Les Symboles de Christoffel et la Dynamique Relativiste des Fluides

Les symboles de Christoffel, qui apparaissent dans les équations différentielles régissant la géométrie des variétés courbes, sont des éléments clés de la description des fluides dans des cadres relativistes. Ces symboles, bien qu'introduits initialement pour faciliter le calcul des dérivées covariantes de tensors, ont des implications profondes dans le contexte de la dynamique des fluides, notamment en relativité générale et en hydrodynamique newtonienne.

Dans le cadre de la relativité générale, la description d'un fluide en mouvement devient infiniment plus complexe par rapport à la description newtonienne. Les équations de la dynamique des fluides relativistes tiennent compte de la courbure de l'espace-temps, qui influence non seulement le mouvement des particules du fluide, mais aussi les interactions à l'échelle cosmologique et gravitationnelle. Les symboles de Christoffel jouent un rôle central dans cette modélisation, car ils permettent d'intégrer l'effet de la courbure sur le champ de vitesse du fluide et sur ses propriétés thermodynamiques.

Les concepts de singularité et de courbure, associés aux symétries locales du système, sont également importants dans ce cadre. Par exemple, la contraction d'un tensor sur ses indices permet de simplifier les expressions mathématiques complexes qui décrivent les variations des champs de forces, tels que ceux créés par des objets massifs en relativité générale. Ces concepts sont utilisés pour prédire et analyser des phénomènes comme les horizons des événements, les déviations géodésiques et les phénomènes de convergence des géodésiques nulles.

En hydrodynamique relativiste, l'effet de la courbure sur la dynamique du fluide est également lié à la distribution de l'énergie et de la matière dans l'espace-temps. Les équations d'état, qui relient la densité d'énergie du fluide à ses autres propriétés macroscopiques (comme la pression et la température), prennent une forme modifiée par la présence de la gravité. Dans le cadre de modèles comme celui de Friedmann-Lemaître, les symboles de Christoffel apparaissent également dans l'évolution de l'univers en expansion, où ils permettent de modéliser les interactions gravitationnelles entre la matière et l'espace-temps courbe.

Il est donc essentiel pour le lecteur de comprendre que, dans le contexte relativiste, les dynamiques des fluides ne peuvent pas être traitées indépendamment de la géométrie de l'espace-temps. L'interconnexion entre la matière, l'énergie et la structure de l'univers, rendue manifeste par les symboles de Christoffel, offre une perspective unique sur l'évolution du cosmos et sur les phénomènes physiques extrêmes, tels que les trous noirs et les singularités cosmologiques.

Il est aussi important de noter que, contrairement à la perspective newtonienne où l'espace-temps est vu comme un fond immuable, en relativité générale, l'espace-temps lui-même peut être déformé par la présence de matière et d'énergie. Cette déformation, décrite par les équations d'Einstein, influence directement la dynamique des fluides, créant des effets de courbure qui doivent être pris en compte dans la description des systèmes physiques.

Comment la critique de la gravitation de Mach a inspiré la relativité générale et la résolution du problème de l'orbite de Mercure

L'inertie de la matière pourrait être considérée comme une propriété plus "forte" que l'homogénéité de l'espace, et pourrait subsister même dans un Univers vide, rendant ainsi possible la mesure d'une accélération absolue. La critique du principe de Mach est facilitée par le fait qu'il n'a jamais été formulé comme une théorie physique précise, mais plutôt comme un ensemble de remarques critiques et de suggestions, partiellement fondées sur des calculs. Cependant, il arrive parfois qu'une nouvelle manière d'aborder une vieille théorie, même si elle n'est pas suffisamment justifiée, devienne le point de départ de découvertes significatives. C'est ce qui s'est produit avec le principe de Mach, qui a inspiré Einstein à l'origine de ses travaux.

Cependant, en 1859, Urbain J. LeVerrier (le même astronome qui avait prédit l'existence de Neptune quelques années plus tôt) vérifia si les mouvements calculés et observés du périhélie de Mercure étaient compatibles. Il s'avéra que non – et la divergence était bien plus grande que l'erreur d'observation. Le taux calculé du décalage du périhélie était plus petit de 43 secondes d'arc par siècle par rapport à l'observation (la valeur moderne est de 43,11 ±0,45′′ par siècle). Astronomes et physiciens ont essayé d'expliquer cet effet de diverses manières simples, comme en postulant qu'une autre planète, appelée Vulcain, orbitait autour du Soleil à l'intérieur de l'orbite de Mercure et la perturbait ; en envisageant l'interaction gravitationnelle de Mercure avec la poussière interplanétaire ; ou en supposant que le Soleil était aplati en raison de sa rotation. Dans ce dernier cas, le champ gravitationnel du Soleil ne serait pas sphérique, et un aplatissement suffisamment important entraînerait une rotation supplémentaire du périhélie de Mercure. Pourtant, ces hypothèses ne passèrent pas les tests observationnels. La planète hypothétique Vulcain aurait dû être si massive qu'elle aurait été visible dans les télescopes, mais ne l'était pas. Il n'y avait pas assez de poussière interplanétaire pour expliquer l'effet observé. Si le Soleil était suffisamment aplati pour expliquer le mouvement de Mercure, cela aurait causé un autre effet : les plans des orbites planétaires oscilleraient périodiquement autour de leurs positions moyennes, avec une amplitude d'environ 43 secondes d'arc par siècle, mais ce mouvement n'a pas été observé.

L'une des hypothèses fondamentales de la relativité générale est qu'il est impossible de définir une trajectoire "droit-ligne" dans un espace courbé par la gravitation, comme le montre le problème du décalage du périhélie de Mercure. La critique de Newton, inspirée par les idées de Mach, se concentrait sur le fait que dans un espace vide, un corps en mouvement devrait suivre une trajectoire rectiligne uniforme, à moins qu'il ne soit soumis à une influence gravitationnelle. Cependant, puisque l'Univers réel est rempli de champs gravitationnels inévitables, tous les corps suivent des trajectoires courbes en raison des interactions gravitationnelles. Le problème que cela pose est le suivant : si une trajectoire est courbée, comment peut-on définir une "ligne droite" ?

Einstein proposa une solution : une ligne droite pourrait être modélisée par la trajectoire d'un rayon lumineux, qui suit une trajectoire droite dans un espace courbé. Cette idée servit de fondation à la relativité générale, qui réconcilie les mouvements des corps célestes avec une description géométrique de la gravité. En d'autres termes, la gravité ne résulte pas d'une force mystérieuse, mais de la courbure de l'espace-temps lui-même. C'est cette vision géométrique de la gravité qui permet de résoudre des problèmes tels que le décalage du périhélie de Mercure.