Теоретическая механика. Часть 5. Динамика системы точек (стр. 5 )

№ 37

Для решения задачи используем дифференциальное уравнение движения центра масс: ; (рис. 72). ; ; ; ; ; .

Верен ответ 4. В ответах 2 и 3 неверно найдена сумма проекций сил на ось у. В ответе 1 не учитывается движение системы, сила N найдена в равновесном положении.

№ 38

Используем теорему о движении центра масс: ; , так как и , то ; (рис. 73), ; (рис. 74). ; ; .

Верен ответ 3. Остальные ответы неверны. В ответе 1 не учитывается знак минус координаты . В ответе 2 неверное заключение. В ответе 4 координата неверна, ; .

№ 39

Верен ответ 4. Запишем для этой системы дифференциальное уравнение центра масс: ; (рис. 75); ; ; ; ; ; ; .

В ответе 1 найдена статическая реакция. В ответе 2 неверно найдено ускорение . В ответе 3 не учитывается направление .

№ 40

Верен ответ 2 (см. рис. 27).

Движение автомобиля можно объяснить, используя теорему о движении центра масс. Действительно, силы давления газа в двигателе являются силами внутренними, они не могут привести в движение систему. Движение происходит за счет сил трения, приложенных к колесам со стороны дороги. Двигатель передает ведущему колесу вращающий момент (рис.76). При этом точка касания В стремится скользить влево, а к колесу будет приложена сила трения, направленная вправо. Эта внешняя сила и позволяет двигаться автомобилю вправо (см. рис. 76).

В ответе 1 (см. рис. 26) неверно обозначены колеса.

Если вращающий момент , оба колеса становятся ведомыми (рис. 78). Движение автомобиля по гладкой плоскости (без внешних сил) невозможно.

№ 41

Если провести через центр тяжести танцора ось Oz то внешние силы (вес человека и нормальная реакция плоскости) будут параллельны оси (если пренебречь силами трения). Тогда по теореме о кинетическом моменте ; ; ; где .

Если танцор увеличит момент инерции, например разведением рук в стороны, то скорость вращения уменьшится и наоборот. Следовательно, изменяя момент инерции, танцор может изменять в танце свою угловую скорость. Верен ответ 1.

№ 42

Рассмотрим движение системы, состоящей из вращающегося стержня и двух точек. Внешние силы веса и реакции опор С и D относительно оси z моментов не создают. Следовательно, и ; найдем и

. (рис. 79). (рис. 80). Но , тогда ; тогда .

Верен ответ 4.

Ответ 3 неверен. Перепутано условие задачи и взято за начальное положение точки А1 и В1, за конечное — А, В.

В ответе 2 , это неверно, так как ; , то и ; и .

Ответ 1 будет верен, если точки А и В не будут перемещаться, а они переместились.

№ 43

Неверен ответ 3. Так как все векторы количеств движения лежат в одной плоскости, то кинетический момент этой системы относительно оси z и относительно центра О одинаков:

,

где ;

— кратчайшее расстояние от оси Oz или центра О до ;

не является кратчайшим расстоянием от центра О до ;

не является моментом количества движения .

№ 44

Теорема об изменении кинетического момента системы в скалярной форме пишется так: , если , то .

Верен ответ 3. Ответы 1 и 2 перепутаны. Ответ 4 неверен, так как , если , то .

№ 45

(рис. 81).

1. — верно.

2. ; — верно.

3. — верно.

4. . Ответ 4 неверен.

№ 46

Верен ответ 3.

Для решения задачи применим теорему об изменении кинетического момента системы: (силы P, Q параллельны Oz, реакции опор пересекают Oz (рис. 82)).

; ; где ; ;

тогда ; найдем ; но . Тогда ; получим .

Ответ 1 неверен, так как .

Ответ 2. ; .

№ 47

Верен ответ 1.

На данную систему действуют силы тяжести и реакции опор. Все они пересекают ось z (рис. 83), следовательно, ; ; .

; .

В ответе 2 , .

В ответе 3 ошибка в счете. ; .

№ 48

(рис. 84). ; ; ; ;, так как . Получим .

Верен ответ 2.

Ответ 1 неверен, так как ; .

Ответ 3. ; . Потерян момент количества движения пули.

В ответе 4 неверно вычислен момент инерции доски: ; ; ; ; .

