L’étude des dynamiques nulles occupe une place centrale dans l’analyse des systèmes non linéaires, notamment pour la compréhension de leur comportement lorsqu’on impose la contrainte d’une sortie identiquement nulle. Un fait remarquable, souvent cité mais rarement démontré en détail, est que les dynamiques nulles de l’approximation linéaire d’un système au voisinage de l’origine coïncident avec l’approximation linéaire des dynamiques nulles du système original. Cette commutation apparente des opérations — linéarisation et calcul des dynamiques nulles — mérite une attention particulière.

Pour en établir la validité, il suffit de démontrer que l’approximation linéaire des équations sous forme normale coïncide avec la forme normale de l’approximation linéaire du système original. L’essentiel réside dans la préservation du degré relatif : il faut que le système non linéaire et son approximation linéaire aient le même degré relatif en x=0x = 0.

Considérons un système de degré relatif rr à l’origine. Par les expansions classiques, on écrit :
f(x)=Ax+f2(x),g(x)=B+g2(x),h(x)=Cx+h2(x),f(x) = Ax + f_2(x), \quad g(x) = B + g_2(x), \quad h(x) = Cx + h_2(x),

avec h(0)=0h(0) = 0 et les fonctions de second ordre satisfaisant des conditions de nullité en zéro. Par un raisonnement inductif, on obtient :
Lfkh(x)=CAkx+dk(x),avecdk(0)=0,L^k_f h(x) = CA^k x + d_k(x), \quad \text{avec} \quad d_k(0) = 0,
ce qui implique :
CAkB=LgLfkh(0)=0pour toutk<r−1,etCAr−1B≠0.C A^k B = L_g L^k_f h(0) = 0 \quad \text{pour tout} \quad k < r - 1, \quad \text{et} \quad C A^{r-1} B \neq 0.
On en conclut que le degré relatif du système linéarisé est aussi rr, et donc que la forme normale linéarisée est bien définie et conforme à celle dérivée du système original.

Dès lors, la linéarisation des dynamiques nulles, obtenue à partir de la forme normale linéarisée, possède une matrice jacobienne dont les valeurs propres sont précisément les zéros de la fonction de transfert du système linéarisé. Il en résulte une interprétation claire : les zéros de la fonction de transfert correspondent aux dynamiques internes du système lorsque la sortie est contrainte à zéro.

Prenons, pour illustrer, un système analysé précédemment. En fixant z1=z2=0z_1 = z_2 = 0 dans la dernière équation de la forme normale, on obtient une équation simple :

z3=−z3,z_3 = -z_3,
qui décrit les dynamiques nulles du système. Ce résultat, quoique élémentaire dans sa forme, démontre la puissance du cadre formel de la transformation en coordonnées normales.

Considérons un second exemple plus explicite. Le système :

x˙1=x3−x2,x˙2=−x2+u,x˙3=x1−x3,y=x1,\dot{x}_1 = x_3 - x_2, \quad
\dot{x}_2 = -x_2 + u, \quad \dot{x}_3 = x_1 - x_3, \quad y = x_1,

donne lieu à des calculs successifs :

Lgh(x)=0,Lfh(x)=x3−x2,LgLfh(x)=1+3x2.L_g h(x) = 0, \quad
L_f h(x) = x_3 - x_2, \quad L_g L_f h(x) = 1 + 3x_2.

Une transformation de coordonnées globale est alors définie par :

z1=x1,z2=x3−x2,z3=x2+x3.z_1 = x_1, \quad
z_2 = x_3 - x_2, \quad z_3 = x_2 + x_3.

Dans ces coordonnées, le système prend la forme :

z˙1=z2,z˙2=b(z1,z2,z3)+a(z1,z2,z3)u,z˙3=−z3.\dot{z}_1 = z_2, \quad
\dot{z}_2 = b(z_1, z_2, z_3) + a(z_1, z_2, z_3) u, \quad \dot{z}_3 = -z_3.

Imposer y(t)=0y(t) = 0 pour tout tt, c’est-à-dire z1=z2=0z_1 = z_2 = 0, contraint la dynamique de l’état sur la variété M={x∈R3:x1=0,x3=x2}M = \{ x \in \mathbb{R}^3 : x_1 = 0, x_3 = x_2 \}. Sur cette variété, les dynamiques nulles se réduisent à :

z˙3=−z3,\dot{z}_3 = -z_3,

illustrant une décroissance exponentielle simple.

Même lorsque la forme normale exacte est inatteignable — par exemple, si les fonctions ϕr+1(x),…,ϕn(x)\phi_{r+1}(x), \ldots, \phi_n(x) sont difficiles à construire avec la propriété Lgϕi(x)=0L_g \phi_i(x) = 0 —, les dynamiques nulles peuvent être identifiées via une structure alternative du système, exprimée en :

ξ˙1=ξ2,ξ˙2=⋯=ξ˙r−1=ξr,ξ˙r=β(ξ,η)+α(ξ,η)u,η˙=q(ξ,η)+p(ξ,η)u.\dot{\xi}_1 = \xi_2, \quad \dot{\xi}_2 = \cdots = \dot{\xi}_{r-1} = \xi_r, \quad \dot{\xi}_r = \beta(\xi, \eta) + \alpha(\xi, \eta) u, \quad
\dot{\eta} = q(\xi, \eta) + p(\xi, \eta) u.

En imposant la sortie y(t)=0y(t) = 0, on a ξ(t)=0\xi(t) = 0 et donc une équation algébrique en u(t)u(t). En substituant u(t)u(t) dans l'équation de η\eta, on obtient une équation différentielle autonome décrivant les dynamiques nulles en coordonnées η\eta.

Par exemple, dans un autre cas étudié, l’impossibilité de déterminer une forme normale complète n’empêche pas le calcul direct. Il suffit de poser z1=z2=0z_1 = z_2 = 0 dans l'équation correspondante, puis d’obtenir :

z˙3=z4=−2z1,\dot{z}_3 = z_4 = -2z_1,

ce qui permet de conclure à la dynamique nulle sans forme normale explicite.

Il est crucial de comprendre que les dynamiques nulles ne relèvent pas d’un artefact mathématique, mais d’une réalité physique du système : elles régissent la trajectoire des états internes lorsque la sortie est rigoureusement nulle. Leur stabilité est liée aux zéros de la fonction de transfert du système linéarisé. Une instabilité dans ces dynamiques indique un comportement interne potentiellement divergent, même en l'absence de toute variation de sortie. Ainsi, dans le cadre du contrôle non linéaire, une compréhension fine des dynamiques nulles est incontournable, que ce soit pour la conception de lois de commande, l’analyse de la robustesse ou la stabilité interne.

Qu’est-ce qu’un difféomorphisme local et global dans les systèmes non linéaires ?

Dans les systèmes linéaires, le changement de coordonnées est souvent effectué à l’aide d’une transformation linéaire de type z=Txz = Tx, permettant une nouvelle écriture du système sous la forme z′=Az+Buz' = Az + Bu, y=Czy = Cz, avec les matrices transformées selon les règles A=TAT−1A = TAT^{ -1}, B=TBB = TB, ( C = CT^{ -1} \

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