Quali sono i cicli limite e le soluzioni periodiche nei sistemi autonomi?

Nel primo quadrante, l’espressione in questione è sempre negativa. Pertanto, non esistono soluzioni periodiche. Tuttavia, un risultato fondamentale nella teoria dei sistemi dinamici è il teorema di Poincaré–Bendixson, che descrive il comportamento a lungo termine delle soluzioni di un sistema autonomo nel piano. Invece di presentare il risultato nella sua forma generale, ci concentreremo su alcune casistiche particolari che si presentano frequentemente nelle applicazioni, e che possono condurre a una nuova tipologia di soluzioni periodiche chiamata ciclo limite.

L'esistenza di una regione invariata può essere verificata tramite il teorema dei vettori normali, che stabilisce che se un vettore normale sulla frontiera di una regione punta all’interno e se il prodotto scalare tra il campo vettoriale e il vettore normale è sempre maggiore o uguale a zero, allora la regione è invariata. La difficoltà principale nel trovare una regione invariata per un sistema non lineare è legata alla complessità del sistema stesso. Un buon punto di partenza può essere l’uso di software che permettono di tracciare il campo vettoriale insieme alle curve in cui i vettori sono orizzontali o verticali, come quelle definite da P(x, y) = 0 e Q(x, y) = 0.

Nel caso di una regione circolare invariata, come mostrato nell'esempio, possiamo considerare il sistema autonomo definito da:

Sulla circonferenza definita da $x^2 + y^2 = r^2$, il vettore normale punta verso l'interno e il flusso del campo vettoriale è diretto verso l'interno della regione circolare, rendendo tale regione invariata. Questo risultato è una manifestazione della teoria di Poincaré-Bendixson, che garantisce l’esistenza di cicli limite come soluzioni periodiche in regioni invariate di tipo I.

Nei sistemi non lineari più complessi, come nel caso dell'equazione di Van der Pol, la ricerca di una regione invariata diventa più articolata. L'equazione di Van der Pol è descritta da:

che, scritta come sistema autonomo nel piano, assume la forma:

Questo sistema genera una spirale che converge verso un ciclo limite, ma la difficoltà nel trovare una regione invariata semplice, come un cerchio o una linea, richiede metodi avanzati di analisi.

Il teorema di Poincaré-Bendixson fornisce due importanti casi speciali che garantiscono l'esistenza di soluzioni periodiche. In particolare, se una regione invariata è di tipo I e contiene un nodo instabile o un punto spirale instabile al suo interno, allora esiste almeno una soluzione periodica in quella regione. Allo stesso modo, se una regione invariata di tipo II non contiene punti critici sulla sua frontiera, esisterà almeno una soluzione periodica.

Un esempio interessante è il sistema:

che presenta una soluzione periodica che può essere verificata analiticamente. La costruzione di una regione invariata annularle, insieme all’analisi dei punti critici, permette di dimostrare che il sistema ammette almeno una soluzione periodica.

La Traiettoria di un Proiettile: La Scienza della Resistenza dell'Aria e delle Traiettorie Balistiche

Durante la Prima Guerra Mondiale, gli ingegneri tedeschi si trovarono ad affrontare una delle sfide balistiche più audaci: l'ideazione di un sistema di artiglieria in grado di colpire la città portuale di Dover, in Inghilterra, partendo dalla costa francese. Questo progetto avrebbe richiesto un colpo a lunga distanza, di circa 37 chilometri, un traguardo che superava di ben 16 chilometri i precedenti limiti raggiunti dalla tecnologia dell’epoca.

Per raggiungere questo obiettivo, la Krupp, una delle principali aziende di ingegneria bellica della Germania, era già in possesso di una certa esperienza. L'azienda aveva progettato e costruito proiettili con forme innovative che riducevano la resistenza aerodinamica rispetto ai proiettili tradizionali. Il coefficiente di resistenza all'aria (C), che misura l’effetto della resistenza dell’aria su un oggetto in movimento, fu un fattore determinante nella progettazione dei nuovi proiettili. Un esempio di come questa resistenza potesse essere modellata fu descritto da Huygens, il quale credeva che la resistenza fosse proporzionale al quadrato della velocità, ma Newton mise in dubbio questa idea suggerendo che diversi fattori fisici contribuivano alla resistenza in modi diversi.

La resistenza dell’aria a bassa velocità si comporta secondo una legge diversa da quella che regola la resistenza a velocità elevate. Ad esempio, quando un oggetto si muove lentamente, la resistenza è proporzionale alla velocità, come descritto dalla legge di Stokes. Al contrario, a velocità maggiori, la resistenza è proporzionale al quadrato della velocità. La complessità della modellazione della resistenza dell’aria richiede un’approccio che combini metodi teorici ed empirici, non esistendo una formula semplice che funzioni per tutti gli oggetti e in tutte le condizioni.

Nel caso specifico del progetto della Krupp, fu calcolato che un proiettile con un nuovo design, lanciato con una velocità di 940 m/s e a un angolo di 43 gradi, avrebbe potuto raggiungere una distanza di circa 39 km. Questo calcolo, tuttavia, non si basava sull’ipotesi di un’aria costante, ma su un modello che prevedeva un decadimento esponenziale della densità dell’aria lungo la traiettoria. Questo cambiamento portò a una previsione più accurata della distanza di lancio effettiva.

Un esempio di come la traiettoria potesse essere influenzata dalla variazione della densità dell'aria lungo il percorso si verificò il 21 ottobre 1914, quando il test di un nuovo proiettile lanciato a una distanza maggiore di quanto inizialmente previsto. Nonostante il calcolo teorico avesse indicato una distanza di circa 39 km, il proiettile colpì un giardino a una distanza di 49 km, sorprendendo i progettisti. Ciò accadde perché il modello utilizzato per calcolare la traiettoria prevedeva una densità dell’aria media troppo alta rispetto alla reale diminuzione della densità con l'altitudine.

Questo errore non era da attribuire alla mancanza di comprensione della fisica, ma piuttosto alla complessità del modello. La resistenza dell’aria non è l’unico fattore che influisce sulla traiettoria di un proiettile. Altri fattori, come la curvatura della Terra e la rotazione, non furono considerati nel modello e potrebbero aver avuto un impatto significativo sui risultati. Inoltre, la possibilità che un proiettile in volo potesse sperimentare una forza di sollevamento, simile a quella che rende possibile il volo degli aerei, non fu presa in considerazione.

Gli ingegneri della Krupp, però, non si fermarono davanti a questo imprevisto. Completati i calcoli, si accorsero che la traiettoria ideale per un massimo raggio di distanza non era quella inizialmente prevista, ma piuttosto un angolo di lancio di 50-55 gradi. Questo angolo maggiore avrebbe consentito al proiettile di viaggiare più in alto, riducendo così la resistenza dell’aria e permettendo una maggiore distanza. I test futuri confermarono l’accuratezza di questa nuova comprensione.

La modellazione della resistenza dell'aria e della traiettoria dei proiettili continua ad essere un campo complesso che richiede la combinazione di diversi approcci teorici, pratici e empirici. In alcuni casi, la precisione delle previsioni può essere influenzata da una serie di fattori che non possono essere facilmente modellati, ma la ricerca continua a spingere i limiti della comprensione umana.