Hur Yang-Mills teori och kvantfältteori revolutionerade vår förståelse av fysik och matematik

Yang-Mills teori erbjuder en matematisk ram för att beskriva och förutsäga sannolikheterna för högenergi-händelser, på samma sätt som Schrödingers ekvation gör för den icke-relativistiska elektronen inom kvantmekanik. Det finns dock en parallell mellan dessa teorier som kräver en djupare matematisk förståelse, särskilt när man rör sig från klassiska teorier till mer abstrakta och komplexa fältteoretiska modeller, som i fallet med Yang-Mills ekvationer.

I denna matematiska arkitektur grundar man sig från början på kvantfält, vilket gör att koncepten kring Yang-Mills-teorin är djupt inbäddade i abstrakt matematik. Enligt den fiberbundna versionen av Yang-Mills teori, kan den klassiska fysiken omvandlas till rena matematiska begrepp som behandlar dessa fält på ett mer sofistikerat sätt än vad som traditionellt var möjligt i fysiken vid teoretiska fysikers tid. Denna teori etablerar att när en lokal gauge-transformation (en förändring av den lokala trivialiseringen av den primära fiberbundeln) äger rum, förändras kvantfältet på exakt det sätt som en koppling (som fungerar som en gauge-fält) förändras på en primär fiberbunt.

Yang-Mills fältstyrka definieras av kopplingens krökning, som en form av mätning av energi och dynamik i fältet. Här introduceras Yang-Mills handlingsfunktional, som beskriver fältets energi och definieras av integralen av $F^2$, vilket leder fram till de Euler-Lagrange-ekvationer som beskriver fältets rörelse och evolution. Dessa ekvationer kallas Yang-Mills ekvationer och deras lösningar kallas instantoner, en matematisk representation av fysiska lösningar i denna teori.

Det är värt att notera att även om Yang-Mills ekvationer uttrycks i en till synes enkel och elegant form, är deras matematiska innebörd långt mer komplex och inte alltid intuitiv. Detta sätt att formulera teorin förde med sig nya möjligheter, men också nya utmaningar, när det gäller att förstå dess kvantmekaniska egenskaper. För att teorin skulle bli fullt kvantiserad och kunna stämma överens med experimentella resultat – som självklart är probabilistiska – var det nödvändigt att introducera Feynman-vägintegraler och propagatorer. Dessa används för att representera vågfunktioner och ange sannolikheter för att partiklar ska observeras i specifika positioner över tid, vilket gör det möjligt att koppla samman den teoretiska matematiska strukturen med experimentella data.

Det var genom att använda moduli-rummet av instantoner på fyrdimensionella mångfalder, och bevisa Donaldsons sats, som den klassiska versionen av Yang-Mills teori blev synlig och förstådd mer rent matematiskt, snarare än att direkt appliceras på fysiken. Detta stödjer den uppfattning att matematik och fysik inte alltid är samma sak, även om fysik ofta använder matematiska resultat. Enligt detta synsätt är det matematiska språket som används inom Yang-Mills teori – inklusive begrepp som principalbundlar och kopplingar – mycket mer utvecklat inom matematiken än inom fysiken, vilket ledde till att nya matematiska idéer utvecklades för att hantera dessa problem, och sedan applicerades på fysikens värld.

Den så kallade QCD-Lagrangianen (Quantum Chromodynamics) är ett exempel på hur denna teori appliceras i kvantfysikens värld, där interaktionen mellan kvarkar och gluoner, inklusive fenomen som kvarkkonfinement, beskrivs med hög matematiskt komplexitet. Men när man går från de eleganta teoretiska beskrivningarna till de praktiska beräkningarna – såsom de som David Gross, Frank Wilczek och Hugh D. Politzer gjorde – inser man snabbt att den underliggande matematikens skönhet döljer en beräkningsmässig mardröm. De matematiska modellerna som beskrivs i dessa teorier, trots sin elegans, blir snabbt svåra att hantera när man försöker att exakt beräkna kvarkarnas interaktioner.

Så trots att den tidiga fysiken och matematikens resultat som Yang-Mills ekvationer grundade sig på var revolutionerande, är det också tydligt att de ledde till en mognad av nya teorier och beräkningsmetoder, som kanske än så länge är långt ifrån fullständigt förstådda eller utnyttjade. I slutändan kan fysiken och matematikens nära koppling bara förstås genom en långsiktig analys, där teorier som Yang-Mills och QCD kan ge oss en indikation på vägen mot att förstå ännu mer fundamentala aspekter av vårt universum.

