Deutsch
Francais
Nederlands
Svenska
Norsk
Dansk
Suomi
Espanol
Italiano
Portugues
Magyar
Polski
Cestina
Русский
Dans l'analyse des matériaux, la prise en compte des comportements non linéaires représente un défi majeur. Les modèles non linéaires sont beaucoup plus complexes à appliquer et à comprendre que leurs homologues linéaires. Cependant, ces modèles sont essentiels pour simuler des phénomènes qui ne peuvent pas être décrits par les hypothèses de linéarité. Ce chapitre examine l’un des modèles non linéaires les plus fondamentaux : l’élastoplastie. Ce modèle permet de mieux saisir l’impact de la non-linéarité des matériaux sur les théories abordées dans les chapitres précédents.
Un des aspects qui limitent la capacité des corps solides à résister à des sollicitations est l’instabilité. Dans nos modèles linéaires, nous écrivons les équations d’équilibre dans la configuration de référence. Cependant, l’équilibre doit être respecté dans la configuration déformée. Lorsqu’un système se déforme, les bras de levier de certaines charges peuvent augmenter jusqu’au point d’instabilité. Ce phénomène est central dans le flambage des poutres soumises à des charges axiales compressives. Le flambage peut se produire même dans la plage élastique des matériaux. Dans cette section, nous étudierons comment l’instabilité par flambage se manifeste dans les poutres, en nous appuyant sur les équations précédemment dérivées.
En outre, il est important de noter que le flambage et la rupture du matériau peuvent se combiner, engendrant des états de défaillance supplémentaires. Toutefois, cette section se veut une introduction à ces sujets, invitant le lecteur à approfondir leur étude plutôt qu'à les explorer en profondeur.
L’élastoplasticité est le modèle le plus simple pour décrire le comportement non linéaire d’un matériau. Ce modèle est illustré dans la figure 12.1, où l’on observe une courbe contrainte-déformation d’un matériau élastoplastique soumis à une traction uniaxiale. Dans ce cas, la loi de Hooke s’applique en termes de σ = Eε, où la contrainte σ est proportionnelle à la déformation ε, et E est le module de Young, une constante de proportionnalité. Cependant, une fois que la contrainte atteint un certain seuil, σo, la déformation plastique commence sans augmentation de la contrainte. Sur le plan microscopique, ce phénomène peut être dû au glissement de la structure du réseau cristallin. À l’échelle macroscopique, la courbe de réponse du matériau présente une phase où la contrainte reste constante tandis que la déformation continue à augmenter.
Il est crucial de comprendre que, contrairement aux matériaux élastiques, les matériaux élastoplastiques ne retournent pas à leur forme initiale après que la charge soit retirée. Lorsqu’une force est appliquée sur un matériau, celui-ci subit une déformation qui devient plastique, créant ainsi une déformation résiduelle, εp. Cette déformation plastique ne disparaît pas lorsque la contrainte est retirée. C'est cette irréversibilité qui distingue les matériaux élastoplastiques des matériaux purement élastiques.
L’étude du comportement d’un matériau dans un état multiaxial de contrainte est également essentielle. Dans un tel cas, la loi de Hooke s’exprime de manière plus complexe, où le tenseur de contrainte S et le tenseur de déformation E sont liés par une relation impliquant les constantes élastiques λ et μ. La question clé ici est de savoir si un matériau va se déformer plastiquement lorsque σxx atteint une certaine valeur σo, et si d’autres composants de contrainte influencent ce moment de déformation plastique. Un moyen d’approcher cette question est de postuler qu’un matériau cédera lorsque certains composants du tenseur de contrainte atteindront une valeur critique, définie par une fonction de rendement, ϕ(S).
La fonction de rendement décrit les conditions dans lesquelles un matériau commence à se déformer plastiquement. Par exemple, la fonction de rendement de von Mises est largement utilisée pour représenter la plastification des métaux. Cette fonction, exprimée par ϕ(S) = 1/2 I2(S) - 1/6 I1(S), permet de calculer le seuil de déformation plastique en fonction des invariants du tenseur de contrainte. Le critère de von Mises fonctionne bien pour des matériaux isotropes, et dans ce cas, le matériau se déforme plastiquement lorsque la contrainte atteint un certain seuil, σo, qui est lié à la résistance à la traction du matériau.
