Моделирование процессов переработки пластмасс (стр. 3 )

σyy – σzz = (σyy’ – σzz’) или ψ23 – вторая разность нормальных напряжений.

Обычно величина ψ23 составляет 0,1 – 0,3 от величины ψ12 и имеет отрицательную величину. С ростом τxy возрастают и значения σxx, σyy и σzz и величины ψ12 и ψ23. Этот рост пропорционален τxy и нормальные напряжения также можно представит как степенные функции скорости сдвига.

ψ12 = K1 (γxy ”)m и ψ23 = K2 (γyz ”)m , причем m = 2n. Отношение нормального напряжения к скорости сдвига также можно считать величиной, похожей на вязкость. Она называется продольной вязкостью.

ЗАВИСИМОСТЬ ВЯЗКОСТИ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ

Процессы течения полимеров при переработке происходят, как правило, в неизотермических условиях. Во-первых, в процессах литья и экструзии происходит нагревание текущего материала, находящегося в материальном цилиндре. Во-вторых, при течении полимера в узком канале происходит сильный его разогрев за счет перехода части механической энергии в тепло в соответствии с уравнением энергии. При изменении температуры происходит значительное изменение вязкости. Поэтому, например, все вискозиметрические измерения проводят в строго изотермических условиях. Наиболее простой зависимостью вязкости от температуры является уравнение Аррениуса: η = А ехр(Е/RT), где Е – энергия активации вязкого течения (дж/моль), R – газовая постоянная и Т – абсолютная температура. Более полное описание температурной зависимости вязкости будет дано в курсе «Реология в процессах переработки полимеров».

Лекция 4. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛЕЙ

ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ И РЕОЛОГИИ

К ПРОЦЕССАМ ПЕРЕРАБОТКИ.

ЭКСТРУЗИЯ. ТРИ ЗОНЫ ЭКСТРУДЕРА И

ДВИЖЕНИЕ ПОЛИМЕРНОГО МАТЕРИАЛА В НИХ.

Особенности реологического поведения расплавов полимеров проявляются, естественно, и при их течении в каналах перерабатывающего оборудования. Наиболее простым примером этого является анализ движения, происходящего в канале экструдера. Экструзия – один из важнейших методов переработки полимеров, с помощью которого изготавливается больше промышленных изделий из термопластов, чем любым другим методом (пленка, трубы, листы и пр.). Для резин процесс экструзии (в области переработки резин этот метод носит название шприцевание) также один из важнейших, т. к. почти все профилированные изделия проходят через шприц-машины.

Полимерный материал, проходя через шнековый экструдер, попадает последовательно в I зону - зону загрузки, где гранулированный или порошкообразный полимер сплавляется в единый конгломерат - «пробку». В этой зоне перемещение нерасплавленного материала определяется коэффициентами трения гранул по шнеку и материальному цилиндру экструдера. Ее длина составляет 4-6 диаметров цилиндра. Затем пробка попадает во II зону - зону плавления, где она плавится, и закономерности перемещения материала определяются скоростью плавления пробки за счёт внешнего тепла и диссипации механической энергии, т. е. перехода её в тепловую. Длина этой зоны составляет 8-12 диаметров цилиндра. Наконец, расплавившийся материал попадает в III зону - зону дозирования или зону расплава. Течение материала в последней зоне определяется вращением шнека. При этом реализуется прямой поток, описывающийся законами плоскопараллельного течения (эпюра скоростей при этом имеет треугольную форму). Из-за наличия перепада давления между началом и концом III зоны реализуется также обратный поток, описывающийся законами пуазейлевского течения и геометрическими параметрами шнека (эпюра скоростей при этом имеет параболическую форму). Конечная форма эпюр скоростей при этом зависит от соотношения расхода расплава в прямом (Qпрям) и обратном (Qобр) потоках. Длина III зоны составляет 4-6 диаметров материального цилиндра.

ДВИЖЕНИЕ ПОЛИМЕРНОГО МАТЕРИАЛА

В I ЗОНЕ ЭКСТРУДЕРА.

Рис.5. Схема движения материала в I зоне экструдера.