№ 49

Момент количества движения точки относительно центра О — векторная величина. Кинетический момент системы (рис. 85) будет тоже вектором , т. е. равенства (2) и (3) верны, неверен ответ 1.

№ 50

Верен ответ 2. Применим теорему об изменении кинетического момента системы (рис. 86): ; ; ; .

, где . . .

Ответ 1 неверный, так как , то и , .

В ответах 3, 4 ошибки в вычислениях .

№ 51

Неверен ответ 1. Шатун АВ совершает плоскопараллельное движение (рис. 87), энергию нельзя считать по формуле , как для поступательно движущегося тела. В данный момент ; . Скорость всех точек звена АВ определяются как вращательные вокруг м. ц. с. точки В и энергию АВ можно считать как энергию тела, вращающегося вокруг точки В

; ; .

Ответ 2 верен. Энергию АВ можно считать и по общей формуле , как энергию тела, совершающего плоскопараллельное движение: .

Ответ 3 верен.

№ 52

Кулиса О1В совершает вращательное движение (рис. 88). Ее энергия .

Верен ответ 4. Чтобы найти ωК, рассмотрим движение точки А. Ее движение сложное.

; ; ; ; ;

; .

Ответы 2 и 3 неверны. Записана энергия тела в поступательном (2) и плоскопараллельном движении, а кулиса совершает вращательное движение и ее энергия вычисляется по формуле .

Здесь — момент инерции относительно оси вращения. В данном случае ; , поэтому ответ 1 нельзя считать верным.

№ 53

Неверен ответ 3. Такой была бы энергия диска, если бы его тащили волоком по плоскости, т. е. перемещали поступательно. На самом деле, кроме поступательного движения у диска есть еще и вращение, и его энергия ищется как сумма двух энергий: в поступательном движении со скоростью и вращательном вокруг оси С .

Ответ 2 верен. Верен и ответ 1. Скорости всех точек диска определяются как вращательные вокруг м. ц. с. Р, а потому Т можно считать как энергию вращения вокруг Р, т. е. .

№ 54

Верными являются ответы 1 и 3. В общем случае шатун АВ совершает плоскопараллельное движение и его энергию следует считать по формуле, записанной в ответе 1. Но в данный момент времени , . Имеем случай мгновенно-поступательного движения и энергию АВ можно считать как энергию в поступательном движении:

(ответ 3).

Неверен ответ 2. , вращение в этот момент у шатуна отсутствует, нет и энергии вращения. Поэтому ответ 2 неверен. Кроме того, есть еще одна ошибка, вместо поставлена .

№ 55

Верен ответ 3. Цилиндр движется поступательно вместе с колодкой вдоль плоскости, и его энергия .

Итак, если катиться по плоскости цилиндр не может, то и его скорость во вращательном движении и энергия равны 0. Поэтому ответы 1 и 2 неверны.

№ 56

Рассмотрим движение системы, состоящей из невесомого стержня и двух точек А и В (рис. 89). Энергия этой системы

.

Для решения задачи применим теорему об изменении кинетической энергии . , так как система в момент неподвижна.

; ; ; ; ; приравняв Т и : , получим .

Верен ответ 1. Остальные неверны. В ответе 2 неверно считается , потому что и нельзя писать в формуле просто V ,нужно указать, скорость какой точки берется. В ответе 3 неверно вычисляется работа:

; вместо ; .

В ответе 4 неверно находится и ; .

№ 57

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий двух данных точек. Энергия одной точки , тогда системы .

Верен ответ 3. Ответ 1 неверен, вместо энергии системы записана энергия одной только точки. Неверен и ответ 2: . Поскольку есть верный ответ среди данных ответов, заключение 4 неверно.

№ 58

В первом случае диск вращается вокруг неподвижной оси (рис. 90 а). Его энергия ; , где .

Во втором случае его движение будет плоскопараллельным (рис.90 б). Его энергия

; ;

.

Сравнивая, видим, во втором случае энергия в 3 раза больше. Верен ответ 2. Ответ 1 неверен. нельзя считать как энергию тела в поступательном движении:

, поэтому .

Ответ 3 тоже неверен. Совершенно неверно считать энергию только как энергию вращения, т. е. .

Ответ 4 неверен. Верный ответ 2.

№ 59

Верен ответ 4. Шайба вращается вокруг оси О с угловой скоростью w. Ее энергия ; ; .

