En god förståelse för relationen mellan en originalfunktion g(x) och dess associerade linjära funktion g̃(x) kan illustreras med ett exempel där g(x) representeras av en tyngre linje, medan g̃(x) är en tunnare rät linje som är tangentiell vid en viss punkt. Denna punkt, x₀, markeras som en grå punkt på x-axeln, och värdet av den ursprungliga funktionen g(x₀) visas som en grå punkt på y-axeln. Det grå cirkeln vid skärningspunkten mellan kurvan och linjen representerar en punkt där båda funktionerna har samma värde och lutning, det vill säga g̃(x₀) = g(x₀) och g̃′(x₀) = g′(x₀). Den öppna cirkeln på x-axeln visar den lösning vi söker. Om g(x₀) ≠ 0 vet vi att x₀ inte är den lösning vi letar efter.

Idén bakom Newtons metod är att vi kan lösa den ekvation som uppstår genom att sätta den linjära funktionen lika med noll, det vill säga g̃(x) = g(x₀) + (x − x₀)g′(x₀) = 0. Den x-värde som vi hittar genom att lösa denna ekvation representeras som en solid svart punkt på x-axeln. Detta värde beror på vårt val av x₀. Genom att använda resultatet från en iteration som x₀ för nästa iteration kan vi skapa en algoritm: xi+1 = xi − g(xi) / g′(xi). Detta genererar en sekvens av värden {x₀, x₁, x₂, …, xn}, som konvergerar mot en lösning för den ursprungliga icke-linjära ekvationen, förutsatt att allt går som det ska. Newtons metod garanterar inte konvergens, men när den gör det, sker konvergensen snabbt nära lösningen.

För problem där konvergens är ett bekymmer, kan andra strategier användas. Låt oss applicera Newtons metod på en enkel icke-linjär ekvation. Vi söker lösningen till ekvationen x² − 3 = 0. Funktionen är g(x) = x² − 3, med derivatan g′(x) = 2x. Newtoniterationens ekvation blir xi+1 = xi − (x²i − 3) / (2xi). Från vilket som helst startvärde (utom x₀ = 0 i detta fall), kan vi beräkna en sekvens av uppskattningar. Tabellen visar hur iterationen går, med start från x₀ = 10. Vi kan nog gissa att 10 inte är särskilt nära lösningen vi söker, men detta val visar hur snabbt Newtons metod konvergerar till den verkliga lösningen (som är x = √3).

För att köra Newtons metod måste vi specificera startvärdet x₀ och en felmarginal som anger när algoritmen ska stoppa. För exemplet i tabellen var toleransen tol = 10⁻⁸. Det kan också vara en bra idé att begränsa antalet tillåtna iterationer för att undvika att sekvensen divergerar. För den enkla funktionen i detta exempel är konvergensen monoton, vilket innebär att felet blir mindre vid varje ny iteration. Den absoluta värdet av g(xn) är ett bra mått på felet vid iteration n, eftersom målet är att g(x) ska bli noll. Notera att felen i de sista tre iterationerna är i ordningen 10⁻², 10⁻⁴ och 10⁻⁹, vilket är ett kännetecken för kvadratisk konvergens, där den negativa exponenten på felet dubblas vid varje iteration.

Newtons metod kan endast gå till en lösning åt gången. För att hitta den andra roten måste ett annat startvärde anges. I detta fall skulle ett negativt värde fungera.

Det finns dock fall där Newtons metod inte är tillräcklig eller effektiv. Om funktionen inte har en tydlig lösning eller om derivatan i närheten av lösningen är mycket liten, kan metoden misslyckas med att konvergera. I sådana fall kan det vara nödvändigt att använda alternativa metoder som secantmetoden eller regula falsi, eller att först approximera lösningen med en grov uppskattning för att hjälpa metoden att konvergera.

Newtons metod ger också användbar insikt i hur snabbt en funktion kan konvergera mot en lösning. I många praktiska tillämpningar där exakta lösningar är svåra att hitta, gör Newtons metod det möjligt att snabbt få tillräckligt precisa lösningar för tekniska och vetenskapliga beräkningar.

Hur Stöd-Idealisationer Används i Statik

I statik är det grundläggande att förstå hur olika typer av stöd påverkar kroppens rörelse och stabilitet. I praktiken är det omöjligt att skapa ett "perfekt" stöd, eftersom alla fysiska stödsystem tillåter en viss grad av rörelse. Trots detta är det vanligt att använda idealiseringar för att förenkla beräkningar och analyser. Dessa idealiseringar kan vara viktiga när man modellerar mekaniska system för att förstå deras beteende under olika belastningar.

