Come utilizzare i diagrammi ad albero e le derivate parziali per calcolare le variazioni di una funzione in relazione a più variabili

I risultati riportati nelle formule precedenti si generalizzano facilmente a qualsiasi numero di variabili. Se una funzione $z = f(u_1, u_2, ..., u_n)$ dipende da più variabili, e ciascuna di queste variabili $u_1, u_2, ..., u_n$ è a sua volta una funzione di altre variabili $x_1, x_2, ..., x_k$, è possibile utilizzare un metodo simile a quello del Teorema 9.4.1 per ottenere la derivata parziale di $z$ rispetto ad una qualsiasi delle variabili $x_1, x_2, ..., x_k$. In questo caso, la formula risulta essere una generalizzazione di quella del caso in cui la dipendenza è da una sola variabile. Un esempio esplicativo di tale generalizzazione è dato dalla relazione:

Nel caso in cui le variabili $u_1, u_2, ..., u_n$ dipendano tutte da una singola variabile $t$, si ottiene una formula analoga che descrive il comportamento della funzione in termini di un'unica variabile indipendente, come indicato dalla relazione:

Un altro strumento utile per comprendere meglio la struttura di queste dipendenze è il diagramma ad albero, che permette di visualizzare chiaramente come una variabile dipenda da altre. Nei diagrammi a partire dall'esempio in Figura 9.4.5, si osserva che ogni nodo rappresenta una variabile, e i percorsi che collegano i nodi indicano la relazione di dipendenza tra le variabili. Ad esempio, per calcolare la derivata parziale $\frac{\partial z}{\partial x}$, si segue un percorso verticale dal nodo $z$ e si moltiplicano le derivate parziali lungo ciascun ramo, per poi sommare i risultati ottenuti lungo i diversi percorsi.

• $x = u v e^{2s}$

• $y = u^2 - v^2 s$

• $z = \sin(u v s^2)$

Un altro caso interessante è l’esempio 7, che mostra come usare i diagrammi ad albero per calcolare la derivata di una funzione con più variabili rispetto a una variabile indipendente. Se $z = u^2 v^3 w^4$ e le variabili $u$, $v$, e $w$ dipendono da una singola variabile $t$, il diagramma ad albero aiuta a visualizzare come ciascuna variabile contribuisce alla derivata totale di $z$. L'uso di regole come la regola del prodotto consente di semplificare il calcolo delle derivate in modo sistematico.

La potenza del diagramma ad albero non si limita solo ai calcoli delle derivate. Esso fornisce una rappresentazione visiva che facilita l’individuazione di variabili che influenzano direttamente o indirettamente la funzione che stiamo studiando. L'adozione di questa rappresentazione visiva aiuta a ridurre la complessità dei calcoli e a rendere il processo di differenziazione più intuitivo, specialmente quando si lavora con funzioni di molte variabili.

Infine, mentre il diagramma ad albero è utile per visualizzare i percorsi di dipendenza, è altrettanto importante non trascurare le condizioni di continuità delle derivate parziali. Quando si tratta di derivate miste, infatti, la continuità e la simmetria delle derivate parziali gioca un ruolo fondamentale nella correttezza dei risultati. Se, per esempio, la funzione $F(x, y, z)$ è continua e ha derivate parziali continue, le derivate miste saranno uguali, come evidenziato nelle relazioni simmetriche come $F_{xyz} = F_{yzx} = F_{zyx}$.

Quali sono le condizioni sufficienti per l'esistenza della trasformata di Laplace?

Una delle principali condizioni sufficienti affinché esista la trasformata di Laplace di una funzione è che la funzione stessa sia continua a tratti sull'intervallo $[0, \infty)$. Una funzione è detta continua a tratti se, su ogni intervallo definito da $0 \leq a \leq t \leq b$, ci sono al massimo un numero finito di discontinuità, ma essa è continua in ogni intervallo aperto definito da $t_{k-1} < t < t_k$.

Per meglio comprendere il concetto di ordine esponenziale, si consideri la funzione $f(t) = t^n$, che è sempre di ordine esponenziale per ogni $n \geq 1$, poiché si può dimostrare che, per ogni valore di $c > 0$, il rapporto $\lim_{t \to \infty} \frac{t^n}{e^{ct}}$ tende a zero. Questo implica che $t^n$ non cresce più velocemente di una funzione esponenziale per $t$ sufficientemente grande.

Inoltre, va notato che la condizione di continuità a tratti e l’ordine esponenziale sono sufficienti per garantire l’esistenza della trasformata di Laplace, ma non sono necessarie. Esistono infatti funzioni che, pur non essendo continue a tratti, possiedono una trasformata di Laplace. Un esempio tipico è la funzione $f(t) = e^{ -t^2}$, che, pur non essendo continua a tratti, ha comunque una trasformata di Laplace definita.

Per eseguire correttamente la trasformata di Laplace, è essenziale considerare anche le funzioni che sono definite a tratti, come nel caso della funzione che è definita in due parti, per la quale la trasformata è espressa come somma di due integrali separati. Questo tipo di situazione è comune nelle applicazioni pratiche e richiede una comprensione approfondita della teoria.