Un autre point fondamental est de comprendre la relation entre la contrainte normale et la contrainte de cisaillement dans des états de contrainte uniaxiale et purement de cisaillement. Par exemple, pour un matériau soumis à un cisaillement pur, la contrainte de cisaillement τo est le seuil auquel la plastification commence. Ce seuil peut être déterminé par des tests de torsion ou de cisaillement pur. Lors d'un test en traction uniaxiale, le seuil de déformation plastique σo peut être lié à τo, ce qui permet de mieux comprendre le comportement global du matériau.
Enfin, un cas intéressant est celui de la pression hydrostatique, un état particulier de contrainte où il n'y a pas de contrainte de cisaillement. Pour un matériau dont la plastification est décrite par la fonction de rendement de von Mises, l’analyse montre qu’un tel matériau ne peut pas se déformer plastiquement sous l’effet de la seule pression hydrostatique. Ce résultat révèle une limitation importante des modèles de plastification basés sur von Mises dans le cadre de certaines conditions de contrainte.
Il est crucial pour le lecteur de saisir l'importance de la non-linéarité dans la description des matériaux, particulièrement lorsqu'on aborde des phénomènes tels que le flambage, la rupture plastique et les états multiaxiaux de contrainte. Ces concepts sont souvent abordés dans des contextes de génie civil, de mécanique des structures, et d'ingénierie des matériaux. La compréhension de la résistance et de la stabilité des matériaux au-delà de la simple loi de Hooke est essentielle pour prédire les comportements de rupture et d’instabilité dans des systèmes complexes soumis à diverses conditions de charge.
Quelle est la relation entre le module élastique et les déformations dans les barres axiales ?
Le module élastique, également connu sous le nom de module de Young, est une caractéristique essentielle des matériaux qui définit leur rigidité sous tension ou compression. En termes simples, il nous indique de quelle manière un matériau va se déformer sous l'action de forces de tension. Il s'agit d'un paramètre fondamental en mécanique des matériaux, car il nous aide à prédire la réponse d'un matériau lorsqu'il est soumis à des contraintes, mais il ne donne pas d'informations sur la résistance ou la rupture d'un matériau. Le module de Young, noté , est un indicateur de la relation linéaire entre contrainte () et déformation () selon la loi de Hooke. Cela signifie que, tant que le matériau reste dans sa zone élastique, la contrainte est proportionnelle à la déformation, et le matériau récupère sa forme initiale une fois la force supprimée.
Cependant, cette relation n'est valable que tant que la contrainte ne dépasse pas la résistance à la rupture du matériau, représentée par . En d'autres termes, tant que , le matériau conserve une déformation élastique réversible, mais au-delà de cette limite, des déformations plastiques ou une rupture peuvent se produire. Ce phénomène varie selon les types de matériaux. Par exemple, l'acier subit une déformation plastique avant de céder, tandis que le béton présente des fissures sous tension et des écrasements sous compression. Il est donc important de comprendre que, bien que le module de Young nous informe sur la rigidité d'un matériau, il ne fournit pas d'informations sur sa résistance ultime ou sa rupture, concepts qui, bien qu'importants, sortent du cadre de cette étude.
Les matériaux présentent des valeurs variées de module élastique et de densité, comme le montrent les données suivantes : le carbure de silicium possède un module de Young très élevé, à 450 GPa, tandis que des matériaux comme le bois ou le béton, bien que moins rigides, restent néanmoins essentiels pour de nombreuses applications pratiques. Ces propriétés sont liées à la capacité du matériau à résister à des forces appliquées sans subir de déformations permanentes.
Lorsqu'on parle de barres axiales, la relation entre la force axiale et la déformation devient essentielle. En effet, pour déterminer la déformation d'une barre sous une force axiale donnée, on doit prendre en compte la distribution des contraintes internes et l'intégration de celles-ci sur la section transversale de la barre. Le calcul de la déformation implique l'intégration de la contrainte sur la section, qui est directement reliée au module de Young du matériau.
Il est également pertinent de considérer la manière dont la variation du module élastique dans une section transversale affecte les contraintes. Par exemple, dans une structure sandwich où différentes parties du matériau ont des modules de Young différents, les régions avec un module plus élevé subissent des contraintes plus élevées. C’est une conséquence directe de l’hypothèse cinématique, qui stipule que toutes les fibres de la barre doivent se déformer de manière égale sous l'effet de la force appliquée. Ainsi, la répartition des contraintes sera directement influencée par la variation du module élastique à travers la section.