R Rш y

х N φ

φ z

Vм Vц

Fσ1 В α

А Vц/м

С

Fц/м Fбок

Fσ2 Fдна

H - высота гребня

B - расстояние между гребнями шнека

Если взять обычный шнековый питатель (архимедов винт), то движущей силой перемещения материала в нем является сила тяжести. Однако это справедливо лишь для первых 1-2 витков шнека, т. к. далее новая порция материала встречается с уже находящимся в зазоре материалом. Заполняющим весь канал. Поэтому движение материала в зоне загрузки происходит уже за счет другой движущей силы – разности между силой трения материала о цилиндр экструдера (она высока) и силой трения материала о шнек (она низка, т. к. шнек специально полируют). На конце цилиндра помещена головка, создающая сопротивление течению. Это дает противоток. Давление расплавляющейся массы, с одной стороны, и загружающийся в цилиндр новый материал, с другой, создают твердую пробку, которую можно сопоставить с гайкой, находящейся на резьбовой части винта. Если крутить винт, то гайка будет крутиться вместе с ним, и не будет перемещаться поступательно. Затормозим вращение гайки (цилиндр шероховатый), и она начнет двигаться по винтовой поверхности вперед.

По каналу, образованному боковыми сторонами винта и боковой поверхностью материального цилиндра, движется материал со скоростью Vм. По принципу относительности Галилея можно представить себе, что цнек стоит, а вращается материальный цилиндр. Относительную скорость скольжения цилиндра по материалу Vц/м можно определить как вектор, соединяющий концы Vм и Vц (см. треугольник на рисунке). Для определения величины Vц/м достроим треугольник до прямоугольного АВС (пунктир). Для решения тригонометрической задачи надо знать величину углов φ и α . Угол называется углом подъема винтовой линии и равен обычно 15-180. Угол α называется углом транспортирования материала по шнеку и равен α = φ + arcos (fш /fц), где f – коэффициенты трения материала по шнеку и цилиндру. Теперь стороны треугольника легко определить: АВ = Vц cosφ – Vм; АС = Vц/м. cos φ,

ctgα=АВ/АС, α=arcctg(АВ/АС),следовательно Vц/м=Vцsinφ/cosα. Оси координат разместим следующим образом: ось y направлена от шнека к цилиндру, ось z – направлена вдоль винтовой поверхности шнека (по направлению движения материала), ось x - перпендикулярна ей. Начало координат расположено на поверхности материального цилиндра в точке соприкосновения его со слоем гранул. Составим баланс сил, действующих в объеме элементарного параллелепипеда ВНdz, движущегося под действием напряжения dσzz.

Во-первых, это силы нормальных напряжений от давления Fσ1 и Fσ2 : Fσ1 = σzzВН; Fσ2 = (σzz + dσzz) ВН. (4.1)

Во-вторых, это сила трения от нормального напряжения σyy на стенке цилиндра: Fц/м = σyy |y=0 .f. B.dz (4.2)

(y=0, т. е. на поверхности цилиндра), в-третьих, это силы, тормозящие движение материала за счет влияния боковых граней шнека Fбок и его цилиндрической части Fдна:

Fбок = σxx . f. H.dz [(1+Rш/R)/2]; (4.3)

Fдна = σyy|y=H .f. B.dz (Rш/R). (4.4)

Они определяются действием нормальных напряжений σxx и σyy, которые можно считать пропорциональными σzz:

σxx = σyy = К. σzz (К<1).

Общий вид баланса: Fσ1+Fц/м .cosα - Fσ2 - Fдна - 2Fбок =0. (4.4)

Если подставить все выражения для сил в общее уравнение, то получим следующее дифференциальное уравнение: - dσzz/dz + (f/H) σzz Fα = 0, где член Fα включает в себя все геометрические константы. Разделим переменные:

dσzz/σzz = (f/H) Fα dz. (4.5)

Решение этого уравнения: σzz (z) = σ0 exp((f/H) Fα zпит), (4.5а)

где σ0 – напряжение на входе в зону питания, σ0 = ρgH0, давление слоя гранул в бункере, zпит – длина канала зоны питания, zпит = Lпит cos α.. Lпит – составляет 4-6 диаметров цилиндра. Производительность зоны питания Q зависит от Vм, из треугольника АВС Vм = Vц cos φ - Vц sinφ. cosα, Vц = 2πRN.

