Considérons le domaine d'entiers S=Z[xij:i,j=1,…,n]S = \mathbb{Z}[x_{ij} : i,j = 1, \dots, n], qui représente un anneau de polynômes en n2n^2 variables. Prenons deux indices i1<i2i_1 < i_2 entre 1 et nn. Soit la matrice X=(fij)m×nX = (f_{ij})_{m \times n}, où fij=xijf_{ij} = x_{ij} si i≠i2i \neq i_2 et fij=xi1,jf_{ij} = x_{i_1,j} lorsque i=i2i = i_2. En d'autres termes, les i1i_1-ème et i2i_2-ème lignes de XX sont identiques. Si nous échangeons ces deux lignes de la matrice XX, la matrice XX reste inchangée. Cela implique que det⁡X=−det⁡X\det X = -\det X. D'après cette relation, nous concluons que 2det⁡X=02 \det X = 0, ce qui signifie que det⁡X=0\det X = 0.

Dans ce contexte, nous pouvons maintenant examiner une matrice AA, où les i1i_1-ème et i2i_2-ème lignes sont identiques. Si nous considérons l'homomorphisme d'anneau φ:S→R\varphi : S \to R qui envoie xijx_{ij} sur aija_{ij} pour tous les indices ii et jj, on obtient que det⁡A=det⁡φ(fij)=φ(det⁡X)=φ(0)=0\det A = \det \varphi(f_{ij}) = \varphi(\det X) = \varphi(0) = 0. Ainsi, cette observation nous permet de conclure que lorsque deux lignes d'une matrice sont identiques, le déterminant de cette matrice est nécessairement nul.

Cela est un cas particulier d'une propriété générale des déterminants : si deux lignes (ou deux colonnes) d'une matrice sont égales, alors son déterminant est nul. Ce résultat est essentiel dans de nombreuses branches des mathématiques, en particulier dans l'analyse des systèmes linéaires et des propriétés des matrices de grande dimension.

En poursuivant cette réflexion, examinons comment cette propriété se généralise dans des contextes plus larges. Par exemple, dans des matrices plus complexes où des relations de symétrie existent entre les lignes ou les colonnes, ou encore dans des matrices ayant des coefficients qui dépendent de paramètres, la structure de la matrice influe fortement sur son déterminant. Si ces symétries conduisent à des répétitions de lignes ou de colonnes, cela peut simplifier les calculs et nous aider à déduire que le déterminant est nul sans avoir besoin de recourir à des formules directes complexes.

Enfin, il est important de souligner qu'une matrice ayant des lignes identiques représente une situation de dépendance linéaire entre ces lignes. En termes géométriques, cela signifie que les vecteurs représentés par ces lignes ne sont pas indépendants et résident dans un sous-espace de dimension inférieure, ce qui entraîne un déterminant nul. Cette propriété est également un outil puissant dans le cadre de la réduction de matrices ou de l’étude de la rangée d’une matrice.

La conclusion naturelle de cette réflexion est que les propriétés des matrices, telles que la répétition de lignes ou de colonnes, ont un impact direct sur le calcul du déterminant, et que ces relations peuvent être utilisées de manière efficace pour résoudre des systèmes d'équations linéaires ou pour étudier la structure algébrique des matrices.

Comment résoudre un système d'équations linéaires à l'aide de la forme échelonnée réduite et de l'élimination de Gauss

La résolution d'un système d'équations linéaires peut parfois sembler complexe, mais elle devient plus accessible à l'aide de la forme échelonnée réduite. Cette méthode, connue sous le nom d'élimination de Gauss, permet de simplifier les systèmes d'équations en les transformant en une forme plus facile à résoudre tout en maintenant l'intégrité des solutions. En effet, la manipulation de matrices augmentées et l'application d'opérations élémentaires sur les lignes sont des outils puissants qui permettent de résoudre un large éventail de systèmes linéaires.

Considérons un système d'équations linéaires général sur un corps FF :

a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n &= b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n &= b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n &= b_m
\end{aligned}

Ce système peut être exprimé sous forme matricielle Ax=bA \mathbf{x} = \mathbf{b}, où AA est la matrice des coefficients, x\mathbf{x} est le vecteur des variables et b\mathbf{b} est le vecteur des constantes. L'objectif est de transformer ce système en une forme qui nous permet de trouver les valeurs de x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n de manière simple et systématique.

