La distribuzione lognormale è una distribuzione di probabilità continua che descrive variabili casuali i cui logaritmi seguono una distribuzione normale. In altre parole, se una variabile casuale XX è distribuita lognormalmente, allora ln⁡(X)\ln(X) è normalmente distribuito. La distribuzione lognormale è frequentemente utilizzata in ingegneria, scienze applicate e statistica per modellare fenomeni che non possono assumere valori negativi, come la resistenza dei materiali o l'intensità di segnali.

Per calcolare la funzione di distribuzione cumulativa (CDF) della distribuzione lognormale, possiamo utilizzare il legame tra la distribuzione lognormale e la distribuzione normale standard. Supponiamo che XX segua una distribuzione lognormale, X∼ln⁡(μY,σY)X \sim \ln(\mu_Y, \sigma_Y), e che ZZ sia una variabile casuale con distribuzione normale standard, Z∼N(0,1)Z \sim N(0, 1). Allora possiamo esprimere la funzione di distribuzione cumulativa della lognormale tramite la trasformazione:

Z=ln⁡(X)−μYσYZ = \frac{\ln(X) - \mu_Y}{\sigma_Y}

Questa relazione ci consente di calcolare probabilità per una distribuzione lognormale utilizzando i valori tabulati della distribuzione normale standard. Ad esempio, per calcolare la probabilità cumulativa P(X≤x)P(X \leq x) per una variabile casuale lognormale X∼ln⁡(μY,σY)X \sim \ln(\mu_Y, \sigma_Y), basta applicare la trasformazione sopra:

P(X≤x)=Φ(ln⁡(x)−μYσY)P(X \leq x) = \Phi\left( \frac{\ln(x) - \mu_Y}{\sigma_Y} \right)

dove Φ\Phi è la funzione di distribuzione cumulativa della normale standard.

Un altro aspetto importante della distribuzione lognormale è la sua proprietà di simmetria rispetto alla normale standard. Questa proprietà consente di estendere facilmente il calcolo delle probabilità lognormali per intervalli che vanno da un valore aa a un altro bb, come segue:

P(a<X≤b)=Φ(ln⁡(b)−μYσY)−Φ(ln⁡(a)−μYσY)P(a < X \leq b) = \Phi\left( \frac{\ln(b) - \mu_Y}{\sigma_Y} \right) - \Phi\left( \frac{\ln(a) - \mu_Y}{\sigma_Y} \right)

Uno degli usi più significativi della distribuzione lognormale è la sua applicazione in contesti in cui la variabile casuale deve essere positiva, come nel caso della resistenza del calcestruzzo o della sollecitazione dei materiali. Un esempio pratico di applicazione della distribuzione lognormale può essere visto nel caso in cui un ingegnere strutturale desideri modellare la resistenza del calcestruzzo, che è una variabile strettamente positiva. Supponiamo che la resistenza media del calcestruzzo sia pari a 3.5 ksi e la varianza sia 1/121/12 (ksi)2^2. Utilizzando le equazioni per la distribuzione lognormale, i parametri μY\mu_Y e σY\sigma_Y possono essere determinati come segue:

σY2=ln⁡(1+112)=0.00678\sigma^2_Y = \ln\left( 1 + \frac{1}{12} \right) = 0.00678
μY=ln⁡(3.5)−12⋅0.00678=1.25\mu_Y = \ln(3.5) - \frac{1}{2} \cdot 0.00678 = 1.25

Una volta calcolati i parametri, è possibile determinare la probabilità che la resistenza del calcestruzzo superi una certa soglia. Ad esempio, la probabilità che la resistenza sia maggiore di 3.6 ksi è:

P(X>3.6)=1−Φ(ln⁡(3.6)−1.250.00678)=1−Φ(0.3833)=0.3507P(X > 3.6) = 1 - \Phi\left( \frac{\ln(3.6) - 1.25}{0.00678} \right) = 1 - \Phi(0.3833) = 0.3507

Il calcolo della probabilità di una distribuzione lognormale può essere esteso anche ad altri contesti ingegneristici, come nel caso del modulo di elasticità del materiale. Se il modulo di elasticità EE è modellato come una variabile casuale lognormale, con una media di 29.567 ksi e una deviazione standard di 1507 ksi, possiamo calcolare la probabilità che il valore di EE sia compreso tra due valori specifici. I parametri della distribuzione lognormale sono:

σY=ln⁡(1+1507229,5672)=0.0509\sigma_Y = \ln\left( 1 + \frac{1507^2}{29,567^2} \right) = 0.0509
μY=ln⁡(29,567)−(0.0509)22=10.293\mu_Y = \ln(29,567) - \frac{(0.0509)^2}{2} = 10.293

Successivamente, la probabilità che EE sia compreso tra 28.000 ksi e 29.500 ksi è calcolata come:

P(28,000≤E≤29,500)=Φ(ln⁡(29,500)−10.2930.051)−Φ(ln⁡(28,000)−10.2930.051)=0.3440P(28,000 \leq E \leq 29,500) = \Phi\left( \frac{\ln(29,500) - 10.293}{0.051} \right) - \Phi\left( \frac{\ln(28,000) - 10.293}{0.051} \right) = 0.3440

Importante è ricordare che, sebbene la distribuzione lognormale possa sembrare particolarmente adatta in contesti come quello della resistenza dei materiali, non deve essere utilizzata indiscriminatamente. È fondamentale considerare le basi statistiche della selezione delle distribuzioni di probabilità, come discusso in capitoli successivi del testo. Ogni modello probabilistico ha le proprie assunzioni e limitazioni che devono essere comprese per evitare errori nelle applicazioni pratiche.