För att ett objekt ska vara i statisk jämvikt krävs att det är ordentligt stöttat. Stöd kan vara av olika slag, beroende på hur de begränsar rörelse vid vissa punkter på objektet. Generellt skapas dessa restriktioner genom specifika anordningar, vilka tillåter viss rörelse samtidigt som de hindrar andra. Till exempel, ett fast stöd kan hindra både translation och rotation vid stödpunkten, vilket skapar en fullt fixerad punkt. Ett pinnarstöd (pinned support), å andra sidan, hindrar enbart översättning men tillåter rotation kring punkten. Ett rullstöd tillåter både översättning och rotation på en plan yta, men den enda reaktionen som finns är en kraft som är vinkelrät mot ytan.

För att hantera denna variation av stödkonfigurationer använder ingenjörer idealiseringar. Ett exempel på en sådan idealisering är att när vi arbetar med plan problem, ersätter vi fysiska stöd med reaktionskrafter och moment. Ett fast stöd kan idealiseras som en reaktionskraft och ett moment vid stödpunkten, medan ett pinnarstöd endast representeras av en reaktionskraft utan något moment. Denna förenkling underlättar beräkningar och gör det möjligt att fokusera på de viktigaste krafterna som påverkar systemet. Det är viktigt att notera att idealiseringen inte alltid motsvarar verkligheten. I praktiken kommer inget stöd att vara perfekt, och små rörelser kan inträffa även vid de mest stabila stödpunkterna. Dessa rörelser tenderar dock att vara så små att de kan ignoreras i vissa sammanhang, särskilt i de första stegen av en analys.

När vi ser på verkliga exempel, som ett stål-I-balk som är fäst vid en platta genom en vinkelsektion, kan vi märka att stödet är mellan ett fast stöd och ett pinnarstöd. Detta beror på balkens dimensioner och den flexibilitet som finns i den verkliga fästningen. Trots detta kan ingenjören i många fall välja att idealisera stödet som ett pinnarstöd för att förenkla beräkningarna, vilket innebär att viss rotation kan ske även om en viss rörelsehindring förekommer. En sådan idealisering, även om den inte är exakt, är ofta tillräcklig för att få en god förståelse för systemets övergripande beteende.

Vidare används ofta interna pin-joint, eller interna gångjärn, i strukturer. Dessa leder till att flera stänger delar på samma pinne, vilket gör det möjligt för dessa stänger att rotera fritt relativt varandra, samtidigt som de måste förflyttas tillsammans med pinnen. I dessa fall kan ingenjörer skapa modeller där de idealiserar denna pinne som en stödpunkt där krafterna överförs utan att systemet behöver beakta varje individuell rörelse. En fri kroppsdiafram kan användas för att beskriva krafterna som verkar på pinnarna och hur dessa fördelas mellan de sammanlänkade komponenterna.

Därför är det viktigt att förstå att idealiseringarna som används inom statik är förenklingar av verkligheten. Även om dessa idealiseringar inte exakt motsvarar den faktiska fysiska situationen, ger de en effektiv metod för att analysera och förstå komplexa strukturer och deras beteende under olika krafter. Ingenjörer måste ständigt göra bedömningar om hur dessa idealiseringar ska användas beroende på syftet med analysen och den önskade noggrannheten.

För att utföra en korrekt analys är det inte bara avgörande att förstå de grundläggande stödförhållandena, utan också att kunna anpassa dessa idealiseringar efter det praktiska sammanhanget. I mer komplexa system, som de som involverar tre dimensioner, blir dessa idealiseringar ännu mer utmanande och kräver en djupare förståelse av både mekanikens grundprinciper och de verkliga restriktionerna som finns i konstruktioner. Det är genom denna förståelse som ingenjören kan skapa säkra och funktionella strukturer, trots att de arbetar med en idealiserad version av världen.

Hur deformerade kroppar påverkar vinklar och längder i ett system

Deformationen av ett fast ämne kan studeras genom att analysera förändringar både i längder och i vinklar mellan linjer i det ursprungliga (referens) tillståndet och det deformerade tillståndet. Vid en stel kroppsrörelse förblir alla vinklar och längder oförändrade. Men vid en deformation som innebär att kroppens form förändras, kan både längder och vinklar ändras, och detta leder oss till begreppet "shear strain" eller skjuvdeformation, där vinklar mellan linjer kan ändras oberoende av förändringar i längder.

Vid en rigid rörelse är deformationen noll, eftersom kraften som verkar på en kropp är lika med den applicerade kraften, och deformationens gradient (F) resulterar i att kroppen inte förändras i form. Det betyder att spänningen för en sådan rörelse är exakt noll.

