений, базируется на том, что разность между числом входящих и выходящих носителей для некоторого объема равна изменению числа частиц в этом объеме.

n / t = – dJn / dx + Gn – (n – no) / tn, (6.11)

p / t = – dJp / dx + Gp – (p – po) / tp, (6.12)

где Jn и Jp – плотности потока электронов и дырок, Gn и Gp – коэффициенты генерации дополнительных носителей зарядов, (n – no) / tn и (p – po) / tp – коэффициенты рекомбинации для электронов и дырок соответственно, tn и tp – среднее время жизни, no и po – равновесные концентрации.

Выражая потоки заряженных частиц через токи, получим окончательное выражение для уравнений непрерывности

n / t = Dn(2n / x2) + mnEx(n. / x) + Gn – (n – no) / tn, (6.13)

p / t = – Dp(2p / x2) + mpEx(p / x) + Gp – (p – po) / tp. (6.14)

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12