Pour résoudre ce système, on peut construire la matrice augmentée [A∣b][A | \mathbf{b}], où la colonne b\mathbf{b} est ajoutée à droite de AA, séparée par une ligne verticale pour la clarté. Cela nous permet de retracer le système d'équations linéaires directement à partir de la matrice augmentée. Lorsque des opérations élémentaires sur les lignes sont appliquées à cette matrice, cela correspond à des modifications dans le système d'équations, mais sans en changer l'espace des solutions.

Les opérations élémentaires de ligne sont au nombre de trois :

  1. L'échange de deux lignes.

  2. La multiplication d'une ligne par un scalaire non nul.

  3. L'ajout d'un multiple d'une ligne à une autre ligne.

Lorsque ces opérations sont appliquées à la matrice augmentée, l'objectif est de réduire la matrice AA à une forme dite "échelonnée réduite", qui permet de lire les solutions du système directement.

Forme échelonnée réduite et elimination de Gauss

Le processus d'élimination de Gauss repose sur la réduction d'une matrice à une forme échelonnée réduite par lignes (RREF). Cette forme est telle que chaque ligne non nulle commence par un 1 (appelé pivot), et que chaque colonne contenant un pivot contient uniquement des zéros à l'exception de ce pivot. Cela simplifie considérablement la recherche des solutions d'un système.

Prenons un exemple pour illustrer cette méthode. Soit le système d'équations suivant :

2y+4z=12x+4y+2z=13x+3y+z=1\begin{aligned}
2y + 4z &= 1 \\ 2x + 4y + 2z &= 1 \\ 3x + 3y + z &= 1 \end{aligned}

Représentons ce système sous forme matricielle :

A=(024242331),b=(111)A = \begin{pmatrix}
0 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

La matrice augmentée [A∣b][A | \mathbf{b}] est alors :

[024124213311]\left[\begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 4 & 1 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 & 1 \end{array}\right]

En appliquant les opérations élémentaires, on obtient progressivement la forme échelonnée réduite :

[100140121200114]\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & 2 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{4} \end{array}\right]

Ainsi, la solution du système est donnée par :

x=14,y=0,z=14x = \frac{1}{4}, \quad y = 0, \quad z = \frac{1}{4}

Inversibilité d'une matrice et déterminants

L'inversibilité d'une matrice carrée joue un rôle crucial dans la résolution des systèmes d'équations linéaires. Si une matrice AA est inversible, alors le système Ax=bA \mathbf{x} = \mathbf{b} a une solution unique, qui peut être trouvée par multiplication de A−1A^{ -1} (l'inverse de AA) par b\mathbf{b}. Pour calculer l'inverse d'une matrice, on utilise des opérations élémentaires de lignes jusqu'à ce que la matrice devienne la matrice identité.

Le déterminant d'une matrice est un autre outil clé dans cette analyse. Si le déterminant d'une matrice est nul, la matrice n'est pas inversible, ce qui signifie que le système linéaire associé n'a pas de solution unique, voire aucune solution. En revanche, si le déterminant est non nul, la matrice est inversible et le système a une solution unique.

Le déterminant du produit de deux matrices

Un autre résultat fondamental est que le déterminant du produit de deux matrices est égal au produit de leurs déterminants :

det(AB)=det(A)×det(B)\text{det}(AB) = \text{det}(A) \times \text{det}(B)

Cela est particulièrement utile pour simplifier des calculs impliquant plusieurs matrices, et il peut également être utilisé pour vérifier la compatibilité des systèmes linéaires, comme le montre la démonstration dans le cas où l'une des matrices est inversible.

Conclusion

Le processus d'élimination de Gauss et la manipulation des matrices augmentées sont des outils essentiels pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. Il est crucial de comprendre que chaque opération élémentaire sur les lignes de la matrice équivaut à une transformation du système d'équations, mais n'affecte pas l'ensemble des solutions. De plus, la compréhension des concepts de déterminant et d'inversibilité des matrices est indispensable pour déterminer si un système a des solutions, et si oui, combien de solutions il en a.

Pour aller plus loin, il est important de maîtriser la notion d'espace des solutions et de savoir quand un système est inconsistant, c'est-à-dire lorsqu'il n'a pas de solution. Une autre compétence importante est de savoir interpréter la forme échelonnée réduite pour extraire directement les solutions du système. Ces outils sont également essentiels pour des applications plus avancées en algèbre linéaire, comme la résolution de systèmes sur des espaces vectoriels de dimension supérieure.

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