Hoe wordt fysieke interactie tussen robot en omgeving gecontroleerd?

De fysieke interactie tussen een robot en haar omgeving vindt plaats via een contactpunt of een contactoppervlak waarbij mechanische energie wordt uitgewisseld. Deze uitwisseling van energie, of mechanisch vermogen, kan worden uitgedrukt als het scalair product van de kracht die door de omgeving op de robot wordt uitgeoefend en de gezamenlijke snelheid op het contactpunt. In formules: het vermogen $P = \mathbf{f}^T \mathbf{v}$, waarbij $\mathbf{v}$ de snelheid is en $\mathbf{f}$ de kracht. Hierbij geldt dat de kracht die de robot op de omgeving uitoefent gelijk is aan $-\mathbf{f}$, conform de derde wet van Newton.

Een cruciaal inzicht is dat het tegelijkertijd controleren van snelheid en kracht onmogelijk is. Wanneer de robot zijn snelheid regelt, wordt de kracht bepaald door de omgeving en de dynamica van het systeem, en omgekeerd. Daardoor zijn er drie fundamentele strategieën om fysieke interacties te controleren: het regelen van de snelheid (of positie) van de robot, het regelen van de kracht die de robot op de omgeving uitoefent, en het regelen van de dynamische relatie tussen kracht en snelheid, ook wel impedance control genoemd.

De keuze van de juiste controlestrategie hangt af van de aard van de taak, het type robot en de dynamische eigenschappen van de omgeving. Bijvoorbeeld, bij interactie met een inertiële omgeving, zoals een robotarm die een object optilt, is snelheid- of positiebesturing het meest zinvol. Hier gaat het erom een vooraf bepaalde baan binnen een bepaalde tijd te volgen, waarbij de interactiekracht als een externe storing wordt behandeld. Als de omgeving vooral dempend gedrag vertoont, zoals wrijving die evenredig is met de snelheid, kan de kracht beperkt worden door de snelheid te verlagen.

Anders ligt het bij een elastische omgeving, die zich gedraagt als een veer en na vervorming terugveert naar zijn oorspronkelijke vorm. Bij een stijve, elastische omgeving is het controleren van de robotpositie of snelheid riskant. Kleine onzekerheden in de stijfheidscoëfficiënt of in de positie van het contactoppervlak kunnen leiden tot grote, mogelijk schadelijke krachten. In zulke gevallen is het wenselijk om kracht te controleren in plaats van beweging.

Deze observaties leiden tot de volgende conclusies: zuivere bewegingscontrole is geschikt voor interactie met inertiële of dempende omgevingen, of bij afwezigheid van interactie. Krachtcontrole is geschikt voor omgevingen met hoge interactiekrachten bij geringe robotbeweging, typisch voor stijve elastische of starre omgevingen. Tussen deze extremen in ligt impedance control, waarbij een gewenst dynamisch gedrag tussen kracht en snelheid wordt nagestreefd, zonder rigide opdracht van een van beide.

In werkelijkheid is fysieke interactie vaak een complex fenomeen, waarbij de lokale eigenschappen van het contactoppervlak en de globale dynamica van zowel robot als omgeving een rol spelen. Daarnaast kunnen geometrische beperkingen van de omgeving de beweging van het robotuiteinde beperken, wat leidt tot reactiekrachten wanneer die beperkingen dreigen te worden overtreden. Dit maakt het modelleren en controleren van de interactie uitdagend en vereist doorgaans robuuste terugkoppelingsstrategieën die minder afhankelijk zijn van exacte modellen.

Er bestaan verschillende benaderingen voor krachtcontrole. Impedance control is nuttig wanneer het model van de omgeving onzeker of onbekend is en beschouwt de interactie als een wisselwerking tussen passieve systemen die geen energie genereren. Een andere benadering is hybride kracht/bewegingscontrole, die vooral toepasbaar is bij geometrische beperkingen: beweging wordt gecontroleerd langs vrijgegeven bewegingsrichtingen, terwijl kracht wordt geregeld langs begrensde richtingen.

Het is van belang te beseffen dat de praktijk van fysieke interactie zelden ideaal is: modellen zijn vereenvoudigingen, en het gedrag van de omgeving kan variëren. Hierdoor ligt de nadruk in ontwerp van controlealgoritmen op robuustheid en aanpassingsvermogen. Voor een goed begrip is het essentieel om niet alleen de fundamentele principes van kracht- en bewegingscontrole te kennen, maar ook om inzicht te hebben in de karakteristieken van de omgeving en de specifieke taak. Zonder deze kennis kan een ogenschijnlijk optimale strategie in de praktijk falen door overschrijding van krachten die schade veroorzaken of door instabiliteit.

