Практические работы по математике (стр. 3 )

Подведение итогов практической работы.

3.Контрольные вопросы:

1.  Сформулируйте правила непосредственного интегрирования.

2.  В каких случаях применяется способ интегрирования подстановкой?

3.  Назовите формулу для интегрирования по частям. Что надо принять за u, а что за dv?

4.  Что такое определенный интеграл. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.

  Практическое занятие №5.

  Тема: Вычисление определителей.

  Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по вычислению определителей, выполнению операций над матрицами. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

  Задачи:

  • развитие творческого профессионального мышления;

  • познавательная мотивация;

  • овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

  • овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

  • углубление теоретической и практической подготовки;

  • развитие инициативы и самостоятельности студентов.

  Обеспечение практической работы:

  Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

  Математика. М:Форум-Инфа 2008. , . Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,с.

  Щипачев вышей математики. - М.: Высшая школа, 2с.

  , . Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,с.

  Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

  Ход практического занятия.

  1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

  2.Проверка готовности студентов к занятию;

  3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

  - Изучить теоретический материал по теме «Выполнение операций над матрицами. Вычисление определителей».

  - Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

  -Выполнить самостоятельную работу по вычислению определителей, выполнению действий над матрицами.

  - Ответить на контрольные вопросы.

  Теоретические сведения и методические рекомендации

  по решению задач.

  Определение. Матрицей из m строк, n столбцов называется прямоугольная таблица чисел ; - элемент матрицы; i-номер строки; i=1,…,m; j-номер столбца, j=1,…,n; m, n – порядки матрицы. При m=n - квадратная матрица.

  Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим матрице , называется число .

  Для вычисления определителя можно использовать элементы произвольной строки или столбца.

  Определение. Алгебраическим дополнение элемента называется число, равное .

  Определение. Дополнительным минором элемента матрицы называется определитель матрицы n-1-го порядка, полученный из матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

  .

  Транспонирование матрицы – такое преобразование матрицы, при котором строки становятся столбцами с сохранением порядка следования.

  Свойства определителей.

  При транспонировании матрицы определитель не меняется.

  При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет только знак.

  При умножении строки (столбца) на некоторое число определитель умножается на это число.

  Если все соответствующие элементы квадратных матриц одного порядка одинаковы, за исключением элементов одной i-ой строки, то .

  Величина определителя не изменяется, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.

  Определитель равен нулю, если

  - все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю.

  - две строки (столбца) одинаковы.

  - две строки (столбца) определителя пропорциональны.

  Методы вычисления определителей.

  1). Разложение по строке или столбцу.

  2). Метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца. Метод состоит в том, что с учетом свойств определителя при помощи какого-либо столбца (строки) путём умножения его на соответствующие числа и вычитания из остальных столбцов (строк), зануляются все элементы выбранной строки (столбца) кроме одного, принадлежащего вычитаемому столбцу (строке).

  3). Метод приведения к треугольному виду. Алгоритм, предложенный в предыдущем пункте, используется для последовательного зануления всех элементов первой строки (столбца) кроме одного, второй строки (столбца) – всех кроме двух и т. д. В итоге определитель преобразуется к треугольному виду. Величина такого определителя равна произведению элементов главной диогонали.

  4). Вычисление с использованием теоремы Лапласа, согласно которой определитель - го порядка равен сумме произведений всех его миноров -го порядка, стоящих в выделенных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения.

  Примеры

  1. Вычислить данный определитель четвёртого порядка с помощью разложения по строке или столбцу:

  Решение. Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае – это четвёртый столбец. Итак имеем

  Полученные в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же методом. В определителе нулевых элементов нет, поэтому можно выбрать для разложения любой из столбцов, например, первый. В единственный нулевой элемент находится на пересечении первого столбца со второй строкой. Для разнообразия будем разлагать по второй строке:

  Таким образом окончательно получим

  2. Используя метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца вычислить определитель матрицы

  Решение. Будем занулять все, кроме первого, элементы первой строки. С этой целью вычтем из второго, третьего и четвёртого столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2, 3 и 4. Получим

  Представленный в таком виде определитель разложим по первой строке:

  Определитель третьего порядка, к которому свёлся исходный определитель, будем вычислять тем же способом. Вычтем из второго и третьего столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)

Выполните самостоятельно:

Итоги практического занятия.