Максимальная температура, развивающаяся при сухом трении полимера о стенку цилиндра – Тmax равна:

(Тmax – Тц)2 = 4q2полLфпит/π λг сг ρг Vц, (4.6)

где символы с индексом г соответствуют свойствам конгломерата гранулы – воздух, qпол – плотность теплового потока, передающегося в слой полимерных гранул,

qпол = qтр (λг сг ρг)1/2/[(λг сг ρг)1/2 + (λ с ρ)1/2], (4.7)

где символы без индекса соответствуют свойствам металла цилиндра, Lфпит – фактическая длина винтовой линии шнека в зоне питания. Величина qтр обычно составляет 90-95% мощности, потребляемой в зоне питания Wпит, и ее можно рассчитать по формуле: Wпит = 2πRN {exp(A Lфпит ) –1]/A sin φ, (4.8)

где А = [fц B cos α (B + 2H + Bfц fш sin α,)]. Среднее значение температуры в зоне питания можно оценить и по формуле нестационарной теплопроводности:

[Tmax – T(t)]/(Tmax – T0) = (8/π2) exp(- π aг t/Hг), (4.9)

где aг - температуропроводность слоя гранул, t – время движения гранул от загрузочного отверстия до данной точки.

ДВИЖЕНИЕ РАСПЛАВА ПОЛИМЕРА В II ЗОНЕ

ЭКСТРУДЕРА

В этой зоне (зоне плавления или пластикации) происходит процесс плавления твердой пробки с образованием вначале тонкой пленки расплава, а затем расплав занимает всю область зоны. Во II зоне можно выделить две области: 1 – твердая уменьшающаяся пробка с температурой Т1 т 2 – жидкая увеличивающаяся пленка с температурой Т2. Между ними проходит граница с температурой Тпл.

y

х N

z

dy

dz

dx

Рис.6. Схема движения материала во I I зоне экструдера.

Оси координат направлены как прежде, но начало координат расположено на границе между 1 и 2 областями (движущаяся граница). Рассчитаем скорость опускания пунктирной линии в элементарном параллелепипеде – скорость движения фронта плавления VY.

Составим уравнение теплового баланса для жидкой области:qT+qд= 0. Первый член определяет количество тепла, переданное от стенки цилиндра: qT = λ d2T2/dy2 (4.10).

Второй член определяет диссипативное тепло, развивающееся при течении жидкого расплава в пленке толщиной δ: qд = τγ’ = η (γ’)2. (4.11)

Скорость сдвига в пленке можно определить как Vц/м/ δ. Граничные условия определим как: Т2 |y=0 = Тпл, Т2 |y=δ = Тц . Решение дифференциального уравнения теплового баланса можно записать как: (4.12)

Т2 (y) = Тпл – (Тц – Тпл)[η(Т, γ’ )/2λ(Тц-Тпл)(Vц/м/ δ) y(δ – y) + y/ δ)].

Составим аналогичное уравнение для твердой области: qподв = qпрогр, т. е. все подведенное тепло расходуется на прогрев материала. В дифференциальной форме:

VY dT1/dy = a d2T/dy2 (4.13).

Граничные условия определим как: Т1 |y=0 = Tпл , T1 |Y = Tнач II зоны = T0. Решение уравнения теплового баланса запишем как: Т1(y) = T0 + (Tпл – Т0) ехр( VY . y/a), (4.14)

т. е. температура зависит от скорости плавления. Для определения VY в явном виде рассмотрим границу между областями – сверху идет поток тепла, который расходуется на плавление и прогрев пробки:

λ dT2/dy = ρQплVY + λ dT1/dy |y=0 . (4.15)

Отсюда можно выделить VY : VY = FV (L)-1/2, (4.16)

где L – уменьшающаяся высота твердого слоя, а член FV включает в себя все константы, полученные при дифференцировании вышеуказанных уравнений.

Закон изменения L по длине канала z также можно оценить. Составим материальный баланс:

в зону входит исходный объем HBVм, вперед выходит объем (H-ΔH)(B-ΔB) Vм, вверх выходит объем LdzVY:

HBVм = (H-ΔH)(B-ΔB) Vм + LdzVY . (4.17)

Решение: - dBH/dz = VYL/Vм . (4.18)

Граничные условия: L |z=0 =B, L |z=z =L(z).

Окончательное решение зависит от типа шнека:

для сходящихся шнеков

Н(z) = Hпит – ξ(z), где ξ = (Hпит – Ндоз)/Zпл . (4.19)

L(z) = { [Hпит/(Hпит- ξ z)]1/2(ξ B1/2 – FV/Vм) + FV/Vм}2/ ξ , (4.20)

а длина зоны плавления: Zпл = (Нпит1/2 + Ндоз1/2)(ВНпит)1/2VМ /FV ;

для шнеков с уменьшающимся шагом винта:

L(z) = В(1- FV . z/2HB1/2VМ)2, (4.21)

а длина зоны плавления: Zпл = 2НВ1/2VМ/ FV. Обычно длина зоны Zпл равна 8-12 диаметрам цилиндра.

