Comment caractériser une distribution de contrôlabilité locale ?

Les distributions involutives jouent un rôle fondamental dans le cadre théorique de la contrôlabilité des systèmes dynamiques. Une telle distribution, notée zA, est dite contrôlable si elle est involutive et si, pour une paire de rétroaction donnée (o, (S)) définie sur un voisinage U, l'ensemble des indices {1,..., m} satisfait une condition spécifique. Cela signifie que la distribution zA est générée par l’ensemble des différentielles de certaines fonctions Aj, avec $1 \leq i \leq m$. Ainsi, l'espace localement contrôlé autour d’un point d'équilibre x° reste invariant sous l’action du champ vectoriel $f(x)$, et cette invariance entraîne une restriction de l’espace des états dans lequel le système peut évoluer.

Une des notions essentielles à clarifier ici est la différence entre une sous-variété invariante contrôlée et une distribution invariante contrôlée. La première fait référence à un sous-ensemble de l’espace d’état, dont la dynamique reste invariant sous l’action des champs vectoriels. La seconde, en revanche, concerne une famille de sous-espaces linéaires qui, tout en étant invariants sous certaines transformations, ne nécessitent pas nécessairement de correspondre à une sous-variété.

Le concept de distribution contrôlable est encore plus complexe lorsqu’on envisage des distributions involutives qui sont liées à des rétroactions spécifiques. Une distribution est contrôlable si elle est involutive et si elle satisfait des conditions particulières en termes de ses relations avec les champs vectoriels $f$, $g_1$, ..., $g_m$. Le calcul de ces distributions passe par des itérations successives qui, pour chaque étape $k$, génèrent de nouveaux espaces $S_k$, jusqu'à obtenir une distribution stable qui reflète les dynamiques du système. Cela implique l’usage de séquences d’algorithmes, telles que celles évoquées dans l’équation (6.51), pour générer ces sous-espaces successifs.

Comment stabiliser un système non linéaire via la théorie géométrique

Dans l’étude des systèmes dynamiques non linéaires, l’analyse géométrique des espaces de contrôles et des distributions devient essentielle pour comprendre les conditions nécessaires à la stabilisation d’un système. Considérons un système dont la dynamique est donnée par $\dot{x} = f(x) + \sum_{i=1}^{m} g_i(x) u_i$, où $x \in \mathbb{R}^n$ et $u_i$ sont les entrées. Le problème de stabilisation de ce système est souvent abordé à l’aide de la notion de distribution involutive, en particulier pour des systèmes où les champs vectoriels $f$ et $g_i$ sont tangents à certaines variétés intégrales.

Une hypothèse importante dans ce contexte est la stabilisabilité des approximations linéaires du système restreint à $S_i$. Cela signifie qu’il existe un contrôle linéaire qui peut stabiliser l’équilibre $x = 0$ pour chaque $i$. Dans ce cadre, l’analyse de la contrôlabilité des approximations linéaires devient cruciale. Par exemple, si $R^* = \text{span}\{ \partial x_1, \partial x_2, \ldots, \partial x_r \}$, alors, sous certaines conditions sur les distributions, le sous-système restreint à $S_i$ possède une approximation linéaire contrôlable à $x = 0$.

on peut décrire un système étendu dans lequel les variables $x_e = (x_1, x_2, x_3, A_2, h_1, h_2)$ sont utilisées pour représenter l’évolution du système dans un espace de dimension plus grande. La condition de contrôlabilité se vérifie en analysant les distributions $P_1$ et $P_2$ associées aux champs $f$, $g_i$, et aux relations linéaires entre ces champs.

En ce qui concerne la rétroaction, il est possible d’appliquer un retour d’état sous la forme $v = \beta(x) v'$, où $\beta(x)$ est une matrice nonsingulière qui transforme le système pour garantir que le retour d’état modifie le système de manière à le stabiliser. Ce mécanisme est particulièrement important dans le contexte des systèmes non linéaires, où la structure géométrique des systèmes permet de garantir la solvabilité du problème de stabilisation. L'indépendance linéaire des lignes de la matrice $\beta(x)$ est une condition nécessaire pour garantir que la rétroaction fonctionne efficacement.

L'un des éléments cruciaux à comprendre ici est que la stabilisation d’un système non linéaire passe par une analyse géométrique détaillée de ses distributions, de ses variétés intégrales et de ses approximations linéaires locales. La capacité à ajuster le système par une rétroaction adéquate, tout en maintenant sa structure géométrique, est ce qui permet d’assurer sa stabilisation. De plus, une attention particulière doit être portée aux conditions de contrôlabilité et de stabilisabilité de ces approximations linéaires dans les systèmes étendus, car elles détermineront la performance du système dans des conditions réelles de fonctionnement.