Остальные ответы неверны. В ответе 1 записана энергия тела при поступательном движении, а нужно при вращательном. В ответе 2 записана формула для вычисления энергии тела, вращающегося вокруг центра тяжести, а данное тело вращается вокруг точки, лежащей на ободе, и его энергия не , а , как в 3-м и 4-м случаях. Но в ответе 3 исходная формула взята верно, а момент инерции — нет. Нужно посчитать по теореме о моментах инерции относительно параллельных осей:,

т. е. .

№ 60

Верен ответ 4. Действительно, когда цилиндр скользит по плоскости, его энергия , как энергия тела в поступательном движении. Если же цилиндр будем катить по плоскости, то энергия его , т. е. как энергия тела в плоскопараллельном движении. Подставив значение , имеем

, так как . Сравним энергию цилиндра в том и другом случае. Во втором случае она больше на . Остальные ответы неверны.

В ответе 1 энергия изменится, так как изменится вид движения. Цилиндр, кроме поступательного движения будет еще участвовать во вращательном движении и добавится энергия этого вращения. В ответе 2 . Формула применяется верно, но считается равным , как для полого цилиндра, а у нас сплошной цилиндр, для него , следовательно, .

В ответе 3 , потому что вычислена энергия только во вращательном движении вокруг С, но не подсчитана энергия в поступательном движении вместе с центром масс.

№ 61

Верен ответ 4. ; ; ; ; ; .

Ответ 3 неверный. Нужно было перевести в по формуле ; .

Ответ 2 неверный. , следует перевести в радианы на секунду.

Ответ 1 неверный. Неверно считается

.

№ 62

Для решения задачи применим теорему о кинетической энергии системы, рассматривая колесо (рис. 91) как систему точек: , так как система неизменяемая, . В начальный момент система неподвижна, . Вычислим кинетическую энергию колеса:

.

Работа внешних сил: ; ; . Тогда ; .

Верен ответ 1. В ответах 2 и 3 неверно считается кинетическая энергия колеса. ; , так как движение колеса не является ни поступательным, ни вращательным. Колесо совершает плоскопараллельное движение. Его энергия .

№ 63

Запишем теорему о кинетической энергии системы (стержень на рис. 92 — система точек) . ( — система неизменяемая).

; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Стержень совершает вращательное движение и его энергия .

Верен ответ 2.

В ответе 1 неверно считается кинетическая энергия стержня , потому что движение стержня не является поступательным. Заключение в ответе 3 неверно, так как есть верный ответ (2) среди двух приведенных ответов.

№ 64

Стержень (рис. 93) совершает плоскопараллельное движение и его энергия , (где С — центр масс стержня). Зная скорость точки А (), найдем скорость точки С и угловую скорость стержня. Для этого найдем м. ц. с. стержня АВ. Он находится в точке , с помощью этого центра найдем и :

; .

Подставим значения и , имеем , где

Верен ответ 3. В ответах 1 и 2 энергия стержня считается как энергия тела в поступательном (1) или вращательном (2) движениях. Но движение стержня плоскопараллельное, и энергия его равна сумме энергий в поступательном и вращательном движениях стержня, т. е. .

В ответе 4 кинетическая энергия стержня считается верно, как сумма энергий, но неверно считается

; .

ЛИТЕРАТУРА

1.  Тарг курс теоретической механики: Учебник для втузов. — М.: Высшая школа, 2001.

2.  Яблонский теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1977.

3.  Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие для вузов / , , . — М.: Высшая школа, 1974.

4.  Мещерский задач по теоретической механике: Учебное пособие для вузов. — М.: Наука, 1981.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение …………………………………………………………………..……… 3
Раздел 1. Введение в динамику системы ………………………………………. 3
Тема 1. Понятие механической системы ……………………………………….. 4
Тема 2. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей … 11
Раздел II. Основные теоремы динамики системы точек ……………………... 17
Тема 3. Теоремы об изменении количества движения и о движении

центра масс ………………………………………………………………………. 18
Тема 4. Теоремы об изменении кинетического момента …………………….. 29
Тема 5. Теорема об изменении кинетической энергии системы …………….. 37
Ответы и решения к контрольным вопросам и заданиям …………………… 45
Литература ……………………………………………………………………… 67

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5