Магические квадраты Франклина (стр. 1 )

МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ ФРАНКЛИНА

1. Вводные определения

Традиционным (нормальным или классическим) магическим квадратом порядка n называется квадратная таблица размером nхn, заполненная различными натуральными числами от 1 до n2 так, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и в обеих диагоналях таблицы равна одному и тому же числу, называемому магической константой квадрата.

Нетрудно вывести формулу для магической константы S квадрата порядка n:

S = n(n2 + 1)/2

Если суммы чисел на диагоналях квадрата не равны магической константе, то такой квадрат называется полумагическим (или неполным).

Магический квадрат порядка n называется ассоциативным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу, которое, как нетрудно понять, равно n2+1. Такие числа в ассоциативном магическом квадрате называются взаимно дополнительными или комплементарными. На рис. 1 представлен ассоциативный магический квадрат четвёртого порядка.

Рис. 1

Обычные диагонали в магическом квадрате называют главными, чтобы отличать их от разломанных диагоналей. Разломанная диагональ – это диагональ, параллельная главной диагонали и проходящая тоже через n ячеек квадрата. Поскольку главных диагоналей две, то разломанные диагонали тоже будут двух направлений. Рис. 2 помогает понять, как образуются разломанные диагонали магического квадрата четвёртого порядка.

Рис. 2

Понятно, что в магическом квадрате порядка n будет 2(n-1) разломанных диагоналей.

Магический квадрат называется пандиагональным (или дьявольским), если сумма чисел по всем разломанным диагоналям равна магической константе квадрата. На рис. 3 изображён пандиагональный магический квадрат четвёртого порядка.

Рис. 3

Для порядков n = 4k + 2 не существует ни ассоциативных, ни пандиагональных магических квадратов [16].

Свойство пандиагональности сохраняется при параллельном переносе магического квадрата на торе. Такой перенос вдоль горизонтальной оси координат просто осуществить, если свернуть магический квадрат в трубочку, склеить его левый и правый края, вертикально разрезать квадрат в другом месте, а затем снова развернуть его. Получится, например, такой магический квадрат (рис. 4), который тоже будет пандиагональным.

Рис. 4

Аналогично осуществляется параллельный перенос вдоль вертикальной оси (в этом случае склеиваются верхний и нижний края квадрата и делается горизонтальный разрез).

Можно выполнить параллельный перенос одновременно по обеим осям. Параллельный перенос на торе называют ещё торическим переносом.

Магический квадрат называется идеальным, если он одновременно и ассоциативный, и пандиагональный. Идеальные магические квадраты существуют для нечётных порядков n>3 и для чётно-чётных порядков n>4 (чётно-чётным называют порядок кратный 4). В англоязычных работах термину “идеальный квадрат” соответствует термин “ultramagic square”.

На рис. 5 представлен идеальный квадрат пятого порядка.

Рис. 5

2. Полумагические квадраты Франклина

Американский общественный деятель Бенджамин Франклин (1706–1790) очень увлекался построением магических квадратов. Франклин писал: “В дни моей юности я в свободное время (которое, как мне кажется, можно было бы употребить с большей пользой) развлекался тем, что составлял … магические квадраты” [13].

До нас дошли только пять квадратов, построенных Франклином, из которых четыре являются полумагическими и один магическим. [1, 3] Вероятно, были и другие квадраты, но они, к сожалению, не сохранились. Например, известный пандиагональный квадрат Франклина 16-го порядка даёт основание предполагать, что Франклином был построен подобный пандиагональный квадрат и меньшего 8-го порядка. Известные нам квадраты Франклина обладают рядом уникальных свойств, которые мы рассмотрим ниже.

Сначала представим четыре полумагических квадрата Франклина, это два квадрата 8-го порядка, квадрат 16-го и квадрат 32-го порядка. Свойства полумагических квадратов 8-го и 16-го порядка подробно описаны в работах [1, 2].

Первый полумагический квадрат Франклина восьмого порядка вы видите на рис. 6.

Рис. 6

Суммы чисел в главных диагоналях этого квадрата равны 228 и 292. Их среднее арифметическое совпадает с магической константой квадрата.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11