Практическая работа №6

Тема: Решение систем линейных уравнений методом

Крамера. Контрольная работа.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по применению определителей для решения систем линейных уравнений (СЛУ). Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Задачи:

• развитие творческого профессионального мышления;

• познавательная мотивация;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

1.  Теоретические сведения:

1.1  Формулы Крамера.

СЛУ, в которых число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы не равен 0, имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера:

;;;…;, где ∆- главный определитель системы, состоит из коэффициентов перед неизвестными, ;- вспомогательные определители системы, которые получают из главного путем замещения столбца перед ;; соответственно на столбец свободных членов.

Пример 1.

Решить систему уравнений

Решение. Вычислим главный определитель матрицы системы уравнений:

∆==2·3·1+1·(-2)·1+3·1·(-1)-1·3·(-1)-3·1·1-2·1·(-2)=5.

Следовательно, система имеет единственное решение, которое можно найти с помощью формул Крамера.

Вычислим вспомогательные определители системы:

==15; ==5; ==10;

По формулам Крамера находим:

=;==

Ответ: (3;1;2)

2.  Решите самостоятельно систему методом Крамера и методом:

Подведение итогов практического занятия.

Практическая работа №7

Тема: Решение задач по теме «Множества». Формулы алгебры логики.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Задачи:

• развитие творческого профессионального мышления;

• познавательная мотивация;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

Теоретические сведения:

Элементы теории множеств

1. Логические символы

Квантор - заменяет выражение "для любого", "для произвольного", "для какого бы ни было".

Квантор - заменяет выражение "существует", "найдется".

Запись (импликация) означает, что из справедливости высказывания A вытекает справедливость высказывания B. Если, кроме того, из справедливости высказывания B вытекает справедливость A, то записываем . Если , то высказывание B является необходимым и достаточным условием для того, чтобы выполнялось высказывание A.

Если предложения A и B справедливы одновременно, то записываем . Если же справедливо хотя бы одно из предложений A или B, то записываем .

2. Операции над множествами

Математическое понятие множества элементов принимается в качестве интуитивного. Множество задается правилом или признаком, согласно которому определяем, принадлежит ли данный элемент множеству или не принадлежит.

Множество обозначают символом A = {x}, где x - общее наименование элементов множества A. Часто множество записывают в виде A = {a, b, c, ...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества A. Будем пользоваться обозначениями:

N - множество всех натуральных чисел;

Z - множество всех целых чисел;

Q - множество всех рациональных чисел;

R - множество всех действительных чисел;

C - множество всех комплексных чисел;

Z0 - множество всех неотрицательных целых чисел.

Запись означает, что элемент a принадлежит множеству A.

Запись означает, что элемент a не принадлежит множеству A. Множество B, все элементы которого принадлежат множеству A, называется подмножеством множества A, и при этом записывают

(см. рис. 1).

Всегда , так как каждый элемент множества, естественно, принадлежит A. Пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента, обозначим символом . Любое множество содержит пустое множество в качестве своего подмножества.

Если , то A и B называются равными множествами, при этом записывают A = B.

Если , то множество ℐ элементов множества А, не принадлежащих A, называется дополнением множества A к множеству (см. рис. 2).

Дополнение множества A к множеству ℐ обозначают символом ; или просто CA, если известно, к какому множеству берется дополнение. Таким образом, СА=

Если А⊂ℐ , то иногда дополнение множества B к множеству A называют разностью множеств A и B и обозначают A\B (см. рис. 3), т. е.

Пусть A и B - подмножества множества ℐ.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6