Pour une barre axiale, la relation entre la force interne et la déformation est gouvernée par une équation différentielle qui relie la force interne à la déformation, et qui peut être résolue pour déterminer la fonction de déplacement. Cette relation, donnée par , est fondamentale pour analyser les déplacements dans les structures soumises à des forces axiales.
Enfin, il est important de comprendre que, bien que les équations élastiques donnent des informations précieuses sur la déformation, elles ne couvrent pas les phénomènes non linéaires qui apparaissent lorsque la déformation dépasse les limites élastiques du matériau. Le comportement au-delà de la limite élastique, notamment pour des matériaux ductiles ou fragiles, nécessite une analyse plus poussée, souvent traitée dans des études avancées sur la plasticité ou la rupture des matériaux. En pratique, comprendre la différence entre le comportement élastique et plastique est crucial pour le dimensionnement des structures et la prévision de leur durée de vie.
Comment calculer analytiquement la déformation des poutres avec des chargements répartis variables ?
L’étude de la mécanique des poutres repose sur l’intégration des équations différentielles qui gouvernent leur comportement sous charges. Pour modéliser précisément les déformations, on écrit les équations d’équilibre de la poutre en termes d’équations différentielles du premier ordre. La théorie classique linéaire des poutres établit que la variation de l’effort tranchant est égale à la charge répartie négative , que la dérivée du moment fléchissant correspond à cet effort tranchant , que la variation de la rotation est reliée au moment fléchissant par la flexion , où est le module d’élasticité et le moment d’inertie de la section, et enfin que la déformation transversale est liée à la rotation par .
Ces relations permettent d’enchaîner les intégrations successives. D’abord, en intégrant la relation pour l’effort tranchant, on obtient :
où est la valeur initiale de l’effort tranchant. Puis, l’intégration du moment fléchissant s’écrit :
La double intégrale peut être simplifiée par intégration par parties, ce qui est essentiel pour manipuler des fonctions de charge complexes. Le moment fléchissant s’exprime ainsi en fonction des charges réparties pondérées par la distance relative sur la poutre, ce qui rend la méthode applicable à des fonctions variées.
La rotation est obtenue par substitution dans la relation constitutive, elle-même intégrée :
Enfin, la déflexion transverse se calcule en intégrant encore la rotation :
Ces formules intégrales sont fondamentales car elles établissent un cadre général pour calculer les déformations sous toute forme de charge répartie, ce qui est fondamental dans la conception et l’analyse structurelle. L’usage de l’intégration par parties et de la règle de Leibniz pour la différentiation d’intégrales à limites variables assure la rigueur mathématique nécessaire.
Les moments initiaux , les efforts initiaux , la rotation initiale et la déformation initiale correspondent aux conditions aux limites physiques telles que appuis, encastrements ou charges ponctuelles appliquées aux extrémités, et sont indispensables pour résoudre complètement le problème.
En pratique, cette approche analytique est un préambule à la mise en œuvre numérique des solutions, permettant de valider les codes informatiques qui traitent des poutres sous diverses conditions. Le passage de la forme différentielle locale à la forme intégrale globale facilite l’implémentation numérique, notamment en recourant à des méthodes d’intégration numérique.
Au-delà du cadre strictement mathématique, il est crucial de comprendre que cette théorie linéaire suppose de petites déformations, une homogénéité du matériau et une section constante ou dont la variation est connue. Les effets non linéaires, les variations complexes de matériaux (comme les matériaux composites ou renforcés), ainsi que la présence de discontinuïtés ou de contraintes dynamiques nécessitent des adaptations plus sophistiquées. De même, la modélisation des poutres composées de plusieurs matériaux ou avec des sections variables dans le code numérique doit prendre en compte la superposition des propriétés mécaniques et des interactions entre matériaux différents.
Enfin, l’interprétation physique des résultats, comme l’impact des moments de flexion sur la résistance et la stabilité, est essentielle. Les ingénieurs doivent intégrer ces calculs dans un contexte plus large de sécurité, durabilité et coût. L’analyse paramétrique des différentes formes de charges et sections permet de concevoir des structures optimisées, en équilibrant rigidité, masse et résistance.
Comment les conditions aux limites et la continuité influencent-elles l’analyse des poutres multi-traverses ?
L’analyse des poutres multi-traverses repose fondamentalement sur la bonne gestion des conditions aux limites et des conditions de continuité entre les travées. Le traitement des conditions aux limites dans ce contexte suit la même logique que celle appliquée aux poutres simples, en utilisant un tableau BCs qui regroupe les différentes possibilités, la sélection étant réalisée grâce aux valeurs des codes BCL et BCR. Ce tableau détermine les contraintes et déplacements autorisés aux extrémités de la structure.