Hoe werkt de dynamica van manipulators met elastische gewrichten?

De beweging van de robotarm met elastische gewrichten wordt gedreven door de interne koppel die vrijkomt als gevolg van de buiging van de transmissieveer. Deze veer wordt samengedrukt of uitgerekt door het motorvermogen dat via een overbrenging op de gewrichten werkt. In het geval van een onbegrensde stijfheid van de transmissie (wanneer de stijfheid van de veer naar oneindig gaat), komt het model van een rigide gewricht tevoorschijn als een grensgeval. Dit betekent dat de motorpositie gelijk wordt aan de schakelpositie, oftewel θ → q, samen met hun tijdsafgeleiden. Het gewrichtskoppel door de transmissie wordt dan gelijk aan het toegepaste motorkoppel, oftewel τJ → τ. Dit leidt tot een vereenvoudigd dynamisch model, zoals dat van een aangedreven, wrijvingsloze slinger onder invloed van de zwaartekracht.

In de dynamica van een robot met elastische gewrichten wordt de robot als een open kinematische keten beschouwd, bestaande uit n+1 rigide lichamen (de basis en n beweegbare schakels) die verbonden zijn door n (roterende of lineaire) gewrichten. Elk gewricht is elastisch, maar in sommige gevallen kunnen ook gemengde situaties optreden vanwege het gebruik van verschillende transmissieapparaten. Bij het gebruik van reductiekasten worden deze gemodelleerd als voorafgaand aan de gewrichtsdeformatie. De elastische gewrichten, afhankelijk van hun elastische eigenschappen, hebben een directe invloed op de dynamica van de robot. De gewrichtsstijfheid speelt een cruciale rol in de manier waarop de transmissie het motorkoppel overbrengt naar de robotarm.

De keuze van coördinaten in een robot met elastische gewrichten is van groot belang. Hier wordt gewerkt met een n-vector van schakelposities q (de standaard DH-coördinaten), samen met een n-vector van motorposities θ, die via de transmissie en reductiekasten de rotaties van de motoren reflecteren. Deze keuze is bijzonder handig omdat de robotdynamica in dit geval onafhankelijk is van de reductieverhoudingen, waardoor de kinematica van de robot enkel afhankelijk is van de schakelvariabelen q. De berekening van de inverse en directe kinematica blijft daardoor hetzelfde als in het geval van rigide robots.

De energiebijdragen van de robot kunnen worden onderverdeeld in kinetische en potentiële energie. De kinetische energie van de schakels wordt gegeven door Tl = ½q̇ᵀ M(q)q̇, waarbij M(q) de inertiematrix is die de massa en inertie van de robot weerspiegelt. De motoren dragen bij aan de kinetische energie van het systeem via de rotaties, die in de Lagrangiaan worden uitgedrukt als Tm = ½θ̇ᵀ I_m θ̇, waarbij I_m de rotor-inertiamatrix is van de motoren.

Wat betreft de potentiële energie, deze wordt voornamelijk bepaald door de zwaartekracht en de elasticiteit van de gewrichten. De zwaartekracht werkt op de schakels, terwijl de elastische energie van de gewrichten wordt gemodelleerd door een veerfunctie die afhankelijk is van de afwijking tussen de motorpositie en de schakelpositie. Dit geeft de potentiële energie als U = U_g(q) + U_e(θ − q), waarbij U_g de zwaartekrachtsenergie is die alleen afhankelijk is van de schakelposities en U_e de energie is die voortkomt uit de elasticiteit van de gewrichten.

Bij de aannames die voor de modellering worden gebruikt, is er een belangrijke voorwaarde die betreft de elasticiteit van de gewrichten. In de meeste gevallen kunnen de gewrichten worden gemodelleerd als een torsionele veer (voor roterende gewrichten) of een lineaire veer (voor lineaire gewrichten). De stijfheid van deze veren kan echter variëren afhankelijk van de ontwerpkeuzes van de transmissie en de gebruikte motoren. Dit maakt het mogelijk om complexe systemen te bouwen waarbij de gewrichtsstijfheid dynamisch kan worden aangepast, wat van cruciaal belang is voor geavanceerde robottoepassingen.

