Магические квадраты Франклина (стр. 11 )

Итак, полученный квадрат является пандиагональным, но не ассоциативным. Чтобы сделать его ассоциативным, достаточно выполнить следующие преобразования: переставить строки, причём некоторые из них “перевернуть” (то есть записать числа в строке в обратном порядке, начиная с последнего). Если внимательно посмотреть на квадрат, изображённый на рис. 19, легко заметить, что каждой строке соответствует строка, содержащая комплементарные числа, если её “перевернуть” и расположить эти строки симметрично относительно горизонтальной оси симметрии квадрата. Например, для первой строки такой строкой будет четвёртая строка (считая сверху). Исходя из этого, нетрудно найти те строки, которые надо переставить и “перевернуть”.

В результате этих преобразований получается идеальный квадрат 16-го порядка, который представлен на рис. 20.

Рис. 20

Подробно построение этого идеального квадрата изложено в [5]. Данным методом можно построить только идеальные квадраты порядка n = 8k, k = 1, 2, 3, …. [6].

4. Задачи

5. Литература

[1] Harvey Heinz. Веб-сайт. «Franklin Squares» (на английском языке): http://www. /~harveyh/franklin. htm

[2] Н. Макарова. Веб-сайт. «Квадраты Франклина»:

http://www. klassikpoez. /franklin. htm

[3] Н. Скрябина, В. Дубовской. Вебсайт «Магические квадраты»:

http://www. /MAGIC/magic%20SQ. doc

[4] Веб-сайт «Дух времени». , , Джаясекара. «Модифицированные магико-магические квадраты Бенджамина Франклина»:

http://www. /Lukoyanov-1.htm

[5] Н. Макарова. Веб-сайт. «Идеальные квадраты чётно-чётного порядка (часть II)»:

http://www. klassikpoez. /idealch. htm

[6] Н. Макарова. Веб-сайт. «Метод построения идеальных магических квадратов порядка n = 8k»:

http://www. klassikpoez. /idealch1.htm

[7] Н. Макарова. Вебсайт. «Волшебный мир магических квадратов»:

http://www. klassikpoez. /glavnaja. htm

[8] . Магические квадраты. – М.: Наука, 1964

[9] . От магического квадрата к шахматам. – М.: Физкультура и спорт, 1969

[10] . Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. – СПб.: СПб гос. техн. ун-т, 1995

[11] . Теория магических матриц. Выпуск ТММ-1. – Санкт-Петербург: 2008. Электронная версия книги: http://chebrakov. /

[12] Gardner, M. Magic Squares and Cubes. Ch. 17 in Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. New York: W. H. Freeman, 1988.

[13] М. Гарднер. Путешествие во времени. – М.: Мир, 1990. Электронная версия книги:

http://publ. /ARCHIVES/G/GARDNER_Martin/Puteshestvie_vo_vremeni.%20%5Bdjv%5D. zip

[14] Paul C. Pasles (2001) «The Lost Squares of Dr. Franklin». American Mathematical Monthly 108(6), 489-511. Вебсайт. http://www. pasles. org/Franklin. html (на английском языке)

[15] C. Bragdon (1936) «The Franklin 16x16 Magic Square», Scripta Mathematica 4, 158-159. (на английском языке)

[16] B. Rosser, R. Walker, The algebraic theory of diabolic magic squares. Duke Math. Journal, 5, 1939, pp. 705-728.

[17] Cor Hurkens. Веб-сайт. http://www. win. tue. nl/~wscor/Magic/SPORfms. pdf

[18] Н. Макарова. Веб-сайт. http://www. /komplfr. htm

26 сентября 2008 г.

г. Саратов

Примечание: рецензент статьи высказал сомнение в том, что в [4] приведён оригинальный полумагический квадрат Франклина 32-го порядка, в связи с тем, что авторы назвали публикацию “Модифицированные магико-магические квадраты Бенджамина Франклина”. При написании статьи для сайта я тщательно исследовала структуру данного квадрата и установила, что он подобен полумагическому квадрату Франклина 16-го порядка. Хотя преобразованный квадрат тоже может иметь похожую структуру. Однако полагаю, что если авторы указанной статьи преобразовали оригинальный квадрат Франклина, они привели бы сам оригинал. Но и это могло быть не выполнено. Непонятно и другое: зачем квадрат Франклина надо было модифицировать. Цель этого в указанной публикации не объясняется. Найти полумагический квадрат Франклина 32-го порядка в других ресурсах мне не удалось.

Добавлено 27 октября 2008 г.

Найдена ссылка на журнал “Дух времени”, фрагментом которого является [4]:

http://www. /pdf-files/Spirit_of_time_ALL. pdf

В этом журнале приведена подробная статья о полумагическом квадрате Франклина 32-го порядка. Из этой статьи явствует, что данный квадрат действительно был построен по алгоритму Франклина Виталием и Виктором Лукояновыми и Джаясекаром. Авторы заявили о приоритетном праве на этот квадрат в 2003 году, и квадрат считается авторским.

Как уже отмечено выше, квадрат действительно имеет структуру, полностью совпадающую со структурой полумагических квадратов Франклина 8-го и 16-го порядков. Поэтому вряд ли стоит говорить о модификации квадрата. Можно даже с большой вероятностью предположить, что данный квадрат был построен самим Франклином, но не дошёл до нас или дошёл в незаконченном виде.

Интересно привести цитату из указанного журнала:

“Необходимо заметить,

что Бенджамин Франклин оставил

уникальное научное и духовное наследство

следующим поколениям исследователей,

причем, видимо принципиально,

не раскрыл до конца ни одного из

своих алгоритмов по построению маги-

ческих квадратов, а в особенности для

своего легендарного магико-магического

квадрата 16 Х 16, который являлся в

то время высшим уровнем разработки

удивительной серии магических квадратов.

Поэтому авторам пришлось провести

для начала многолетнюю кропотливую

работу по нахождению своеобразного

«реперного ключа» и алгоритмов

по построению всех известных и

даже не законченных магических квадратов

Бенджамина Франклина, а затем

уже на базе накопленного материала

находить необходимые алгоритмы по

разработке своих авторских магических

квадратов. В данной работе авторам при

непосредственном взаимодействии с

Международной Высшей Аттестационной

Комиссией (МВАК) от Международного

Университета Фундаментального

Обучения (МУФО) под эгидой Великобритании-

США-России удалось впервые

разработать свой алгоритм, а также составить

авторский магический квадрат

32 Х 32 Виталия и Виктора Лукояновых

– Джаясекара …”

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11