1. Сформулируйте правила нахождения производной суммы, произведения, частного.
2. Как найти производную сложной функции?
3. Как применяется производная функции для исследования функции на монотонность, экстремум?
Практическая работа №3
Контрольная работа по теме:
««Применение дифференциального исчисления
к исследованию функций»
Вариант№1 Исследовать функцию и построить график: 3. y= 4. y= | Вариант№2 Исследовать функцию и построить график: 3. y= 4. y= |
Вариант№3 Исследовать функцию и построить график: 3. y= 4. y= | Вариант№4 Исследовать функцию и построить график: 3. y= 4. y= |
Вариант№5 Исследовать функцию и построить график: 3. y= 4. y= | Вариант№6 Исследовать функцию и построить график: 3. y= 4. y= |
Вариант№7 Исследовать функцию и построить график: 3. y= 4. y= | Вариант№8 Исследовать функцию и построить график: 3. y= 4. y= |
Вариант№9 Исследовать функцию и построить график: 3. y= 4. y= | Вариант№10 Исследовать функцию и построить график: 3. y= 4. y= |
Вариант№11 Исследовать функцию и построить график: 1. y= 2. y= | Вариант№12 Исследовать функцию и построить график: 5) y= 6) y= |
-9x+1
-2x-
+9x-
Практическая работа № 4.
Тема: Вычисление неопределённых интегралов.
Вычисление определённых интегралов различными методами.
Цель: Проверить на практике знание понятия неопределённого и определенного интегралов, умение вычислять табличные интегралы, умение вычислять определенный интеграл методом введения новой переменной и по частям.
Обеспечение практической работы:
Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.
Учебник. «Математика». – М.: Дрофа, 2010.
Математика. М:Форум-Инфа 2008.
Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.
1.Теоретический материал и примеры вычисления неопределённого интеграла методом введения новой переменной.
1.1Неопределённый интеграл и непосредственное интегрирование.
Непосредственное интегрирование – это нахождение неопределенных интегралов с использованием таблицы интегралов и свойств неопределенного интеграла:
1.
=
2.
=k
, где k=const
Таблица интегралов
1 |
| 11 |
|
2 |
| 12 |
|
3 |
| 13 |
|
4 |
| 14 |
|
5 |
| 15 |
|
6 |
| 16 |
|
7 |
| 17 |
|
8 |
| 18 |
|
9 |
| 19 |
|
10 |
| 20 |
|
(
).
.
; 
; 
1.2 Замена переменной в неопределённом интеграле
(интегрирование подстановкой).
Пусть 
. Тогда 
. Здесь t(x) - дифференцируемая монотонная функция.При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами. 1. Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, и f(t(x)), и 
, то замена переменной осуществляется подведением множителя под знак дифференциала: 
, и задача сводится к вычислению интеграла 
. Например, 
(задача сведена к вычислению 
, где t = cos x) 
(аналогично находится интеграл от 
); 
(задача сведена к вычислению 
, где t = sin x) 
.
2. Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переменной.
Пример 1.
имеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку) t = sin x. Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменную t: 
; в результате 
(возвращаемся к исходной переменной) . Другие примеры: 
. Подынтегральная функция содержит два множителя, ни один из которых не является производной другого, поэтому подводить их под знак дифференциала бесполезно. Попытаемся ввести новую переменную, такую, чтобы корни извлеклись: 
= 
Пример 2.
(интеграл №19 из табл.). Здесь подынтегральная функция состоит из единственного множителя; можно опять попытаться сделать такую замену переменной, чтобы корень извлёкся. Структура подкоренного выражения подсказывает эту замену: 
(или 
, 
): 
. Интеграл свёлся к интегралу от квадрата косинуса. При интегрировании чётных степеней синуса и косинуса часто применяются формулы, выражающие 
и 
через косинус двойного угла: 
. Поэтому 
.
Пример 3.
dx=
=
dt=
dt=
+С=
+С
1.3 Интегирование по частям:
Производится по формуле :
Пример 4.
=
=x·
=x·
Пример 5.
=
=
=
Пример 6.
=
=
.
2. Определенный интеграл, его свойства и вычисление
2.1. Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
= F(a)-F(b)
- соответственно верхний и нижний пределы интегрирования, они пишутся и читаются снизу вверх, а в формулу подставляются сверху вниз!)
Основные свойства определенного интеграла:
1. При перестановке пределов интегрирования изменяется знак интеграла:
2. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:
3. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
Пример 1.
=
=27-8=19.
2.2 Вычисления определённого интеграла методом введения новой переменной.
Пример 2.
=
=
=
=
Пример 3.
= - 
=-
(
)=-
1.3 Вычисление определенного интеграла по частям:
Используем формулу:
-
Пример 4.
=
-
+
=(
)+
-1-1=
-2;
Пример 5.
=-6xctgx
+
=-6·
-6·
+ln|sinx|
=π
+ ln|sin|- ln|sin
|= π+ ln1- ln
= π+ 0+ln2= π+ln2
3. Выполните самостоятельную работу:
1) Найдите неопределенный интеграл:
№1 1. 2. 3. 4. 5. | №2 1. 2. 3. 4. 5. | №3 1. 2. 3. 4. 5. |
№4 1. 2. 3. 4. 5. | №5 1. 2. 3. 4. 5. i. | №6 1. 2. 3. 4. 5. |
№7 1. 2. 3. i. ii. 4. 5.
| №8 1. 2. 3. 4. 5. | №9 1. 2. 3. 4. 5. |
№10 1. 2. 3. 4. 5. | №11 1. 2. 3. 4. 5.
| №12 1. 2. 3. 4. 5. |
№13 1. 2. 3. 4. 5. | №14 1. 2. 3. 4. 5. | №15 1. 2. 3. 4. 5. |
dx
dx
dx
+5x+1)dx 
+x+1)dx
dx
dx
2) Вычислите определенный интеграл.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