Come si generano variabili casuali da variabili uniformi e perché è importante nella simulazione statistica?

La generazione di variabili casuali con distribuzioni specifiche a partire da variabili uniformi è una tecnica fondamentale nella simulazione statistica. Considerando un insieme di variabili uniformi uiu_i distribuite in modo uniforme nell’intervallo [0,1][0,1], è possibile trasformarle per ottenere variabili casuali che seguono distribuzioni più complesse, come la normale, la lognormale o l’esponenziale, tramite il metodo della trasformazione inversa o altre tecniche appropriate.

Prendiamo come esempio una variabile casuale normale N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2). Per ottenere un valore normale da un valore uniforme uiu_i, si utilizza la funzione inversa della distribuzione cumulativa normale, nota come la funzione quantile o funzione inversa della CDF. Questo metodo consente di tradurre un numero casuale uniforme in un valore che segue esattamente la distribuzione desiderata, mantenendo così la correttezza statistica della simulazione.

Un altro caso di interesse è la distribuzione lognormale, dove la variabile XX è tale che Y=ln⁡(X)Y = \ln(X) segue una distribuzione normale. Qui la trasformazione parte dal campionamento di variabili uniformi, che vengono convertite in variabili normali, per poi essere riportate nella scala originale tramite l’esponenziale. Tale procedimento è cruciale in campi come l’idrologia o l’ingegneria, dove grandezze come la portata di un fiume o la capacità di un materiale possono essere modellate da distribuzioni lognormali a causa della loro natura asimmetrica.

Per variabili esponenziali, la trasformazione inversa è particolarmente semplice e diretta, poiché la funzione inversa della CDF dell’esponenziale si esprime con una formula chiara e computazionalmente efficiente: X=−1λln⁡(1−ui)X = -\frac{1}{\lambda} \ln(1 - u_i), dove λ\lambda è il parametro della distribuzione e uiu_i è la variabile uniforme.

Un'applicazione pratica di queste tecniche si riscontra nella simulazione di fenomeni ingegneristici come la deformazione di un’asta sottoposta a forze casuali. Qui, si considerano variabili indipendenti e distribuite secondo leggi probabilistiche diverse (lognormale o normale) per i parametri del sistema — come la forza applicata, la lunghezza, la sezione trasversale e il modulo di elasticità — e si eseguono numerosi cicli di simulazione per stimare la media e la varianza della deformazione risultante. Aumentando il numero di cicli, si ottiene una stima più accurata delle grandezze statistiche, evidenziando come la simulazione Monte Carlo si affidi alla generazione di variabili casuali con distribuzioni specifiche per modellare l’incertezza.

Il numero di cicli di simulazione è un elemento cruciale, poiché un numero troppo basso può fornire stime instabili e non rappresentative della realtà, mentre un numero elevato permette di avvicinarsi alle caratteristiche della popolazione sottostante. L’analisi statistica dei risultati — tramite istogrammi delle frequenze e suggerimenti sulle distribuzioni empiriche dei risultati simulati — aiuta a comprendere la natura della variabilità del sistema e a scegliere modelli probabilistici adeguati.

Nel contesto ingegneristico, anche il calcolo della capacità ultima di sezioni in cemento armato richiede la considerazione della natura probabilistica dei parametri coinvolti, quali l’area dell’acciaio di rinforzo, la resistenza di snervamento dell’acciaio, la distanza dal bordo, la larghezza della trave e la resistenza ultima del calcestruzzo. Anche qui, la simulazione numerica, accompagnata dall’assunzione di variabili non correlate e distribuite secondo modelli lognormali o normali, permette di stimare media e varianza della capacità ultima, fornendo dati essenziali per la valutazione del comportamento strutturale sotto incertezza.

In ogni caso, l’analisi statistica parte sempre dal riconoscimento che le misure sperimentali e i parametri stimati sono essi stessi variabili casuali. Ogni campione raccolto è una realizzazione di una variabile casuale e, di conseguenza, anche la media campionaria è una variabile casuale con la propria distribuzione, che si avvicina a quella della popolazione al crescere della dimensione del campione. Questa duplice natura introduce un’inevitabile incertezza nelle decisioni ingegneristiche e scientifiche, imponendo di considerare la variabilità e la probabilità come elementi centrali nelle valutazioni.

Il lettore deve comprendere che la simulazione statistica, attraverso la generazione di variabili casuali con distribuzioni complesse da variabili uniformi, è uno strumento potentissimo per modellare sistemi incerti e per supportare decisioni razionali in presenza di variabilità. L’accuratezza dei risultati dipende fortemente dalla qualità della modellazione probabilistica, dalla correttezza delle trasformazioni utilizzate e dal numero di simulazioni effettuate. È fondamentale ricordare che la riproducibilità e la validità dei risultati simulativi sono tanto più solide quanto più l’analisi considera le fonti di incertezza e le loro distribuzioni reali, anziché approssimazioni grossolane.

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