I mer komplexa deformationer, där både längder och vinklar förändras, är det viktigt att förstå de olika tensorerna som används för att beskriva dessa förändringar. Ett exempel är Green-deformationstensoren (C), som kan uttryckas som C=FTFC = F^T F, och är användbar för att beräkna förändringar i längder och vinklar. För att beskriva deformationer använder vi ofta Lagrangian-strain-tensorer (E), där E=12(C−I)E = \frac{1}{2} (C - I), där II är enhetsmatrisen och CC är den Green-deformationstensor som definierats tidigare.

För att förstå hur vinklar förändras vid deformation kan man studera shear strain. Här handlar det om att analysera hur vinkeln mellan två linjer förändras, oberoende av förändringarna i deras längder. Ett bra exempel på detta är förändringen mellan två linjer, BC och BD, i en referenskonfiguration. Om linjerna initialt är vinkelräta (det vill säga cos⁡(β0)=0\cos(\beta_0) = 0) kan deformationen orsaka att vinkeln mellan linjerna ändras, även om deras längder inte förändras avsevärt.

För att uttrycka detta matematiskt, om vi har vektorer som definierar linjerna s1⃗\vec{s_1} och s2⃗\vec{s_2} i referenskonfigurationen, så kan de deformerade linjernas längder vara λ1s1\lambda_1 s_1 och λ2s2\lambda_2 s_2, där λ1\lambda_1 och λ2\lambda_2 är de sträckningsfaktorer som gäller för varje linje. Vinkeln mellan de deformerade linjerna kan beräknas med hjälp av deformeringstensorerna, och en viktig relation här är den mellan vinklarna före och efter deformationen, uttryckt som:

cos⁡(β)=n1TCn2λ1λ2\cos(\beta) = \frac{n_1^T C n_2}{\lambda_1 \lambda_2}

Det här uttrycket visar att förändringen i vinkeln beror på de förändringar som sker i längderna samt i deformationen av linjerna. Det är viktigt att notera att denna förändring i vinkel inte är helt beroende av förändringarna i längderna. Faktum är att även om linjernas längder inte förändras (λ1=λ2=1\lambda_1 = \lambda_2 = 1), kan vinkeln fortfarande ändras på grund av shear strain.

För att förstå detta ytterligare, bör man också beakta att vinklar kan mätas mellan basvektorer i referenskonfigurationen. Om vi till exempel vill beräkna vinkeln mellan de två basvektorerna e1e_1 och e2e_2, kan vi använda den off-diagonala komponenten av strain-tensoren εxy\varepsilon_{xy} för att beräkna förändringen i vinkeln mellan dessa linjer i det deformerade tillståndet. Den off-diagonala komponenten ger oss ett mått på hur mycket de två linjerna har "rört sig" bort från en vinkelrät position. Om sträckningsfaktorerna är ungefär lika med ett (dvs. små deformationer), kan vi approximera förändringen i vinkel som:

2εxy≈cos⁡(β)2 \varepsilon_{xy} \approx \cos(\beta)

Detta ger en viktig relation som kopplar strain-komponenterna till de geometriska förändringarna i vinklar och längder. Denna förståelse är grundläggande för att kunna beräkna och förutsäga hur kroppens deformation kommer att påverka dess struktur och egenskaper, särskilt vid små till måttliga deformationer.

För att illustrera hur deformerade längder och vinklar relaterar till tensorer kan ett konkret exempel vara att beräkna Green-deformationstensorn och Lagrangian-strain-tensorn för en viss deformation, vilket kan hjälpa till att förstå hur de geometriska förändringarna överensstämmer med elementära geometriska begrepp som Pythagoras sats. Om en deformation, som i ett tidigare exempel, innebär en förändring av linjerna AB och AC, kan man beräkna deras deformerade längder och jämföra de ursprungliga och deformerade vinklarna. Detta skulle bekräfta att deformationen orsakar en vridning eller rotation av linjerna, men utan att varje linje vrider sig på exakt samma sätt, vilket är ett tecken på att deformationen inte är en enkel rigid kroppsrörelse.

En viktig aspekt att förstå är att det finns flera sätt att representera och beräkna deformationer beroende på vilken form av deformation man studerar, och dessa beräkningar ger insikt i hur materialet reagerar på externa krafter. För en fullständig förståelse av hur kroppens form förändras, måste man inte bara titta på längder och vinklar, utan också på de olika typerna av strain-tensorer och deras matematiska relationer.

Hur uppstår böjning och rotation i balkar med jämnt fördelad last?