ДВИЖЕНИЕ РАСПЛАВА ПОЛИМЕРА В III ЗОНЕ

ЭКСТРУДЕРА И ЕГО РАБОЧАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

Для составления дифференциального уравнения движения расплава полимера в III зоне рассмотрим баланс сил в ней, учитывая то, что перепад давлений (DР) уравновешивается перепадом касательных напряжений сдвига (dt) [4]:

(τyz + dτyz)dzdx – τyzdzdx + Pdydx – (P+dp)dydx = 0. (4.22)

Течение может происходить в плоскостях yz и xy (рис.7), следовательно, уравнения движения выглядят следующим образом. При граничных условиях прилипания: vz(y=H) = Vz;vz (y=0) = 0 и vx(y=H) = Vx; vx(y=0) = 0, где Н - высота гребня шнека. Эпюры распределения скоростей в направлении винтового канала (ось z), в перпендикулярном направлении, т. е. между витками (ось х), и вдоль оси экструдера определяются путём решения дифференциальных уравнений. На рисунке 7 выделен элементарный объём расплава – параллелепипед dxdydz. Стрелкой оказано направление перепада давления, действующего на расплав – DР. Ему противодействуют касательные напряжения, приложенные к верхней грани параллелепипеда - dtyz и dtxy. Скорость вращения шнека – N.

Решение уравнения баланса сил

для плоскости yz: dp/dz = dtyz/dy, (4.23)

для плоскости xy: dp/dx = dtxy/dx . (4.24)

Если учесть, что tyz = hdVz/dy, то для оси z:

dp/dz = hd2Vz/dy2 , (4.25) а для оси х: dp/dx = h d2Vx/dx2 (4.26)

Для оси х двойное интегрирование уравнения баланса сил приводит к следующему уравнению [3]:

vx(y) = Vxy/H - H2(dp/dx)[y/H-y2/H2]/2h (4.27)

y х

N

z

DP

dy dt

dx dz

.

Рис.7. Схема движения материала в III зоне экструдера.

т. к. расход расплава полимера в направлении х (между витками шнека) равен нулю, то величину производной dp/dx можно определить из интеграла: Q = H ò0t vx(y)dy = 0 , тогда

dp/dx = 6hVx/H2 (4.28)

и уравнение (4.27) превращается в более простое:

vx/Vx = y(2-3y)/H. (4.29)

Для оси z двойное интегрирование приводит к уравнению того же типа: vz(y) = Vzy/H - (dp/dz)[y/H-y2/H2]/2h . (4.30)

Расход в направлении оси z (вдоль всего винтового канала) уже не равен нулю, тем не менее воспользуемся ранее полученным видом производной dp/dx и напишем производную dp/dz в виде: dp/dz = 6hVz/H2.FQ, (4.31)

где FQ = Qобр/Qпрям. Тогда и это уравнение также превращается в более простое: vz/Vz = y(1-3FQ + 3yFQ/H)/H (4.32)

Решение дифференциального уравнения для скорости, направленной вдоль оси экструдера, определяющее расход расплава, также выражается простой формулой и имеет вид: vl /Vц = 3(y/H)(1-y/H)(1- FQ).sinj cosj , (4.33)

где Vц - скорость движения цилиндра, равная 2pN (N - скорость вращения шнека), j - угол подъёма винтовой линии шнека.

Так как расход расплава в зоне дозирования зависит от vz, то его можно определить путём интегрирования уравнения, выведенного для оси z: Q = B Hò0т vz(y)dy , где В - зазор между витками: Q = VzBH.Fg/2 - (dp/dz)BH3.Fp/12h, (4.34)

где первый член описывает вынужденный (прямой) поток, а второй - противоток. Коэффициенты Fg и Fp называются коэффициентами формы канала, учитывают прилипание расплава к его боковым стенкам и зависят только от отношения H/B (их величина обычно близка к 1). В более простом виде уравнение расхода можно записать как:

Q = A.N - B.DP/h, (4.35)

где коэффициенты А и В зависят только от геометрических параметров шнека: A= p2D2H.sinj.cosj /2 (4.35а)

и B=DH3sin2j/ 12Lдоз, (4.35б)

где j - угол подъема винтовой линии шнека, а Lдоз - длина зоны дозирования. В соответствии с уравнениями для коэффициентов А и В можно определить, как изменение геометрических параметров шнека будет влиять на положение рабочей характеристики экструдера.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4