Pour assurer la cohérence entre les travées, un autre tableau, Cont, est utilisé pour gérer les conditions de continuité, dont la longueur est nécessairement égale au nombre d’intersections intérieures entre les travées (nSpans-1). Les conditions spécifiques à chaque nœud intermédiaire sont codifiées dans un tableau CCs, permettant de choisir la condition adéquate pour chaque jonction. Ainsi, pour chaque travée, le code consulte l’entrée correspondante dans Cont pour sélectionner la ligne pertinente de CCs, laquelle est ensuite utilisée pour remplir le tableau IntSupport. Ce dernier est inséré dans l’ensemble des variables d’état (Var) entre les conditions aux extrémités.
Les conditions particulières telles que les appuis roulants ou les articulations internes sont détectées à partir des colonnes spécifiques du tableau CCs. Par exemple, un zéro dans la quatrième colonne indique un appui roulant, nécessitant l’introduction d’une force de réaction pour compenser la restriction de déplacement, tandis qu’un zéro dans la deuxième colonne signale la présence d’une articulation interne, qui impose une rotation discrète liée à la condition de moment nul. Ces conditions sont prises en compte par la négation logique des valeurs dans CCs, ce qui permet de générer les tableaux Reaction et Rotation correspondant aux forces et rotations à inclure.
La taille du tableau Var, qui rassemble les variables d’état, les réactions et les rotations relatives, est soigneusement calculée pour refléter le nombre total d’inconnues dans le système. Ce nombre est égal à quatre fois le nombre de travées plus un, additionné à deux fois le nombre de nœuds intérieurs, permettant ainsi de représenter toutes les variables nécessaires. Le système d’équations, construit par la formation des matrices B et Z à travers des boucles sur les travées, incorpore ces inconnues et leurs relations. La matrice de coefficients C est ensuite obtenue en éliminant les colonnes de B associées aux variables nulles dans Var, garantissant ainsi la compatibilité du système.
La résolution de ce système conduit aux valeurs des inconnues, qui sont ensuite utilisées pour calculer les états initiaux nécessaires à l’intégration par la règle trapézoïdale généralisée (GTR) sur chaque travée. Cette intégration, effectuée indépendamment pour chaque segment, permet de reconstituer les diagrammes de charge, de cisaillement, de moment et de déplacement sur l’ensemble de la poutre multi-travée. La gestion précise des positions spatiales est assurée par la variable xx, représentant la position du début de la travée en cours, ajustée à chaque itération pour éviter les conflits dans les valeurs de position lors du traçage.
L’exemple présenté, portant sur une poutre à quatre travées simplement appuyées, illustre clairement ces principes. Deux travées chargées uniformément et deux non chargées produisent des diagrammes caractéristiques : le cisaillement est linéaire dans les travées chargées, constant dans les autres, tandis que le moment est quadratique ou linéaire selon la présence ou non de charge. L’observation des réactions aux appuis roulants, ainsi que la forme des déplacements et rotations dans chaque travée, révèle une réponse mécanique sophistiquée où les travées non chargées compensent les rotations induites par les travées chargées, assurant la continuité et l’équilibre global de la structure.
L’importance de cette approche computationnelle réside dans sa capacité à automatiser des calculs complexes tout en restant fidèle aux méthodes analytiques classiques. Elle permet d’étudier en profondeur le comportement des poutres sous divers scénarios sans se perdre dans les détails laborieux, facilitant ainsi la validation des calculs manuels et offrant un outil pédagogique puissant.
Au-delà de ce qui est exposé, il est essentiel de comprendre que les conditions aux limites et de continuité ne sont pas de simples contraintes numériques : elles traduisent physiquement la nature des supports, des articulations et des interactions entre travées, impactant directement la répartition des efforts et les déplacements. Leur modélisation précise est donc cruciale pour une analyse fiable. Par ailleurs, la manipulation des matrices et vecteurs dans le cadre numérique doit être accompagnée d’une vigilance sur la stabilité et la conditionnement du système, car des erreurs ou approximations peuvent conduire à des résultats erronés ou instables, particulièrement pour des structures complexes ou chargées de manière non uniforme. Enfin, la compréhension du lien entre les variables d’état, leurs contraintes associées et la réponse globale permet d’interpréter intelligemment les résultats, d’anticiper les comportements structurels, et de concevoir des structures plus sûres et performantes.