När man analyserar en linjär elastisk balk, oavsett dess upplagsvillkor, utgör sambandet mellan moment, tvärkraft, rotation och nedböjning ett sammanhängande kinematiskt system. Genom att integrera de grundläggande differentialekvationerna för böjning — antingen av andra eller fjärde ordningen — kan man direkt härleda balkens form och de interna krafter som verkar längs dess längd.

Betrakta en enkelt upplagd balk med längd L, böjstyvhet EI och en jämnt fördelad last q₀. Det inre momentet, härlett från jämviktsekvationerna, kan skrivas som
M(x) = q₀(Lx/2 – x²/2).
Genom sambandet wʺ = −M/EI blir den tvärgående deformationen w(x) en dubbelintegral av momentfördelningen. Efter integration och tillämpning av randvillkor w(0) = w(L) = 0 erhålls uttrycket

w(x) = −(q₀L⁴ / 24EI)(ζ⁴ − 2ζ³ + ζ), där ζ = x/L.

Detta resultat visar två väsentliga aspekter. För det första är den dimensionslösa formen på nedböjningskurvan helt bestämd av termen inom parentesen — den beskriver en generell geometrisk profil oberoende av specifika materialparametrar. För det andra anger koefficienten framför denna term hur mycket balken faktiskt böjs: deflektionen är proportionell mot lastintensiteten q₀ och den fjärde potensen av längden L⁴, men omvänt proportionell mot böjstyvheten EI.

Alternativt kan man integrera den fjärde ordningens differentialekvation direkt, EI·w⁽⁴⁾ = q₀, utan att först härleda momentet. Denna metod ger samma resultat men visar tydligare sambandet mellan integrationens successiva steg och de fysiska storheterna: rotation, tvärkraft och moment uppstår i tur och ordning genom differentiering av deformationen. Varje integration motsvarar därför ett fysiskt fenomen i balkens respons.

När vi övergår till mer komplexa fall — exempelvis en proppad konsolbalk med en inre led — framträder kinematiska diskontinuiteter. En sådan led tillåter en rotationssprång, vilket innebär att momentet upphör att vara kontinuerligt över hela balken. För att analysera detta delas konstruktionen upp i två segment, och de respektive böjningsfunktionerna w₁(x) och w₂(x) bestäms separat. Vid ledförbindelsen vid x = L/2 måste dock både moment och tvärkraft vara kontinuerliga, medan rotationen får ha ett språng.

Genom att införa randvillkoren w₁(0) = 0, w₂(L) = 0, w′₂(L) = 0 samt kontinuitetsvillkoren w₁(L/2) = w₂(L/2) kan integrationskonstanterna elimineras, och deflektionsuttrycken blir

w₁(x) = −(q₀ / 24EI)(Lx³ − x⁴ − L³x) för 0 ≤ x ≤ L/2,
w₂(x) = −(q₀ / 24EI)(Lx³ − x⁴ + L³x − L⁴) för L/2 ≤ x ≤ L.

Rotationen, definierad som θ = −w′, uppvisar då en tydlig språngskillnad vid leden:

Δθ = (q₀L³) / (12EI).

Detta rotationssprång visualiseras i både rotations- och nedböjningsdiagram som en skarp böjning vid leden, en manifestation av den kinematiska friheten som introduceras av det interna gångjärnet.

Det väsentliga att förstå är att balkens respons inte enbart styrs av lastens storlek, utan i hög grad av dess randvillkor. Varje typ av upplag eller inre led förändrar systemets kinematik — vilka frihetsgrader som tillåts, vilka moment som kan utvecklas, och var energi lagras eller frigörs. En djupare

Hur kan vetenskap och dess kommunikation bygga förtroende i en post-sanning era?
Vad är populismens retorik och varför den är effektiv?
Hur förbättras CO2-infångning genom avancerade material och processer?
Vilken roll kan elektrofermentation av syngas spela i en hållbar framtid?
Barinova I.I., biträdande direktör Rekommendationer för pedagoger vid organisering av projekt- och forskningsarbete Sträva efter att utveckla varje barns individuella böjelser och förmågor Fokusera mer på forskningsprocessen Lär barn att identifiera samband mellan ämnen, händelser och fenomen Lär dem att samla in information samt att analysera, syntetisera och klassificera den Gör inte för barnen det de kan göra själva Lär eleverna att analysera situationer och lösa forskningsproblem Tänk på att när du bedömer – det är bättre att berömma för inget än att kritisera för inget.
Förebyggande av trafikolyckor bland barn föredrag på föräldramöte, mars 2015
Ändring av texten i kvartalsrapporten
Arbetsprogram i kemi för elever i 8C klass
Del 4. Ämne 1-4. Komplexa föreningar.