Bij manipulators met elastische gewrichten is het essentieel om te begrijpen dat de interactie tussen de motoren en de gewrichten de algehele prestaties van het systeem bepaalt. Dit is vooral belangrijk bij taken die fijne precisie vereisen, waar de interactie tussen de motoren, transmissies en gewrichten subtiele controlemechanismen vereist. De invloed van de elastische gewrichten op de kinematica, de energiebeheersing en de stabiliteit van de robot moet in het ontwerp en de regeling worden meegenomen. Bovendien is het essentieel om niet alleen naar de mechanische eigenschappen van de gewrichten te kijken, maar ook naar hoe de elektrische aandrijvingen en de controlealgoritmen de dynamica van het systeem beïnvloeden.

Hoe waarborgen passiviteit en feedbacklinearizatie stabiliteit in lineaire en niet-lineaire systemen?

Bij realiseerbare passieve systemen (waarbij de orde r ≥ 0 is) kan asymptotische stabiliteit gegarandeerd worden als ten minste één van de systemen zwak strikt passief is. Dit toont aan dat zelfs een gedeeltelijke overtollige passiviteit van een subsysteem de tekortkoming van een ander subsysteem kan compenseren, wat een belangrijke eigenschap is bij het ontwerpen van stabiele terugkoppelingen.

De situatie wordt complexer bij niet-lineaire systemen. Hier beperkt men zich vaak tot systemen die worden beschreven door gewone differentiaalvergelijkingen met toestandsvariabelen x(t), invoer u(t) en uitvoer y(t), waarbij het systeem affine is in de invoer. De concepten van passiviteit en strikte passiviteit kunnen worden uitgebreid via een opslagfunctie V(x), die werkt als een Lyapunov-functie voor stabiliteitsanalyse. Strikte passiviteit vereist dat er een positieve functie d(x) bestaat die een zekere dissipatie van energie weergeeft. Als de ongelijkheid voor passiviteit gelijk wordt, heet het systeem verliesloos.

Voor stabiliteitsanalyse speelt ook zero-state observeerbaarheid een cruciale rol: zonder invoer mogen geen niet-triviale toestanden in de nul-uitvoeringsruimte blijven, behalve de oorsprong. Voor twee onderling via negatieve terugkoppeling verbonden systemen H1 en H2 die beide passief en zero-state observeerbaar zijn, kan met behulp van sommen van opslagfuncties een Lyapunov-kandidaat worden gevormd die asymptotische stabiliteit van de oorsprong garandeert. Daarbij kunnen negatieve passiviteitsparameters in één systeem gecompenseerd worden door positieve parameters in het andere.

Voor niet-lineaire systemen is feedbacklinearizatie een essentiële techniek om complexe dynamiek te beheersen. Door een geschikte invoertransformatie u = ϕ(x) + Γ(x)v en toestandsverandering z = ψ(x), wordt het systeem in nieuwe coördinaten gebracht waarin het gedrag van de output lineair en ontkoppeld is. Dit is mogelijk wanneer de decoupling-matrix T(x), samengesteld uit Lie-afgeleiden van de outputfuncties, niet-singulier is. Het resultaat is een gesloten-lussysteem bestaande uit onafhankelijke integratorketens, wat het ontwerp van regelaars sterk vereenvoudigt.

Het combineren van passiviteit en feedbacklinearizatie biedt een krachtig raamwerk voor het ontwerpen van stabiele controlesystemen, ook bij complexe niet-lineaire dynamiek. Het gebruik van opslagfuncties en passiviteitscriteria in combinatie met differentiaalmeetkundige technieken zoals Lie-derivaten en feedbacktransformaties maakt het mogelijk om robuuste en stabiele regelingen te realiseren.

Belangrijk is te beseffen dat passiviteit niet alleen een statische eigenschap is, maar diep verbonden met het energiegedrag van systemen. Dit sluit naadloos aan bij het gebruik van Lyapunov-functies, die een energetische interpretatie bieden voor stabiliteit. Bij het toepassen van feedbacklinearizatie moet men zorgvuldig de voorwaarden voor de relatieve graden en niet-singulariteit van de decoupling-matrix controleren, aangezien anders het linearisatieproces kan mislukken of alleen lokaal geldig is.

Daarnaast dient de lezer rekening te houden met praktische beperkingen: modellen zijn vaak benaderingen en kunnen ruis of onzekerheden bevatten. Passiviteitscriteria en feedbacklinearizatie bieden weliswaar krachtige concepten, maar de werkelijke stabiliteit en prestaties van een systeem hangen af van de nauwkeurigheid van het model en de toepasbaarheid van de veronderstellingen, zoals afwezigheid van niet-geobserveerde toestanden en de aanwezigheid van voldoende dissipatie.