Vad beskriver universella och dekorerade Teichmüllerrum egentligen?

Den karakteristiska avbildningen, som är både surjektiv och ordningsbevarande injektiv, uppstår naturligt ur konstruktionen av tätheten i mängden $S^1$. Den interpolerar ett orienteringsbevarande homeomorfism $\varphi: S^1 \to S^1$, vilket möjliggör identifikationen mellan tesselationer av disken $D$ och topologigruppen $\text{Homeo}^+(S^1)$ utrustad med den kompakt-öppna topologin. Genom att tilldela varje kant i en ideal triangulering en sådan avbildning, får vi ett homeomorfi från rummet av tesselationer med fixerad struktur till $\text{Homeo}^+(S^1)$.

Kvotrummet $\text{Tess} = \text{Tess}'/\text{PSL}(2,\mathbb{R})$ representerar det universella Teichmüllerrummet och generaliserar därmed Bers' konstruktion av kvasi-symmetriska homeomorfismer på cirkeln. Skillnaden är att man här tillåter alla orienteringsbevarande homeomorfismer, inte enbart de kvasi-symmetriska.

När man övergår till ytor av ändlig typ, låter man $F = F^s_g$ vara en kompakt orienterbar yta av genus $g$ med $s$ punkter borttagna, vilka behandlas som punkteringar. Under förutsättningen att Eulerkarakteristikan $\chi(F) = 2 - 2g - s < 0$, uniformiseras $F$ av en Fuchsisk grupp som inbäddar fundamentala gruppen $\pi_1(F)$ diskret i $\text{PSL}(2,\mathbb{R})$, där paraboler representerar slingor runt punkturerna.

Teichmüllerrummet $\mathcal{T}(F) = \text{Hom}'(\pi_1, \text{PSL}(2,\mathbb{R}))/\text{PSL}(2,\mathbb{R})$ beskriver dessa Fuchsiska representationer upp till konjugation. Den dekorerade versionen, $\tilde{\mathcal{T}}(F) = \mathcal{T}(F) \times (\mathbb{R}_+)^s$, tillför positiva vikter vid punkturerna, vilket i praktiken möjliggör finare parametriseringar och koordinatisering.

Centralt är strukturen av ideal trianguleringar: familjer av inbördes disjunkta, essentiella bågar som förbinder punkturer och fyller ytan i meningen att komplementet är enkeltsammanhängande. Varje sådan maximal bågfamilj motsvarar en ideal triangulering. Lambda-längder tilldelade dessa bågar fungerar som globala koordinater på $\tilde{\mathcal{T}}(F)$, där varje övergång mellan trianguleringar motsvarar en så kallad flip, vilket byter ut en diagonal i en ideal fyrhörning.

Denna lokala operation definierar en väg i Teichmüllerrummet genom den ideala celldecomposition $\mathcal{C}(F)$, vars simplicer är indexerade av bågfamiljer. Topologiskt genererar flippar hela rumets struktur: varje två trianguleringar förbinds via en ändlig sekvens flippar, vilket motsvarar vägkopplingen i $\tilde{\mathcal{T}}(F)$. Det fundamentala väggrupoidet för detta rum, Ptolemaiska grupoiden $\text{Pt}(F)$, har därmed triang

Hur kan det oändliga skapa ordning ur paradoxen?

En gång organiserade fader Andrei ett möte någonstans i Grekland där påven i Rom och patriarken i Konstantinopel möttes. När dessa två höga religiösa ledare samlades, beslutade de att de från och med nu skulle vara vänner. Därefter välkomnades fader Andrei med öppna dörrar både i patriarkatet i Istanbul och i Vatikanen. Han hade blivit välkänd på den internationella scenen.

För att förstå hur jag återigen träffade fader Andrei måste jag börja med att berätta något om mig själv. Jag är född i ett ortodoxt land och blev döpt, men mina två älskade barn, Hannibal och Alexandra, som Milen och jag fick senare, var inte döpta. Varken mina föräldrar eller jag var praktiserande kristna, och jag är det inte heller nu. Av tradition gick vi i kyrkan vid jul och påsk, men inte mer än så. Som tonåring fascinerades jag mest av filosofi, och min favoritbok var Kants Kritik av det rena förnuftet. Men sedan skiftade mitt intresse från filosofi till fysik och vidare till matematik, vilket blev mitt yrke. Ändå levde mitt intresse för filosofi kvar och det väckte också en fascination för mysticism, vilket ledde till att jag träffade fader Andrei genom Iesihastos-gemenskapen. Några år efter att han lämnat den gemenskapen mötte jag även Anton Dumitriu, professorn som Andrei arbetat för vid filosofiska fakulteten. Han satt då fängslad för politiska skäl, men efter frigivningen blev vi bekanta och hade många intressanta samtal. Mitt stora fokus var dock matematik.

