; ; ;

Контрольные вопросы и задания к теме 2

№ 11

Вычислить момент инерции круглого диска относительно диаметра диска.

1. 

2. 

3. 

4.

№12

Вычислить момент инерции однородного круглого диска веса Р и радиуса r относительно оси l1, лежащей в его плоскости и отстоящей от центра тяжести С диска на расстояние а = .

1. 

2. 

3. 

4. 

№ 13

Вычислить радиус инерции однородного круглого диска весом Р и радиусом относительно оси l1, лежащей в его плоскости и отстоящей от центра тяжести С диска на

1. 

2. 

3. 

4. 

№ 14

Определить радиус инерции сплошного круглого цилиндра относительно его оси.

1.  .

2. 

3. 

Здесь r — радиус цилиндра.

№ 15

Вычислить момент инерции диска относительно его касательной.

1. 

2. 

3. 

4. 

№ 16

Определить радиус инерции однородного тонкого стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной к стержню в конце его.

1. 

2. 

3. 

№ 17

Определить момент инерции однородной пластинки массой М относительно оси z1 (рис. 10).

1. 

2. 

3. 

4. 

№ 18

Найти момент инерции стержня массой М и длиной 2а относительно оси z проходящей через его середину и образующей угол с направлением стержня.

1. 

2. 

3. 

4. 

№ 19

Определить радиус инерции прямоугольника, основание которого 0,2 м, а высота 0,4 м, относительно оси y, проходящей через центр тяжести параллельно основанию.

1.  = 0,116 м.

2.  = 0,232 м.

3.  = 0,303 м.

№ 20

Определить момент инерции круга массой М и радиусом а относительно хорды АВ, отстоящей от центра на половину радиуса.

1. 

2. 

3. 

Раздел II. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ ТОЧЕК

Раздел состоит из трех тем. В результате изучения раздела студент должен:

знать а) определение количества движения, кинетического момента и кинетической энергии системы; б) формулировки основных теорем динамики системы в дифференциальной и интегральной формах; в) законы сохранения количества движения, координаты центра масс и кинетического момента системы;

уметь а) практически вычислять количество движения, кинетический момент, кинетическую энергию системы; б) вычислять работу, моменты, импульсы внешних сил, приложенных к системе; в) практически применять при решении задач основные теоремы динамики системы и закон сохранения количества движения, координаты центра масс, кинетического момента системы;

помнить а) формулы для вычисления количества движения, кинетического момента и кинетической энергии системы работы сил; б) формулы, выражающие основные теоремы динамики системы; в) порядок решения задач.

Тема 3. ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

И О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС

Основные теоремы динамики являются следствиями, вытекающими из основного закона динамики. Рассмотрим эти теоремы для системы точек.

Пусть имеем механическую систему, состоящую из n точек. Запишем для произвольной точки Аj теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме:

или ,

где ; — внешняя сила; — внутренняя сила.

, написав подобные равенства для каждой из n точек системы, сложим их. Получаем:

.

Внесем знак под знак производной:

.

— по свойству внутренних сил;

— вектор количества движения системы точек.

Количеством движения системы называются вектор , равный геометрической сумме векторов количеств движения всех точек системы. Заменив

имеем

Равенство (1) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной векторной форме: производная от количества движения системы по времени равна сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Проинтегрировав равенство (1), получим:

Равенство (2) выражает теорему в интегральной векторной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени.

Из выражений (1) и (2) следует, что количество движения системы зависит только от внешних сил, внутренние силы изменить количество движения системы не могут. Обозначим проекции векторов а . Спроектировав на декартовы оси равенства (1) и (2), получим:

Имеем скалярное дифференциальное выражение теоремы об изменении количества движения системы (3): производная от проекции количества движения системы на какую-либо ось по времени равна сумме проекций всех внешних сил на ту же ось. Скалярное интегральное выражение этой же теоремы (4): изменение проекции количества движения системы на какую-либо ось по времени равно сумме проекций импульсов всех внешних сил на туже ось.

Частные случаи рассматриваемой теоремы

1)  тогда .

— закон сохранения количества движения системы.

2)  тогда

— закон сохранения проекции количества движения.

Пример. Из орудия весом Р2 вылетает снаряд в горизонтальном направлении весом Р1 со скоростью . Найти скорость после вылета (скорость отката) (рис. 11).

.

— скорость отката орудия.

Примечание. Практическое значение теоремы в том, что при соответствующем выборе механической системы исключаются из рассмотрения все неизвестные внутренние силы. Теорема применяется в теории удара, динамики точки переменной массы, динамике сложных сред (газ, жидкость).

Выражение количества движения системы через скорость центра масс

Если число точек системы велико, то определить вектор по формуле трудно, а иногда невозможно. В этом случае количество движения системы вычисляется через скорость центра масс.

Что такое центр масс системы, уже знаем. Положение этой точки определяется координатами:

Умножим обе части этих равенств на массу системы М, получим:

Продифференцируем обе части этих равенств по времени:

Но xC, yC, zC — координаты точки C — центра масс, а — проекции скорости точки С на оси координат, т. е. . Координаты точки системы — а — проекции скорости . Соответственно система (7) определяет проекции векторов количеств движения точки С в левой части и вектора в правой части. Но если равны проекции векторов, то равны и сами векторы: ;

Вывод. Количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость центра масс.

С помощью последней формулы очень легко можно вычислить количество движения системы, скорость центра масс которой известна.

Пример. Вычислить количество движения колеса весом Р, центр масс которого имеет скорость (рис. 12). Величину определили по формуле (8). Направлен так же, как и .