Sommaren 1962 förberedde jag mig för att tala vid den internationella matematikkongressen i Stockholm, dit jag var inbjuden, och visste att jag aldrig skulle återvända till Rumänien. Fader Alexe, som jag nämnt tidigare, var en av få som visste detta, och han gav mig sin välsignelse. Några år senare, 1967, bosatte sig Milen och jag i Bures-sur-Yvette utanför Paris, och där började jag åter träffa fader Andrei. Han reste mycket och bodde då i en cell vid ett ekumeniskt centrum, Istina, som drevs av dominikaner i den vackra parken Saint Cloud. På liturgisk ryska betyder "Istina" evighet. Vi återupptog våra samtal och hade middagar tillsammans. Han gjorde starkt intryck på Milen. Trots många gemensamma samtalsämnen var vi inte alltid överens, särskilt inte när det gällde hans starka engagemang för tredje världen eller hans kritik av västerländsk samhällsstruktur, där jag själv fann den bästa platsen för vetenskaplig forskning. En fråga som alltid fascinerade mig och som vi ofta diskuterade var den kreativa kraften i det oändliga.

Ett matematiskt exempel illustrerar denna magiska kraft. Sedan början av 1900-talet fanns ett berömt problem, Schoenflies-konjekturen, som handlade om att i varje dimension $n$ skulle två till synes olika $n$-dimensionella objekt faktiskt vara samma. För dimensioner upp till tre var detta känt sedan 1925, men för högre dimensioner var det ett mysterium. På 1950-talet bevisade Barry Mazur, endast 18 år gammal, konjekturen för alla dimensioner, med hjälp av det oändligas kraft. Hans bevis var så elegant och originellt att matematikvärlden tog månader att acceptera det. Ett förenklat exempel: en oändlig alternerande summa av plus och minus ett kan organiseras så att summan både verkar vara ett och noll, vilket är absurd matematik, men just denna absurditet utnyttjas i beviset. Barry och jag blev sedermera goda vänner, men det är en annan berättelse.

Fader Andrei var mycket intresserad av denna idé om det oändligas kreativa kraft och att hantera absurditeter med dess hjälp. Men när kommunen i Paris beslutade att omvandla Saint Cloud-parken till en stadion försvann Istina, och fader Andrei slutade komma dit. Vi fortsatte att kommunicera via brev mellan Paris och Libanon.

Efter kommunismens fall 1990 återvände fader Andrei till sin cell vid Bukarests patriarkat, där han senare dog. Under tiden hade han skrivit några böcker, där han bland annat nämnde mig, vilket ledde till att jag blev inbjuden till ett teologiskt konferens i Vatikanen, en inbjudan jag dock artigt tackade nej till.

Efter denna berättelse kan man fråga sig om jag tror på Gud. Jag går inte i kyrkan och organiserad religion är mig främmande. För mig är frågan om Guds existens meningslös eftersom ordet "existera" gäller det vi kan erfara med våra sinnen eller genom vetenskap. Det innebär vår värld, vårt universum, eller möjligen multiversum. Den värld vi ser är vacker – skogar, djur, stjärnhimmel – men bakom denna skönhet finns matematikens djupa lagar, som Maxwell-ekvationerna. Den verkliga storheten är världens matematiska skönhet, vars ontologiska status förblir en gåta. Inom biologin, likt fysikens tillstånd före Galileo och Descartes, väntar vi på en framtid där ny, ännu okänd och storslagen matematik kommer att användas.

Matematikens värld är lika verklig och objektiv som vår egen, en oändligt stor och komplex struktur – ett oändlighetens slott, där människan bara har tillgång till en liten del. Man kan föreställa sig en entitet, kallad Transcendens, som kan omfatta hela detta slott på en gång. Gödel’s ofullständighetssatser får där en ny innebörd, och olösta problem upphör att existera.

Det är viktigt att förstå att denna syn på matematik och verklighet förutsätter en annan form av existens än den vardagliga materiella världen. Den kopplar samman mystik och vetenskap genom att låta det oändliga vara källan till både logikens paradokser och kreativitetens kraft. Detta perspektiv belyser gränserna för vårt vetande och öppnar samtidigt dörren till en djupare, mer sammanhängande verklighet där matematik och andlighet förenas.