Теорема о движении центра масс

Центр движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы, и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Доказательство. Возьмем систему, состоящую и n материальных точек. Пусть точка , скорость которой , ускорение является центром масс данной системы. Выразим количество движения этой системы через скорость центра масс: . Обе части этого равенства продифференцируем по времени:, но (из кинематики точки); а (из теоремы об изменении количества движения системы).

что и требовалось доказать. Спроектируем это равенство на оси Oxyz, обозначив проекции — , а — где — центр масс.

Называются эти уравнения дифференциальными уравнениями движения центра масс. С их помощью можно решать первую и вторую задачи динамики системы. Из выражений (9) и (10) видно, что внутренние силы на движение центра масс не влияют.

Частные случаи

1.  Если , то ; . — центр масс такой системы движется равномерно и прямолинейно.

Если и , то .

Отсюда видим, что центр масс остается неподвижным. Этот результат выражает закон сохранения положения центра масс системы.

2.  Если , то ; ; .

Если же в начальный момент центр масс неподвижен, то , тогда — закон сохранения координаты центра масс.

Пример. Рассмотрим движение человека по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. На человека действуют внешние силы: Р – вес его и реакция плоскости N (нормальная). Если ось х взять вдоль плоскости, то ; ; . Центр масс человека остается неподвижным, т. е. вдоль абсолютно гладкой плоскости человек перемещаться не может (его мускульные усилия будут внутренними силами, а внутренние силы на движения центра масс не влияют).

Если же плоскость негладкая, то , , центр масс перемещается ускоренно по горизонтали. Сила трения при этом направлена в сторону движения человека. Она позволяет ему двигаться.

Порядок решения задач с помощью закона сохранения количества движения системы

1.  Изобразить на рисунке все внешние силы.

2.  Выбрать систему координат.

3.  Записать теорему об изменения главного вектора количеств движения системы материальных точек в проекциях на оси координат.

4.  Если сумма проекций импульсов внешних сил на ось окажется равной нулю, например , то следует приравнять между собой проекции на эту ось главного вектора количеств движения системы в начальный и конечный момент времени, т. е. , из полученного уравнения определить искомую величину.

Порядок решения задач с помощью теоремы о движении центра масс

1.  Изобразить на рисунке все внешние силы системы.

2.  Выбрать систему осей координат.

3.  Записать дифференциальные уравнения движения центра масс:

4.  Вычислить суммы проекций всех внешних сил системы на оси декартовых координат и подставить их в уравнения (11).

5.  В зависимости от условия решать прямую либо обратную задачи динамики.

Контрольные вопросы и задания к теме 3

№ 21

Бревно весом Р перекатывается на двух катках весом Q каждый (рис. 13). Определить количество движения системы, если бревно движется со скоростью v.

1. 

2. 

3. 

№ 22

Два шара весом A — 5H и B — 3H соединены с вертикальной осью ЕД горизонтальным стержнем АВ длиной 20 см и весом 10Н, прикрепленным к оси в точке О, отстоящей на 5 см от шара А.

Вся система вращается вокруг оси ЕД, делая 10 оборотов в минуту. Определить количество движения системы (рис. 14).

1.  К = 7 кгм/с.

2.  К = 0,07 кгм/с.

3.  К = 1,2 кгм/с.

№ 23

Однородная квадратная рама АВСД со стороной а вращается вокруг оси АВ с постоянной угловой скоростью . Вокруг оси СВ, совпадающей с диагональю рамы, вращается однородный диск весом Р1 (рис. 15).

Определить количество движения системы, если вес рамы Р2.

1.  К = 0.

2.  .

3. 

4.  .

№ 24

Матрос весом Р перемещается по шлюпке весом с относительной скоростью u. В начальный момент шлюпка имела скорость . Определить, через сколько времени ее скорость станет равной нулю, если сопротивление воды постоянно и равно R (человек движется в сторону движения лодки).

1.  .

2.  .

№ 25

На лодке, движущейся со скоростью v0, находится человек. С какой скоростью будет перемещаться лодка, если человек начнет двигаться по ней с относительной скоростью u. Вес лодки , человека — Р (человек движется в сторону движения лодки). Сопротивлением воды пренебречь.

1.  .

2.  .

3.  .

№ 26

Кривошип ОА вращается равномерно с угловой скоростью и приводит в движение колесо II радиусом R и весом Р (рис. 16). Определить количество движения системы, если R1 = R2 = R, ОА — однородный стержень весом Р1.

1.  .

2.  .

3.  .

№ 27

1.  .

2.  .

3.  .

4.  .

№ 28

Определить главный вектор количеств движения данной системы, если угловая скорость первого колеса , . Вес колес Р1 и Р2, центры тяжести их лежат на осях вращения О1 и О2 (рис. 18).

1.  К = 0.

2.  .

3.  .

№ 29

На невесомом стержне, вращающемся вокруг оси О по закону , находятся на расстоянии ОМ1 = l1, ОМ2 = l2 две точки массой m1 и m2. Определить количество движения этой системы (рис. 19).

1.  .

2.  .

3.  .

№ 30

Прямоугольный параллелепипед поставлен на горизонтальную плоскость. На него положено тело А весом Р1, а тело В весом Р2 соединено с телом А гибкой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок С (рис. 20).

Определить зависимость между скоростью параллелепипеда и скоростью u тела А по отношению к параллелепипеду, если опорные поверхности гладкие, и в начале движения система покоилась. Вес параллелепипеда Q, весом нити и блока пренебречь.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5